Пределы монотонных функций

Перед тем как рассматривать теорему, давайте вспомним, что такое монотонная функция и нарисуем  её график.

Функция f(x) называется монотонно возрастающей на отрезке [a;b], если \forall x_{1}, x_{2}\in[a;b],x_{1}> x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geq f(x_{2})

Функция f(x) называется монотонно убывающей на отрезке [a;b], если \forall x_{1}, x_{2}\in [a;b] ,x_{1}>  x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\leq f(x_{2})

Функция f(x) называется строго монотонно убывающей на отрезке [a;b], если \forall x_{1}, x_{2}\in [a;b],x_{1}>x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})

Функция f(x) называется строго монотонно возрастающей на отрезке [a;b], если \forall x_{1},x_{2}\in[a;b], x_{1}>x_{2}\Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})

Пример графика монотонно возрастающей функции.

grafik1

 

На графике видно, что \forall x_{1}, x_{2} : x_{1}>x_{2}, соответствующие значения функции f(x_{1})\geq f(x_{2})

Пример графика монотонно убывающей функции.

grafik2

На графике видно, что \forall x_{1},x_{2} : x_{1}>x_{2}, соответствующие значения функции f(x_{1})\leq f(x_{2})

Теорема о существовании односторонних пределов у монотонных функций

Формулировка:

Если функция f(x) определена и монотонна на отрезке [a;b], то в каждой точке x_{0}\in (a;b) эта функция имеет конечные пределы слева и справа, а в точках a и b правосторонний и левосторонний пределы.

Доказательство:

Пусть, например, функция f(x) монотонно возрастает на [a;b]. Выберем произвольную внутреннюю точку x_{0}\in (a;b]. Тогда \forall x\in [a;x_{0})\Rightarrow f(x)\leq f(x_{0})\Rightarrow f(x) ограничена сверху на [a;x_{0})\Rightarrow\exists\sup f(x)=M\leqslant f(x_{0}).
Согласно определению:
а) \forall x\in [a;x_{0})\Rightarrow f(x) \leqslant M
б) \forall \varepsilon > 0\exists x_{\varepsilon }:M-\varepsilon < f(x_{\varepsilon }), обозначим \delta =x_{0}-x_{\varepsilon }>0.
Если x\in (x_{\varepsilon };x_{0})=(x_{0-\delta };x_{0}), то f(x_{\varepsilon })\leq f(x).
Итог: \forall \varepsilon >0\exists \delta>0:\forall x\in (x_{0}-\delta;x_{0}):M-\varepsilon < f(x_{\varepsilon }) < f(x)\leq M<   M+\varepsilon \Leftrightarrow |f(x)-M|< \varepsilon
\lim_{x\rightarrow x_{0-0} } f(x) = M
Итак f(x_{0}-0)= \sup f(x), a\leqslant x<x_{0} .
Аналогично доказываем, что функция имеет в точке x_{0}\in [a;b) предел справа причем f(x_{0}+0)=\inf f(x), x_{0}<x\leqslant b.
Следствие. Если функция f определена и монотонна на интервале (a;b), \forall\ x_{0}\in (a;b)\exists \ предел справа и слева, причем если f возрастает, то
f(x_{0}-0)=\lim\limits_{x\to x_{0}-0} f(x)  \leq\lim\limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=f(x_{0}+0),
если убывает, то
f(x_{0}-0)=\lim\limits_{x\to x_{0}-0} f(x)  \geq\lim\limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=f(x_{0}+0).

Литература

Тест

Тест по теме Пределы монотонных функций.

Желаем удачи!

Таблица лучших: Предел монотонной функции

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Единственность предела функции, локальная ограниченность функции, имеющей предел

1. Единственность предела функции

Как мы говорили с Вами в прошлой статье, единственность предела следует из определения предела функции по Гейне. Однако давайте сформулируем и докажем теорему о единственности предела.

Теорема о единственности предела

Формулировка:

Если функция f(x) в точке a имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство:

Докажем методом от противного. Предположим, что \lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = b, \lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = c, b \neq c. Возьмём \varepsilon = \frac{|b-c|}{2}, по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая  
\delta-окрестность точки a (\dot{U}_{\delta }(a)), в которой одновременно будут выполнятся неравенства |f(x)-b|<\frac{|b-c|}{2}, |f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2} , тогда в точках этой же окрестности |b-c|=|(b-f(x))+(f(x)-c)| \leq |f(x)-b|+|f(x)-c|< \frac{|b-c|}{2}+\frac{|b-c|}{2}=|b-c|. Получили противоречие |b-c| < |b-c|. Отсюда, функция f(x) в точке a имеет единственный предел.

2. Локальная ограниченность функции, имеющей предел

Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел

Формулировка:

Если предел функции f(x) при x\rightarrow a равняется A, то найдётся окрестность точки a, во всех точках которой функция f(x) ограничена.

Доказательство:

Из определения предела по Коши получим: \forall \varepsilon >0  \exists \delta=\delta(\varepsilon) >0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon. Возьмём \varepsilon =1. Из условия теоремы следует существование окрестности \dot{U}_{\delta }(a). Следовательно, |f(x)-A|<1. Перепишем это следующим образом:A-1<f(x)<A+1. Легко видеть, что это и означает ограниченность функции f(x).

 Литература

Тест

Тест по теме Единственность предела, локальная ограниченность функции, имеющей предел.

