Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемости или непрерывности функции в точке в одномерном случае, то перейдите по ссылкам.

Как и в случае действительных функций одного действительного переменного, есть еще одно необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных, связанное с ее непрерывностью.

Теорема. Если действительная функция нескольких действительных переменных дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство
Пусть функция f(x) непрерывна в точке a. Тогда ее полное приращение в точке a можно записать в виде

\Delta f(a)=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\Delta x_{k}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|,

где \alpha(\Delta x)\rightarrow 0 при \Delta x\rightarrow 0. Из этого представления следует, что существует предел

\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta f(a)}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta x_{k}}+\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{(\alpha(\Delta x)|\Delta x|)}=0,

означающий, что функция f(x) непрерывна в точке a.

Литература

Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Предлагаем проверить свои знания


Таблица лучших: Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Дифференциал в пространстве $\mathbb R^n$

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференциала в одномерном случае, то ознакомьтесь с этой статьей.

Дифференциалы высших порядков

Полный дифференциал dU функции от многих переменных — это функция тех же переменных, и можно определить полный дифференциал этой функции. Таким образом, получим дифференциал второго порядка d^2U изначальной функции U, который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет к дифференциалу третьего порядка d^3U изначальной функции и т.д.

Теперь рассмотрим функцию U=f(x,y) двух переменных x и y и предположим, что переменные x и y  независимые переменные. По определению

dU=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\partial x+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\partial y.

При вычислении d^2U обратим внимание, что дифференциалы dx и dy независимых переменных следует рассматривать только как постоянные величины, значит их можно выносить за знак дифференциала

d^2U=\partial[\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\partial x]+\partial [\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\partial y]=\partial x\partial \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\partial y\partial \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\partial x[\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x^2}\partial x +  + \frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x \partial y}\partial y]+\partial y[\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y \partial x}\partial x+\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y^2}]=\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x^2}\partial x^2+2\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y \partial x}\partial x \partial y+\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y^2}\partial y^2.

Вычисляя аналогичным образом d^3U, получим

d^3U=\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x^3}\partial x^3+3\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x^2 dy}\partial x^2 \partial y+3\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x \partial y^2}\partial x \partial y^2+\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial y^3}\partial y^3.

Эти выражения d^2U и d^3U приводят к следующей символической формуле для дифференциала любого порядка:

d^nU=(\frac{\partial }{\partial x}\partial x+\frac{\partial }{\partial y}\partial y),

причем формулу следует понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, нужно возвести в степень n, применяя бином Ньютона, после чего показатели степеней y \frac{\partial }{\partial x} и \frac{\partial }{\partial y} будем считать указателями порядка производных по x и y от функции f.

Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных
Пусть функция z=f(x,y) имеет в точке P_{0}(x_{0},y_{0}) дифференциал

dz=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{o})\Delta y,(*)

или

dz=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}). (**)

Рассмотрим уравнение касательной плоскости

Z-z_{0}=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}).

Видим, что правая часть этого уравнения совпадает с правой частью уравнения (*) для дифференциала dx.
1234
Левые части этих равенств равны, но в равенстве (*) левая часть и есть дифференциал функции z=f(x,y) в точке P_{0}(x_{0},y_{0}), а в уравнении (**) левая часть означает соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости.

Вывод: геометрический смысл дифференциала функции двух переменных равен соответствующему приращению аппликаты касательной плоскости.
Правила дифференцировaния
d(U+V)=dU+dV
d(UV)=UdV+VdU
d\frac{U}{V}=\frac{VdU-UdV}{V^2}, \ \ V\neq0

Литература

Тест на тему: Дифференциал

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал


Таблица лучших: Тест на тему: Дифференциал

максимум из 12 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение дифференцируемой функции

Дифференцируемость функции нескольких переменных
Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемой функции в одномерном случае, то ознакомьтесь со статьей «Дифференцируемые функции и дифференциал».

