Подпоследовательности. Частичный предел последовательности. Верхний и нижний пределы


Подпоследовательности

Определение.

Пусть задана некоторая последовательность {x_n} и
n_1<n_2<...<n_k<...
есть строго возрастающая последовательность натуральных чисел.Тогда последовательность
{x_n}_1, {x_n}_2,...{x_n}_k...
называется подпоследовательностью последовательности {x_n}.

Пример.
Пусть задана последовательность

1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},..,\frac{1}{n},...
Запишем некоторые ее подпоследовательности:

1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},...,\frac{1}{2n-1}...  (n_1=1,n_2=3,...,n_k=2k-1,...);

\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...,\frac{1}{2^n},...    (n_1=2,n_2=4,...,n_k=2^k,...);

\frac{1}{5},\frac{1}{10},\frac{1}{15},...,\frac{1}{5n},...  (n_1=5,n_2=10,...,n_k=5^k,...);
Но последовательность

1,\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{1}{4},...,\frac{1}{n},...
уже не является подпоследовательностью последовательности 1,\frac{1}{2},..,\frac{1}{n},....

Определение.
Будем писать
x \to +\infty (\lim\limits_{x \to \infty }=+ \infty)
и говорить, что последовательность {x_n} стремится к плюс бесконечности, если для каждого числа c найдется номер N \in \mathbb{N}, такой что x_{n}>c при любом n>N.
Аналогично даются определения для случая x \to -\infty,x \to \infty.


Частичный предел последовательности

Определение.
Частичным пределом последовательности называется предел какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.

Пример.

Пусть {x_n}=(-1)^{n}.Эта последовательность расходится, но ее подпоследовательности x_{2k} и x_{2k-1} сходятся соответственно к 1 и -1.Таким образом эти числа являются частичными пределами последовательности  {x_n}=(-1)^{n}.


Верхний и нижний пределы

Определение.
Пусть {x_n} — некоторая последовательность, а L — множество всех её частичных пределов.Тогда supL — называется верхним пределом последовательности и обозначается supL=\varlimsup\limits_{n \to \infty} x_{n}.

Нижний предел:

infL=\varliminf\limits_{n \to \infty} x_{n}

Пример 1.

Для последовательности x_{k}=(-1)^{k}:

\varliminf\limits_{n \to \infty} x_{k}=\lim\limits_{n \to \infty}\inf\limits_{k \geq n}(-1)^{k}=\lim\limits_{n \to \infty}(-1)=-1.

\varlimsup\limits_{n \to \infty} x_{k}=\lim\limits_{n \to \infty}\sup\limits_{k \geq n}(-1)^{k}=\lim\limits_{n \to \infty}(1)=1.

Пример 2.

Для последовательности x_{k}=-k^{2}:

\varliminf\limits_{n \to \infty}(-k^{2})=-\infty.

\varlimsup\limits_{n \to \infty}(-k^{2})=\lim\limits_{n \to \infty}\sup\limits_{k \geq n}(-k)^{2}=\lim\limits_{n \to \infty}(-n^{2})=-\infty.

 Литература.

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  • Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1,стр. 94

Подпоследовательности. Частичный предел последоват ельности. Верхний и нижний пределы

Тест

 

 

 

Число e

Рассмотрим последовательность x_n= (1+\frac{1}{n})^n, n \in \mathbb{N}.

Покажем, что последовательность ограничена и возрастает.

Сначала докажем монотонность. Воспользуемся биномом Ньютона:

(a+b)^n= a^{n}+\frac{n}{1}\cdot a^{n-1}\cdot b+\frac{n (n-1)}{1\cdot 2}\cdot a^{n-2}\cdot b^{2}+ \cdots +

+\frac{n (n-1) (n-2)\cdots (n- (n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n}\cdot b^{n}.

Полагая, что  a= 1, b= \frac{1}{n},  получим:

(1+\frac{1}{n})^{n}= 1+\frac{n}{1}\cdot \frac{1}{n}+\frac{n (n-1)}{1\cdot 2}\cdot \frac{1}{n^{2}}+

+\frac{n (n-1) (n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot \frac{1}{n^{3}}+ ... + \frac{n (n-1) (n-2)... (n- (n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}\cdot \frac{1}{n^{n}}=

= 1+1+\frac{1}{1\cdot 2} (1-\frac{1}{n})+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})+\cdots +

+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots \cdot n} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n}).

(1+\frac{1}{n})^{n}= 1+1+\frac{1}{1\cdot 2} (1-\frac{1}{n})+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})+ \cdots +

+ \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots\cdot n} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n}). (*)

Из равенства (*) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается.

Кроме того, при увеличении n число \frac{1}{n} — убывает,

поэтому величины (1-\frac{1}{n}), (1-\frac{1}{n}), \cdots возрастают.

Поэтому последовательность {x_n} =  \{ (1+\frac{1}{n})^{n}\}  — возрастающая, при этом (1+\frac{1}{n})^{n}>2. (**)

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (*) на единицу. Правая часть увеличится, получим неравенство:

(1+\frac{1}{n})^{n}<1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+ \cdots +\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n}.

Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5, \cdots, n , стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

(1+\frac{1}{n})^{n} = 1+ (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}).

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+ \cdots +\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1\cdot (1- (\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}}= 2 (1-\frac{1}{2^n})<2.

Поэтому: (1+\frac{1}{n})^{n}<1+2= 3. (***)
Итак, последовательность ограничена, при этом для n \in \mathbb{N} выполняются неравенства (**) и (***):
2 < (1+\frac{1}{n})^{n}<3.

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой  e :

\lim\limits_{x\overset{}{\rightarrow \infty }}(1+\frac{1}{n})^{n}= e.

Определение:

Числом e называется предел последовательности x_{n}= (1+\frac{1}{n})^{n}, n \in \mathbb{N}, т. е. e= \lim\limits_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n})^{n}.

Это число иррациональное и приближенно равно e = 2.718281828\cdots. Логарифмы с основанием e называются натуральными и обозначаются \log_{e}x= \ln x. Данный предел называют вторым замечательным пределом. Многие примеры сводятся с помощью простых замен ко второму замечательному пределу. Рассмотрим пример решения на второй замечательный предел.

Пример.

Найти предел \lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{x})^{x}.

Решение.

Преобразуем предел:

\lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{x})^{x}= \lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{1}{\frac{x}{2}})^{\frac{x}{2}\cdot 2}= e^{2}.

Литература

  1. Портал знаний (Введение в анализ->Последовательности)
  2. Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, стр.17 (часть 1)
  3. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Издание четвертое. Стр. 74-76: М.Наука. — 1982, 616 стр.

Число е.

Тест на тему: Число е

Предел монотонной последовательности. Пример

Определение:
Последовательность \left\{x_n\right\} называется монотонно возрастающей, если \forall n\in\mathbb N: x_n \leq x_{n+1}.

Определение:
Последовательность \left\{x_n\right\} называется монотонно убывающей, если \forall n\in\mathbb N: x_n \geq x_{n+1}

Теорема Вейерштрасса (о пределе монотонной ограниченной последовательности)

Если последовательность является возрастающей и ограниченной сверху, то: \lim\limits_{x \to \infty} x_n = \sup {x_n}.

Аналогично для убывающей и ограниченной снизу последовательности: \lim\limits_{x \to \infty} x_n = \inf {x_n}.

Доказательство:  
Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности \left\{x_n\right\}. Докажем, что точная верхняя граница a = \sup{x_n} для последовательности и будет ее пределом.
Действительно, по определению точной верхней границы: \forall n x_n \leq a.
Кроме того, какое бы ни взять число \varepsilon > 0, найдется такой номер N, что x_n > a - \varepsilon.
Так как последовательность монотонна, то при n > N: x_n \geq x_n, а значит, и x_n > a - \varepsilon и выполняются неравенства: 0\leq a - x_n < \varepsilon \vee \left | x_n - a \right | <\varepsilon откуда и следует, что \lim\limits_{n \to \infty} x_n = a. \blacksquare

Пример. Доказать, что последовательность x_n = \frac{1}{n} сходится.

Доказательство. Рассматриваемая последовательность ограничена снизу, так как для любого натурального n: x_n = \frac{1}{n} > 0.

Исследуем заданную последовательность на монотонность:

x_n - x_{n-1} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} > 0 \Rightarrow x_n > x_{n-1}

а, значит, последовательность {x_n} монотонно убывающая, а тогда, согласно теореме Вейерштрасса, последовательность сходится. \blacksquare
Литература

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  • webmath.ru

Предел монотонной последовательности

Тест