Таблица лучших: Единственность предела

максимум из 17 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Геометрический смысл предела

Выясним, в чём заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции y=f(x) и отметим на нём точки x=a и y=A.

grafik1

Предел функции y=f(x) в точке x\rightarrow a существует и равен A, если для любой \varepsilon-окрестности точки A можно указать такую \delta-окрестность точки a, что для любого x из этой \delta-окрестности значение y=f(x) будет находится в \varepsilon-окрестности точки A.

Отметим, что по определению предела функции в точке для существования предела при x\rightarrow a не важно, какое значение принимает функция в самой точке a. Можно привести примеры, когда функция не определена при x=a или принимает значение, отличное от A. Тем не менее, предел может быть равен A.

Литература:

Определение предела по Коши и по Гейне, их эквивалентность

1. Определение предела по Коши и по Гейне

Определение 1.1. (определение по Коши или на языке \varepsilon - \delta):

A — предел функции f(x) в точке a (и пишут \(\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A\)), если: \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0:\forall x: 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon
В определении допускается, что x \neq a, то есть a может не принадлежать области определения функции.

Определение 1.2. (определение по Гейне):

A называется пределом функции f(x) в точке a, если \forall \left \{ x_{n} \right \}\rightarrow a, x_n\ne a то есть \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a, соответствующая последовательность значений {f(x_{n})} \rightarrow A, то есть \lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A.

Замечание 1.1.

Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке два разные предела.

Замечание 1.2.

Понятие предела функции в точке есть локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.

Замечание 1.3.

\forall x:0<|x-a|<\delta

Данную запись в определении можно сформулировать иначе: точка x принадлежит проколотой \delta-окрестности точки a(x\in \dot{U_{\delta }}(a))

2. Эквивалентность определений

Пусть число A является пределом функции f(x) в точке a по Коши. Выберем произвольную подходящую последовательность x_{n} , n \in N, то есть такую, для которой \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a. Покажем, что A является пределом по Гейне.

Зададим произвольное \varepsilon > 0 и укажем для него такое \delta > 0, что для всех x из условия 0 < |x-a| < \delta следует неравенство |f(x)-A | < \varepsilon. В силу того, что \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a, для \delta > 0 найдётся такой номер n_{\delta }\in N, что \forall n\geq n_{\delta } будет выполняться неравенство |f(x_{n})-A| < \varepsilon, то есть \lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A.

Докажем теперь обратное утверждение: предположим, что \lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A по Гейне, и покажем, что число A является пределом функции f(x) в точке a по Коши. Предположим, что это неверно, то есть: \exists \varepsilon_{0} > 0 \forall \delta > 0 :\exists x_{\delta }:0<|x_{\delta }-a|<\delta \Rightarrow |f(x_{\delta })-A|\geq \varepsilon. В качестве \delta рассмотрим \delta = \frac{1}{n}, а соответствующие значения x_{\delta } будем обозначать x_{n}. Тогда при любом n\in N выполняются условия |x_{n}-a|<\frac{1}{n} и |f(x_{n})- A | \geq \varepsilon. Отсюда следует, что последовательность x_{n} является подходящей, но число A не является пределом функции f(x) в точке a. Получили противоречие.

3. Примеры

Пример 3.1.

а) \lim\limits_{x\rightarrow 2 } x^{2} = 4

\forall \varepsilon >0\exists \delta >0:\forall x:0<|x-2|<\delta \Rightarrow |x^{2}-4|<\varepsilon|x^{2}-4|=|(x-2)(x+2)|=|x-2|\cdot|x+2|<5\delta <\varepsilon \Rightarrow 0<\delta <\frac{\varepsilon }{5} , например \delta =\frac{\varepsilon }{6}

б) \forall\left \{ x_{n} \right \}\rightarrow 2                                                                                 \lim\limits_{n\rightarrow 2 } f(x_{n}) =\lim\limits_{n\rightarrow 2} x_{n}^{2}=4

Пример 3.2.

Доказать, что f(x)=\sin \frac{1}{x} не имеет предела в точке 0.

\exists \left \{ {x_{n}}' \right \}\rightarrow 0 \exists \left \{ {x_{n}}'' \right \}\rightarrow 0

\left \{ f({x_{n}}') \right \}\rightarrow A_{1} \left \{ f({x_{n}}'') \right \}\rightarrow A_{2}

{x_{n}}':\sin \frac{1}{{x_{n}}'}=0\Leftrightarrow \frac{1}{{x_{n}}'}=\pi n\Rightarrow {x_{n}}' = \frac{1}{\pi n}\xrightarrow[ n\neq 0]{n\rightarrow \infty}0                                                            {x_{n}}'= \frac{1}{\pi n} \rightarrow 0:f({x_{n}}')=0\rightarrow 0                                                                                                {x_{n}}'':\sin \frac{1}{{x_{n}}''}=1\Leftrightarrow \frac{1}{{x_{n}}''}=\frac{\pi }{2}+2\pi n\Rightarrow {x_{n}}'' = \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n}\xrightarrow[n\neq 0]{n\rightarrow \infty }0                  {x_{n}}''= \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n} \rightarrow 0:f({x_{n}}'')=1\rightarrow 1

Вывод: последовательность по Гейне не имеет предела.

Литература

 Тест

Тест по теме Определение предела по Коши и по Гейне, их эквивалентность.

Желаем удачи!

Таблица лучших: Предел последовательности

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных