Критерий сходимости рядов с неотрицательными слагаемыми

Теорема

Рассмотрим ряд в котором все члены ряда неотрицательны, т.е. (\forall n \in N \rightarrow a_{n}\geq 0). Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченна сверху.

Доказательство

Так как a_{n}\geq 0, то S_{n}=S_{n-1}+a_{n}\geq S_{n-1}. Из этого следует что последовательность частичных сумм монотонно возрастает. Если ряд сходится это означает что сходится последовательность его частичных сумм. По теореме об ограниченности сходящейся последовательности сходимость последовательности частичных сумм эквивалентна ограниченности этой последовательности.

Пример

Рассмотрим ряд:$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha }},$$ где \alpha>0. При \alpha=1 получаем гармонический ряд, а он как известно расходится.
При 0<\alpha<1 имеем:$$S_{n}(\alpha)=1+ \frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{n^{\alpha}}\geq n \cdot \frac{1}{n^{\alpha}}=n^{1-\alpha}\underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow}\infty $$ Из этого следует, что S_{n}(\alpha)\rightarrow +\infty , а из этого следует расходимость ряда.
Теперь рассмотрим случай \alpha>1. Выберем такое натуральное m, что n<2^{m}. Тогда имеем:$$S_{n}(\alpha)\leq S_{2^{m}-1}(\alpha)=1+\left ( \frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}} \right )+\left ( \frac{1}{4^{\alpha}}+\frac{1}{5^{\alpha}}+\frac{1}{6^{\alpha}}+\frac{1}{7^{\alpha}} \right )+$$$$+\cdots +\left ( \frac{1}{(2^{m-1})^{\alpha}}+\frac{1}{(2^{m-1}+1)^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{(2^{m}-1)^{\alpha}} \right )\leq $$$$\leq 1+2^{1-\alpha}+(2^{2})^{1-\alpha}+\cdots +(2^{m-1})^{1-\alpha}=$$$$=1+2^{1-\alpha}+(2^{1-\alpha})^{2}+\cdots +(2^{1-\alpha})^{m-1}=\frac{1-(2^{1-\alpha})^{m}}{1-2^{1-\alpha}}$$ Отсюда следует, что при \alpha>1 имеем S_{n}(\alpha)\leq \frac{1}{1-2^{1-\alpha}}, т.е. последовательность частичных сумм ограниченна сверху, и по теореме о сходимости рядов с неотрицательными членами ряд сходится при \alpha>1.

Список Литературы

Тест на проверку знаний по данной теме.

Таблица лучших: Критерий сходимости рядов с неотрицательными слагаемыми

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Обобщённый гармонический ряд

Обобщённым гармоническим рядом называют ряд:$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha}}=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{n^{\alpha}}+\cdots $$

Сходимость обобщённого гармонического ряда

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha }},$$ где \alpha>0. При \alpha=1 получаем гармонический ряд, а он как известно расходится.
При 0<\alpha<1 имеем:$$S_{n}(\alpha)=1+ \frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{n^{\alpha}}\geq n \cdot \frac{1}{n^{\alpha}}=n^{1-\alpha}\underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow}\infty $$ Из этого следует, что S_{n}(\alpha)\rightarrow +\infty , а из этого следует расходимость ряда.
Теперь рассмотрим случай \alpha>1. Выберем такое натуральное m, что n<2^{m}. Тогда имеем:$$S_{n}(\alpha)\leq S_{2^{m}-1}(\alpha)=1+\left ( \frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}} \right )+\left ( \frac{1}{4^{\alpha}}+\frac{1}{5^{\alpha}}+\frac{1}{6^{\alpha}}+\frac{1}{7^{\alpha}} \right )+$$$$+\cdots +\left ( \frac{1}{(2^{m-1})^{\alpha}}+\frac{1}{(2^{m-1}+1)^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{(2^{m}-1)^{\alpha}} \right )\leq $$$$\leq 1+2^{1-\alpha}+(2^{2})^{1-\alpha}+\cdots +(2^{m-1})^{1-\alpha}=$$$$=1+2^{1-\alpha}+(2^{1-\alpha})^{2}+\cdots +(2^{1-\alpha})^{m-1}=\frac{1-(2^{1-\alpha})^{m}}{1-2^{1-\alpha}}$$ Отсюда следует, что при \alpha>1 имеем S_{n}(\alpha)\leq \frac{1}{1-2^{1-\alpha}}, т.е. последовательность частичных сумм ограниченна сверху, и по теореме о сходимости рядов с неотрицательными членами ряд сходится при \alpha>1.

Список Литературы

Тест на проверку знаний по данной теме.

Таблица лучших: Обобщённый гармонический ряд

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Гармонический ряд

Гармоническим называется ряд:$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}+\cdots,$$ т.е. гармонический ряд состоит из членов, обратных числам натурального ряда.

Сходимость Гармонического ряда

Проверим гармонический ряд на сходимость:
Общий член гармонического ряда стремится к 0.$$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=0$$ Это показывает, что необходимое условие сходимости ряда выполняется. Для доказательства сходимости гармонического ряда будем использовать критерий Коши. По критерию Коши для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно чтобы:$$\forall \varepsilon >0, \exists N_{\varepsilon },\forall n>N_{\varepsilon },\forall p > 0:\left | \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+p} \right |<\varepsilon$$ В качестве \varepsilon выберем \frac{1}{2} и p=n. Тогда:$$\left | \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+p} \right |=\left | \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right |>$$$$>\left | \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots +\frac{1}{2n} \right |=\frac{1}{2}=\varepsilon$$ Из этого следует что гармонический ряд не удовлетворяет критерию Коши. Иначе говоря гармонический ряд расходится.
grad

Связанные ряды

Обобщённый гармонический ряд

Обобщённым гармоническим рядом называется ряд:$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha }}=1+\frac{1}{2^{\alpha }}+\frac{1}{3^{\alpha }}+\cdots +\frac{1}{n^{\alpha }}+\cdots$$ Обобщённый гармонический ряд расходится при \alpha\leq 1 и сходится при\alpha>1

Список Литературы

Тест на проверку знаний по данной теме.

Таблица лучших: Гармонический ряд

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий Коши

Теорема

Для того чтобы ряд \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого \varepsilon >0 существовал такой номер N_{\varepsilon }, что для любого n>N_{\varepsilon } и при любом натуральном p > 0 выполнялось неравенство:$$\left| a_{n+1}+a_{n+2}+…+a_{n+p} \right|<\varepsilon$$.

Доказательство

По определению, сходимость ряда эквивалентна сходимости последовательности его частичных сумм S_{n}. В силу критерия Коши для последовательностей, сходимость последовательности {S_{n}} эквивалентна ее фундаментальности. Фундаментальность последовательности {S_{n}} означает, \forall \varepsilon >0, \exists N_{\varepsilon }: \forall n\geq N_{\varepsilon }, \forall p\in \mathbb{N}\rightarrow \left| S_{n+p}- S_{n} \right|<\varepsilon. При этом:S_{n+p}-S_{n}=a_{1}+\ldots+a_{n}+a_{n+1}+\ldots+a_{n+p}-(a_{1}+\ldots+a_{n})=a_{n+1}+\ldots+a_{n+p}, тем самым теорема доказана.
Пример показать

Список Литературы

Тест на проверку знаний по данной теме.

Таблица лучших: Критерий Коши сходимости ряда

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

M237. Задачи на нахождении масс вершин в треугольнике

Задача из журнала «Квант» (1973, №12)

Условие

Углы остроугольного треугольника равны \alpha, \beta и \gamma. Какие массы нужно поместить в его вершинах, чтобы центр тяжести этих трех масс попал:

  1.  В точку пересечения высот?
  2. В центр описанной окружности?

Стороны треугольника равны a, b и c. Какие массы нужно поместить в его вершины, чтобы центр тяжести попал:

  1.  В точку пересечения отрезков соединяющих вершины и точки касания противоположных им сторон со вписанной окружностью?
  2. В центр вписанной окружности?

 

Решение

M237_1
Пусть в вершинах треугольника ABC расположены массы m_{a}, m_{b} и m_{c} соответственно. Проведем прямые BD и CE, пересекающиеся внутри треугольника в точке O (рис. 1). Заметим, что для того, чтобы центр тяжести этих масс попал в точкуO, необходимо выполнение соотношений \frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{AD}{DC} и \frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{AE}{BE}. Перейдем теперь к решению задачи.

  1.  Пусть BD и CE — высоты в треугольнике ABC (рис. 2). Тогда \frac{BD}{AD}=tg \alpha, \frac{BD}{DC}=tg \gamma, то есть \frac{AD}{DC}=\frac{tg \gamma}{tg \alpha}.
    Согласно сделанному замечанию, \frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{tg \gamma}{tg \alpha} и аналогично \frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{tg \beta}{tg \alpha}. Значит, в вершины A, B и C треугольника ABC можно поместить, например, массы m_{a}=tg \alpha, m_{b}=tg \beta, m_{c}=tg \gamma.
    M237_2
  2. Пусть O — центр описанной окружности (рис. 3). Имеем:
    \frac{AD}{BD}=\frac{sin \beta_{1}}{sin \alpha},
    \frac{DC}{BD}=\frac{sin \beta_{2}}{sin \gamma}
    (теорема синусов для треугольника ABD и BCD). Поэтому \frac{AD}{DC}=\frac{sin \gamma \cdot sin\beta_{1}}{sin \alpha \cdot sin \beta_{2}}.
    Треугольник BAK — прямоугольный (\measuredangle BAK=90^{\circ}) и \measuredangle BKA=\measuredangle BCA=\gamma; поэтому sin \beta_{1}=cos \gamma. Аналогично sin \beta_{2}=cos \alpha.
    Итак, \frac{AD}{DC}=\frac{sin \gamma}{sin \alpha}\cdot \frac{cos \gamma}{cos \alpha}=\frac{sin 2\gamma}{sin 2\alpha}.
    Учитывая замечание, получаем:
    \frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{sin 2\gamma}{sin 2\alpha}.
    Таким же образом \frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{sin 2\beta}{sin 2\alpha}.
    Значит, можно взять m_{a}=sin 2\alpha, m_{b}=sin 2\beta, m_{c}=sin 2\gamma.
    M237_3
  3.  Легко видеть (см. рис. 4), что AD=p-aDC=p-c, где p=\frac{a+b+c}{2}, поэтому \frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{p-a}{p-c}.
    Аналогично AE=p-a, EB=p-b, то есть \frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{p-a}{p-b}.
    Поэтому достаточно положить m_{a}=\frac{1}{p-a}, m_{b}=\frac{1}{p-b}, m_{c}=\frac{1}{p-c}.
    M237_4
  4. Так как BD — биссектриса угла B (см. рис. 5), то \frac{AD}{DC}=\frac{c}{a} или \frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{c}{a}; соответственно CE — биссектриса угла C и \frac{AE}{BE}=\frac{b}{a}, то есть \frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{b}{a}. Поэтому можно взять m_{a}=a, m_{b}=b, m_{c}=c.
    M237_5

Б. Д. Гинзбург