Фундаментальные последовательности

Фундаментальные последовательности

Последовательность \{x_n\} называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon :\forall n\geq N_\varepsilon\ \forall p\geq N_\varepsilon\ |x_{n+p}-x_n|\leq \varepsilon\ |x_{n+p}-x_n|\rightarrow 0
Определение сходимости последовательности и фундаментальности эквивалентны.

Примеры:
Фундаментальными последовательностями являются:

  • \{x_n\}=\frac{\sin\alpha}{2} + \frac{\sin2\alpha}{2^2} + ... + \frac{\sin n\alpha}{2^n} (можно доказать, используя критерий Коши)
    Доказательство показать
  • \{x_n\}=\{1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , ... , \frac{1}{n}\}
    Доказательство показать
  • \{x_n\}=\frac{3n}{n+1}
    Доказательство показать

Литература: 

Критерий Коши сходимости последовательности

Критерий Коши сходимости последовательности

Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство

Необходимость:

Пусть последовательность имеет конечный предел. Докажем, что она является фундаментальной.
Пусть \exists \lim\limits_{n\to\infty}{x_n}=a по определению предела последовательности: \forall \varepsilon >0 \ \exists N_\varepsilon :\forall p\geq N_\varepsilon\ |x_p-a|< \varepsilon

Поскольку \varepsilon произвольное, то мы можем взять вместо него, к примеру, \frac{\varepsilon }{2}:
p=n > N_\varepsilon\ \Bigl|x_n-a\Bigl|<\frac{\varepsilon }{2}
p=m > N_\varepsilon\ \Bigl|x_m-a\Bigl|<\frac{\varepsilon }{2}
\Bigl|x_n-x_m\Bigl|=\Bigl|(x_n-a)+(a-x_m)\Bigl|\leq\underset{\underset{\frac{\varepsilon}{2}}{\leq}}{{\underbrace{\Bigl|x_n-a\Bigl|}}} + \underset{\underset{\frac{\varepsilon}{2}}{\leq}}{{\underbrace{\Bigl|x_m-a\Bigl|}}}< \varepsilon
То есть: \Bigl|x_n-x_m\Bigl| < \varepsilon , а значит, \{x_n\}_{n=1}^{\infty} —   фундаментальная по определению.
Необходимость доказана.

Достаточность:

Пусть \{x_n\}_{n=1}^{\infty} — фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. Сначала покажем, что \{{x_n\}}^{\infty}_{n=1} — ограничена.
Поскольку \{x_n\}_{n=1}^{\infty} — фундаментальная последовательность, то по определению фундаментальной последовательности:
\forall\varepsilon > 0 \ \exists N_\varepsilon :\forall\ n > N_\varepsilon и \forall\ m >N_\varepsilon  |x_n-x_m| < \varepsilon

Так как \varepsilon произвольное, то возьмем \varepsilon=1 :

\Bigl|x_n\Bigl|=\Bigl|(x_n-x_{N\epsilon})+x_{N\epsilon}\Bigl| \leq\underset{\underset{1}{\leq}}{{\underbrace{\Bigl|x_n-x_{N\epsilon}\Bigl|}}}+\Bigl|x_{N\epsilon}\Bigl|\leq 1+ \Bigl|x_{N\epsilon}\Bigl|
\forall n \geq N_\varepsilon: |x_n|<(1+|x_{N\epsilon}|)=const=C  \Bigl|x_n\Bigl|\leq C
C=\max\{1+\Bigl|x_{N\epsilon}\Bigl|;\Bigl|x_1\Bigl|,\Bigl|x_2\Bigl|,...,\Bigl|x_{N\varepsilon-1}\Bigl|\} \Rightarrow
\Rightarrow \forall n \epsilon \mathbb{N} : \Bigl|x_n\Bigl|\leq C \Rightarrow
\{x_n\}_{n=1}^{\infty} — ограничена.

