Дифференцируемость функции в точке и существование частных производных

Дадим определение дифференцируемости функции в точке.
Определение. Функция $f \left( x \right) = f \left( x_1, \dots, x_n \right)$ называется дифференцируемой в точке $x^0 = \left( x_1^0, \dots, x_n^0 \right)$, если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа $A_1, \dots, A_n$, что $$f \left( x \right) — f \left( x^0 \right) = \sum\limits_{i = 1}^{n} A_i \left( x_i — x_i^0 \right) + o \left( \rho \left( x, x^0 \right) \right) \qquad (2)$$ при $x \to x^0$.
Теорема 1. Функция $f \left( x \right)$ дифференцируема в точке $x^0$ в том и только том случае, когда в некоторой окрестности точки $x^0$ функция $f \left( x \right)$ может быть представлена в следующем виде: $$f \left( x \right) = f \left( x^0 \right) + \sum\limits_{i = 1}^{n} f_i \left( x \right) \left( x_i — x_i^0 \right), \qquad (2)$$ где функции $f_i \left( x \right)$ непрерывны в точке $x^0$.

Доказательство показать

Упражнение 1. Пусть функции $f \left( x \right)$ и $\varphi \left( x \right)$ определены в окрестности точки $x^0 \in \mathbb{R}^n$, функция $f \left( x \right)$ дифференцируема в точке $x^0$ и $f \left( x^0 \right) = 0$, а функция $\varphi \left( x \right)$ непрерывна в точке $x^0$. Доказать, что функция $f \left( x \right) \varphi \left( x \right)$ дифференцируема в точке $x^0$.
Упражнение 2. Доказать, что функция $$\left( x + y \right) \left( x^3 + y^3 \right) ^{\frac{1}{3}}$$ дифференцируема в точке $\left( 0, 0 \right)$.
Указание. Воспользоваться результатом упр. 1.
Пример 1. Показать, что функция $$f \left( x, y \right) = \sqrt[3]{x^3 + y^4}$$дифференцируема в точке $\left( 0, 0 \right)$.
Решение показать

Пример 2. Показать, что функция $$f \left( x, y \right) = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$$недифференцируема в точке $\left( 0, 0 \right)$.
Решение показать

Из теоремы 1 следует, что функция $f \left( x \right)$, дифференцируемая в точке $x^0$, непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно: функция примера 2 непрерывна, но недифференцируема в точке $\left( 0, 0 \right)$.

Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.

Теорема 2. Если функция $f \left( x \right)$ дифференцируема в точке $x^0 \in \mathbb{R}^n$, то она имеет в точке $x^0$ все частные производные $\frac{ \partial f }{ \partial x_i } \left( x^0 \right)$, $i = \overline{1, n}$, и $$f \left( x \right) — f \left( x^0 \right) = \\ = \sum\limits_{i = 1}^{n} \frac{ \partial f }{ \partial x_i } \left( x^0 \right) \left( x_i — x_i^0 \right) + o \left( \rho \left( x, x^0 \right) \right), x \to x^0. \qquad (6)$$

Доказательство показать

Функция примера 2 имеет в точке $\left( 0, 0 \right)$ обе частные производные первого порядка: $$\frac{ \partial f }{ \partial x } \left( 0, 0 \right) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{ f \left( x, 0 \right) — f \left( 0, 0 \right) }{ x } = \\ = \lim\limits_{x \to 0} \frac{ \sqrt[3]{x^3} }{ x } = 1, \frac{ \partial f }{ \partial y } \left( 0, 0 \right) = 1.$$ Так как функция $f \left( x, y \right) = sqrt[3]{x^3 + y^3}$ примера 2 недиффиринцируема в точке $\left( 0, 0 \right)$, то этот пример показывает, что из существования частных производных в точке не следует дифференцируемость функции в этой точке. Существование частных производных функции в точке не гарантирует даже непрерывности функции в этой точке.
Так, функция $$f \left( x \right) = \begin{cases} \frac{2xy}{x^2+y^2}, & x^2 + y^2 > 0, \\ 0, & x = y = 0 \end{cases}$$ не имеет предела при $\left( x, y \right) \to \left( 0, 0 \right)$, а поэтому и не является непрерывной в точке $\left( 0, 0 \right)$. Тем не менее у этой функции в точке $\left( 0, 0 \right)$ существуют обе частные производные: $$\frac{ \partial f }{ \partial x } \left( 0, 0 \right) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{ f \left( x, 0 \right) — f \left( 0, 0 \right) }{ x } = 0, \frac{ \partial f }{ \partial y } \left( 0, 0 \right) = 0.$$

Достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Теорема 3. Если все частные производные $\frac{ \partial f }{ \partial x_i }$, $i = \overline{1, n}$ определены в окрестности точки $x^0 \in \mathbb{R}^n$ и непрерывны в точке $x^0$, то функция $f \left( x \right)$ дифференцируема в точке $x^0$.

Доказательство показать

Непрерывность частных производных в точке не является необходимым условием дифференцируемости функции в этой точке.
Функция $$f \left( x, y \right) = \begin{cases} \left( x^2 + y^2 \right) \sin \frac{ 1 }{ \sqrt{ x^2 + y^2 } }, & x^2 + y^2 > 0, \\ 0, & x = y = 0, \end{cases}$$ дифференцируема в точке $\left( 0, 0 \right)$, так как $$f \left( x, y \right) = 0 \cdot x + 0 \cdot y + o \left( \sqrt{ x^2 + y^2 } \right), \left( x, y \right) \to \left( 0, 0 \right).$$ Но при $x^2 + y^2 > 0$ частная производная$$\frac{ \partial f }{ \partial x } \left( x, y \right) = 2x \sin \frac{ 1 }{ \sqrt{ x^2 + y^2 } } — \frac{ x }{ \sqrt{ x^2 + y^2 } } \cos \frac{ 1 }{ x^2 + y^2 }$$ не имеет предела при $\left( x, y \right) \to \left( 0, 0 \right)$ и, следовательно, не является непрерывной функцией в точке $\left( 0, 0 \right)$. Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что $\frac{ \partial f \left( x, 0 \right) }{ \partial x }$ не имеет предела при $x \to 0$.

Список литературы

Тест

Тест для проверки усвоения материала

Определение частной производной и её геометрический смысл

Определение. Пусть функция $$ f \left( x \right) = f \left( x_1, \dots, x_n \right) $$ определена в окрестности точки $ x^0 = \left( x_2^0, \dots, x_n^0 \right) $. Рассмотрим функцию одной переменной $$ \varphi \left( x_1 \right) = f \left( x_1, x_2^0, \dots, x_n^0 \right). $$ Функция $ \varphi \left( x_1 \right) $ может иметь производную в точке $ x_1^0 $. По определению такая производная называется частной производной $ \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } \left( x^0 \right) $. Таким образом, $$ \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } \left( x^0 \right) = \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } \left( x_1^0, \dots, x_n^0 \right) = \\ = \lim\limits_{\Delta x_1 \to 0 } \frac{ f \left( x_1, x_2^0, \dots, x_n^0 \right) — f \left( x_1^0, \dots, x_n^0 \right) }{ \Delta x_1 }, $$ где $ \Delta x_1 = x_1 — x_1^0 $.
Аналогично определяются частные производные (первого порядка) $$ \frac{ \partial f }{ \partial x_i } \left( x_1^0, \dots, x_n^0 \right) , i = \overline{2, n}. $$ Употребляются и другие обозначения для частных производных первого порядка: $$ \frac{ \partial f }{ \partial x_i } \left( x^0 \right) = f_{x_i} \left( x^0 \right) = D_i f \left( x^0 \right) = \\ = {f’}_{x_i} \left( x^0 \right) = \frac{ \partial }{ \partial x_i } f \left( x^0 \right) = \frac{ \partial f \left( x^0 \right) }{ \partial x_i }. $$ Функция двух переменных может иметь в точке $ \left( x^0, y^0 \right) $ две частные производные первого порядка $$ \frac{ \partial f }{ \partial x } \left( x^0, y^0 \right), \frac{ \partial f }{ \partial y } \left( x^0, y^0 \right). $$ Для функции трех переменных — три частные производные первого порядка $$ \frac{ \partial f }{ \partial x } \left( x^0, y^0, z^0 \right), \frac{ \partial f }{ \partial y } \left( x^0, y^0, z^0 \right), \frac{ \partial f }{ \partial z } \left( x^0, y^0, z^0 \right). $$ Поскольку при вычслении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, то техника вычисления частных производных такая же, как техника вычисления производных функции одной переменной.
Например, $$ \frac{ \partial }{ \partial x } \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{x^2 + y^2} } \frac{ \partial }{ \partial x } \left( x^2 + y^2 \right) = \frac{ x }{ \sqrt{x^2 + y^2} }. $$

Геометрический смысл

kolomeiets20160630Рассмотрим функцию двух переменных $ z = f \left( x, y \right) $, определенную на множестве $ D \subset \mathbb{R}^2 $ и имеющую конечные частные производные $ \frac{ \partial z }{ \partial x } $ и $ \frac{ \partial z }{ \partial y } $ в точке $ M_0 \left( x_0, y_0 \right) $. Чтобы выяснить геометрический смысл частных производных, выполним следующие построения. В плоскости $ Oxy $ отметим точку $ M_0 $.
Затем нарисуем поверхность $ S $, являющуюся графиком функции $ z = f \left( x, y \right) $. Без ограничения общности будем полагать, что поверхность расположена над плоскостью $ Oxy $. Через точку $ M_0 $ проведем плоскость $ y = y_0 $ параллельную коорднатной плоскости $ Oxy $. В сечении поверхности $ S $ этой плоскостью получаем кривую $ \Gamma $. Уравнение этой кривой описывается функцией одной переменной $ z = f \left( x, y_0 \right) $. Так как в точке $ M_0 $ существует частная производная $ {f’}_x \left( x_0, y_0 \right) $, то она согласно геометрическому смыслу обычной производной функции одной переменной равна угловому коэффициенту касательной, проведенной в точке $ N \left( x_0, y_0, f \left( x_0, y_0 \right) \right) $ к кривой $ \Gamma $: $$ {f’}_x \left( x_0, y_0 \right) = \tan \alpha, $$ где $ \alpha $ — угол между касательной и положительным направлением оси $ Ox $. В этом состоит геометрический смысл частной производной $ {f’}_x \left( x_0, y_0 \right) $.

Список литературы

Тест

Тест для проверки усвоения материала