Пусть действительная функция нескольких переменных f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^m(f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R) определена в некоторой окрестности точки x\in R^n и \Delta x=(\Delta x_{1}\dots\Delta x_{n}) — такой вектор независимых переменных, что точка x+\Delta x тоже принадлежит этой окрестности. В этом случае определено полное приращение функции f

\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x),

соответствующее приращение \Delta x переменных в точке x. Напомним, что

||\Delta x||=\sqrt{(\Delta x_{1})^2+\dots +(\Delta x_{n})^2}.

Определение. Функцию f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R, определенную в некоторой окрестности точки x, называют дифференцируемой в точке x, если ее полное приращение в окрестности этой точки можно представить в виде

\Delta f(x)=a_{1}\Delta x_{1}+a_{2}\Delta x_{2}+\dots +a_{n}\Delta x_{n}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|, \ \ \ (1)

где коэффициенты a_{1},a_{2},\dots ,a_{n} не зависят от приращений \Delta x, а функция \alpha(\Delta x) является бесконечно малой при \Delta x\rightarrow 0.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Если функция нескольких переменных дифференцируема в точке x, то у этой функции в точке x существуют все частные производные f_{x_{i}}^{\prime}(x), i=\overline{1,n} , причем коэффициенты a_{i} в представлении (1) равны значениям соответствующих частных производных в точке x:

a_{i}=f_{x_{i}}^{\prime}(x), i=\overline{1,n}.

Доказательство
Для дифференцируемой в точке x функции f представление (1) верно для любого приращения \Delta x имеет вид

\Delta x=(0,\dots, 0 ,\Delta x_{i}, 0,\dots, 0), \Delta x_{i}\neq0,
где номер i выбран произвольным образом и зафиксирован. В этом случае ||\Delta x||=|\Delta x_{i}|, соответствующее полное \Delta f(x) функции f(x) сводится к ее i-му частному приращению \Delta_{i}f(x), а равенство (1) принимает вид

\Delta f(x)=\Delta_{i}f(x)=a_{i}\Delta x_{i}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|.

Разделив последнее равенство на \Delta x_{i} и перейдя к пределу при \Delta x_{i}\rightarrow 0, получим

\lim\limits_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}{\frac{\Delta_{i}f(x)}{\Delta x_{i}}}=a_{i}+\lim\limits_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}{(\alpha(\Delta x)\frac{|\Delta x_{i}|}{\Delta x_{i}})}=a_{i},

поскольку функция \alpha(\Delta x) бесконечно малая при \Delta x_{i}\rightarrow 0, а отношение \frac{|\Delta x_{i}|}{\Delta x_{i}}=\pm 1 ограничено, так что последний предел равен нулю. Следовательно, производная f_{x_{i}}^{\prime}(x) в точке  x существует и равна a_{i}.
Следствие. Если функция нескольких переменных f:R^n\rightarrow R дифференцируема в точке x, то ее полное приращение \Delta f(x) можно представить в виде

\Delta f(x)=f_{x_{1}}^{\prime}(x)\Delta x_{i}+\dots +f_{x_{n}}^{\prime}(x)\Delta x_{n}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|,

где при \alpha(\Delta x)\rightarrow 0 \Delta x\rightarrow 0.

Литература

Тест: Определение дифференцируемой функции

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал


Таблица лучших: Тест: Определение дифференцируемой функции

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

M1554

 

Задача из журнала «Квант» (1996, №4)

Условие

На основании треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABMN, BCKL, и ACPQ. На отрезках NQ и PK построены квадраты NQZT и PKXY.Найдите разность площадей квадратов NQZT, PKXY, если известна разность площадей квадратовABMN, BCKL.
444

Ответ:

3d (где 3d — заданная разность площадей).

По теореме косинусов (см. рисунок),

NQ^2=AN^2+AQ^2-2AN\cdot AQ\cdot \cos\angle NAQ=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle NAQ, BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot \cos\angle BAC .

Поскольку \angle NAC+\angle BAC=180^{\circ}, сумма их косинусов равна 0. Поэтому

NQ^2+BC^2=2AB^2+2AC^2

Аналогично: PK^2+AB^2=2BC^2+2AC^2. Поэтому

NQ^2-PK^2=3AB^2-3BC^2=3d А.Герко, М.Вялый