По теореме Больцано-Вейерштрасса последовательность \{x_n\}_{n=1}^{\infty} имеет сходящуюся подпоследовательность \{{x_{n_k}\}}^{\infty}_{k=1}

Пусть \lim\limits_{k\rightarrow\infty}{x_{n_k}}=a, покажем, что число $a$ и будет пределом всей последовательности \{{x_n\}}^{\infty}_{n=1}:
Поскольку \{x_n\}_{n=1}^{\infty} фундаментальная:
\forall \varepsilon>0\ \exists n_\varepsilon : \forall n,m > n_\varepsilon  |x_n-x_m| <\frac{\varepsilon}{2}

Так как \{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty} сходящаяся:
\lim\limits_{k\rightarrow\infty}{x_{n_k}}=a : \forall \varepsilon>0\ \exists k_\varepsilon :\forall n_k \geq n_{k_\varepsilon}
|x_{n_k}-a|<\frac{\varepsilon}{2}
\forall \varepsilon>0 : |x_n-a|=|(x_n-x_{n_k})+(x_{n_k}-a)|\leq |x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-a|<\varepsilon
Возьмём N_\varepsilon = \max\{n_\varepsilon, n_{k_\varepsilon}\} , тогда:\forall \varepsilon >0\ \exists\ N_\varepsilon : \forall n\geq N_\varepsilon : |x_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon

Достаточность доказана.

Пример 1

Докажем, что последовательность x_N=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{N} не является фундаментальной.

Решение показать

Пример 2

Доказать, что последовательность, заданная общим членом x_n=\frac{3n}{n+1} фундаментальная.

Решение показать

Список литературы:

Тест на тему: Критерий Коши сходимости последовательности

Тест на проверку знаний по данной теме

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность .

Доказательство:

\square
Предположим, что \{x_n\}— ограниченна, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку [a;b] .
Разделим [a;b] пополам. Мы получим два отрезка. Хотя бы один из них содержит бесконечное число членов последовательности. Выберем этот отрезок. Если оба обладают этим свойством, то выберем первый. Выбранный отрезок, который содержит бесконечное число членов данной последовательности, обозначим \Delta _1=[a_1;b_1] и его длина равна b_1-a_1=\frac{b-a}{2}. Разделим отрезок \Delta _1 пополам, выберем из двух получившихся отрезков \Delta _2=[a_2;b_2] длина которого b_2-a_2=\frac{b-a}{2^2}
Продолжая эти рассуждения, мы получим последовательность отрезков \{\Delta _n=[a_n;b_n]\} таких, что:

  1. \Delta_1\supset\Delta_2\supset... \Delta_n\supset\Delta_{n+1}\supset...
  2. \lim_{k\to\infty}\frac{b-a}{2^k}=0

Следовательно, по определению, наша последовательность \{\Delta_n\} стягивающаяся Тогда, по теореме Кантора, существует единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам, то есть:
\exists c:\forall k\in\mathbb{N}\ \ c\in\Delta_k (1)
Покажем, что \exists \{x_{n_{k}}\}\rightarrow c
Так как отрезок \Delta_1 содержит бесконечное число членов последовательности \{x_n\}, то \exists n_1\in\mathbb{N}:x_{n_{1}}\in\Delta_1.
Отрезок \Delta_2 также содержит бесконечное число членов данной последовательности, и поэтому:
\exists n_2>n_1:x_{n_{2}}\in\Delta_2
Вообще, \forall k\in\mathbb{N}\ \exists n_k: x_{n_{k}}\in\Delta_k, где n_1<n_2<...<n_{k-1}<n_k
Следовательно, существует подпоследовательность \{x_{n_{k}}\} последовательности \{x_n\}
такая, что \forall k\in\mathbb{N}\ a_k\leq x_{n_{k}}\leq b_k (2)
Условия (1) и (2) означают, что точка С и \{x_{n_{k}}\} принадлежат отрезку \Delta_k=[a_k;b_k], и поэтому расстояние между ними не превосходит длины отрезка \Delta_k то есть:
\underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{0}}}\leq \Bigl|C-x_{n_k}\Bigl|\leq b_k-a_k=\underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{\frac{b-a}{2^k}}}} при k\to\infty По теореме о трех последовательностях
\lim_{k\to\infty}|C-{x_{n_{k}}}|=0 \Rightarrow \lim_{k\to\infty}{x_{n_{k}}}=c
Теорема доказана \blacksquare

Замечание

Теорему Больцано-Вейерштрасса можно сформулировать еще и так:
любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.

Интересно знать:

  • Метод, примененный в доказательстве данной теоремы ,который  состоит в последовательном делении пополам рассматриваемых промежутков, называется методом Больцано, он часто используется при доказательстве других теорем.
  • Теорему о трех последовательностях называют также теорема о двух милиционерах. Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера держат между собой преступника и при этом идут в камеру, то заключённый также вынужден туда идти. В разных странах её называют по-разному: теорема сжатия, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых и пр.

Пример

Показать, что всякая неограниченная сверху последовательность имеет частичный предел, равный +\infty

Решение показать

Литература:

Тест

Тест на проверку знаний по теме: «Теорема Больцано-Вейерштрасса»

Стягивающаяся последовательность

Стягивающаяся последовательность

Назовем последовательность отрезков \Delta_1, \Delta_2, ...\Delta_n  ,где \Delta_n=[a_n,b_n]  стягивающейся, если выполнены следующие условия:

    • Каждый последующий отрезок принадлежит предыдущему, то есть:
      \forall n\in \mathbb{N}:\Delta_{n+1}\subset\Delta_n Это означает,что: a_1\leq a_2\leq ...\leq a_n\leq a_{n+1}\leq...\leq b_{n+1}\leq b_n\leq ... \leq b_2\leq b_1
  • Длина отрезка \Delta_n стремится к нулю при n\to\infty то есть: lim_{n\to\infty} (b_n-a_n)=0

Литература:

Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках



Формулировка

Пусть дана система вложенных сегментов \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:(I_{1}\supset I_{2}\supset... ), \ I_{n}=\left [ a_{n},b_{n} \right ], n=1, 2... , тогда \exists \ c \in \mathbb{R} : \forall \ n \in \mathbb{N}, c\in I_{n} , то есть c\in \bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n} . Причём, если $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_{0}\in \mathbb{N} \ \forall n > n_{0} :(b_{n}-a_{n}) < \varepsilon $, то такая точка одна.


Стягивающаяся последовательность

Доказательство

Существование:

Рассмотрим множества верхних и нижних граней отрезков (сегментов) \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}: A=\left \{ a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty},B=\left \{ b_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} . Возьмём два числа n,m\in \mathbb{N} :

  1. n=m\Rightarrow a_{n}<b_{m} (по определению сегмента);
  2. $latex n
  3. n>m \Rightarrow a_{n}\leq b_{n}\leq ...\leq b_{m+1}\leq b_{m}

Таким образом \forall a_{n}\in A,b_{m}\in B:a_{n}\leq b_{m} . Тогда по аксиоме непрерывности: \exists \ c, \forall \ n,m\in \mathbb{N}:a_{n}\leq c\leq b_{m}\Rightarrow \forall n\in \mathbb{N} \ c\in I_{n} .

Единственность:

Предположим противное,пусть существуют две различные точки {c},{c}' , принадлежащие всем отрезкам последовательности \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} то есть:

\forall n\in \mathbb{N} \ \exists \ c,c'\in I_{n} . Так, как c\neq {c}', то либо c<{c}' либо c>{c}' .

Не ограничивая общности, предположим, что c<{c}' .

Тогда мы имеем: \forall \ n\in \mathbb{N} \ a_{n}\leq c<c'\leq b_{n} . То есть 0<c-{c}'<b_n-a_n. Так, как\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n-a_n)=0\Rightarrow 0 \leq {c}'-c\leq 0\Rightarrow {c}'-c=0\Rightarrow c={c}' .

Противоречие! Следовательно, наше предположение, что существуют две различные точки {c},{c}' , принадлежащие всем отрезкам последовательности \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} неверно, значит \exists ! \ c \in I_{n} \forall n\in \mathbb{N}.

Замечание:

Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы.

В самом деле,легко видеть,что последовательность вложенных друг в друга интервалов (0,\frac{1}{n}) не имеет общих точек,поскольку \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( 0, \frac{1}{n} \right) = \varnothing

Пример:

  1. Доказать, что если система вложенных сегментов \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:(I_{1}\supset I_{2}\supset... ), \ I_{n}=\left [ a_{n},b_{n} \right ], n=1, 2...\ , причём $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_{0}\in \mathbb{N} \ \forall n > n_{0} :(b_{n}-a_{n}) < \varepsilon $, то последовательности $latex \left \{ {a_{n}} \right \}_{n=1}^{\infty}$ и $latex \left \{ {b_{n}} \right \}_{n=1}^{\infty}$ (последовательности верхних и нижних граней сегментов) сходящиеся, причём $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c $.

    Доказательство: показать
  2. Доказать, что теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках не выполняется на множестве \mathbb{Q}.

    Доказательство: показать

Литература:

  1. Вартанян Г. М. Математический анализ (стр. 10-15, 9)
  2. В.И.Коляда, А.А.Кореновский, Курс лекций по математическому анализу К93: в 2-х ч. Ч.1.-Одесса: Астропринт, 2009 (стр 20-21, 28-29)
  3. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр.54 )

Тест

Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках.


Таблица лучших: Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках

максимум из 30 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных