M1344

Задача из Научно-популярного физико-математическом журнала «Квант». Она была опубликована в февральском выпуске 1993г. под номером М1344.

Условие задачи

Том Сойер красит забор, состоящий из бесконечной последовательности прямоугольных досок разной ширины и высоты. Каждая доска на 1% уже, чем предыдущая, и выше нее, но не выше 2м. Том начинает с первой доски и затем, если доска выше предыдущей более чем на 2%, красит ее, а в противном случае — пропускает. Может ли забор быть таким, что он покрасит не менее:
а) 40%, б) 50%, в) 60% площади забора?

Решение

Пусть an — высота, bn — ширина n-ой доски; n=1,2,…
Положим q=0.99, p=\frac{1}{0.99*1.02}=\frac{1}{1.0098}.
По условию, b_{n}=b_{1}q^{n}, a_{n}\leq 2; доска будет окрашена, если отношение площади предшествующей доски к ее площади меньше p.
Заметим, что несмотря на бесконечность количества досок, длина и площадь забора конечны: его длина равна сумме бесконечно убывающей прогрессии b_{1}(1+q+...+q^{n}+...)=\frac{b_{1}}{1-q}, а площадь не превосходит \frac{2b_{1}}{1-q},.
Мы не только ответим на вопрос задачи, но и найдем точную оценку сверху доли окрашеной площади забора. Пусть забор таков, что первые N досок окрашены, а за ними идут неокрашеные доски высотой a_{N}=a, N- достаточно большое число (см. рисунок). Площадь неокрашеных досок равна D=a(q+q^{2}+...)=\frac{aq}{1-q}, а площадь окрашенных может быть сколь угодно близка к C=a(1+q+q^{2}+...)=\frac{a}{1-p}.
Поскольку \frac{C}{D}=\frac{1-q}{(1-p)q}=\frac{0.01*0.99*1.02}{0.0098*0.99}=\frac{1.02}{0.98}=\frac{51}{49}, этот пример показывает, что доля окрашенных досок может составлять почти 51% (и быть сколь угодно близкой к этому числу); нетрудно видеть, что эта доля может быть и любым меньшим числом.
Докажем, что она не может быть равной или большей 51%. Обозначим через S общую площадь забора, C — площадь окрашенных досок, D = S-C — площадь неокрашенных. Будем называть неотмеченными доски, предшествующие неокрашенным.
Пусть n-ая доска отмечена, тогда (n+1)-ая окрашена, и a_{n}b_{n}\leq a_{n+1}b_{n}=\frac{a_{n+1}b_{n+1}}{q}. Поэтому площадь всех неотмеченных досок не превосходит \frac{D}{q}. Пусть теперь n-ая доска не отмечена; тогда (n+1)-ая окрашена, и a_{n}b_{n}\leq pa_{n+1}b_{n+1}. Поэтому площадь всех неотмеченных досок не больше pC. Складывая площади всех — отмеченных и неотмеченных — досок, получим: S=pC+\frac{D}{q}, откуда, заменив S на C+D, получим C(1-p)\leq D(\frac{1}{q}-1)=\frac{D(1-q)}{q}, т.е. \frac{C}{D}\leq \frac{1-q}{q(1-p)}=\frac{51}{49}.
Итак, ответы на вопросы а) и б) задачи положительны, на вопрос в) — отрицателен.

А.Григорян

Теорема Ферма о корне производной

Формулировка

Если функция имеет локальный экстремум в точке x_{0} и дифференцируема в этой точке, то f'(x_{0})=0

Доказательство

Пусть, например, функция имеет локальный минимум в точке x_{0}. Тогда, по определению локального минимума для всех x\in(x_{0}-\delta , x_{0}+\delta ) выполняется неравенство f(x)-f(x_{0})\geq 0.
Если x\in(x_{0}-\delta ,x_{0}) , то x-x_{0}< 0, тогда из условия f(x)-f(x_{0})\geq 0 следует, что
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0,
а если x\in (x_{0},x_{0}+\delta ), то выполняется неравенство
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0.
Так как функция f предел при x\rightarrow x_{0} в левой части неравенства \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0, равный f_{-}^{'}(x_{0})=f'(x_{0}). По свойствам пределов из \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0 следует, что
f'(x_{0})\leq 0.
Аналогично, переходя к пределу в неравенстве \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0 получаем
f'(x_{0})\geq 0.
Из неравенств f'(x_{0})\leq 0 и f'(x_{0})\geq 0 следует, что f'(x_{0})=0.

Пример

Функция f(x)=x^{2} имеет на отрезке [-1,1] точку минимума x_{0}=0. Производная функция существует при всех x: f'(x)=2x. В точке минимума производная действительно оказывается равной 0. f'(x_{0})=f'(0)=0, так что утверждение теоремы Ферма выполнено.

ferma

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.164-165
  • Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140
  • www.pm298.ru
  • www.bymath.net

Геометрический смысл теоремы Ферма

Формулировка

Касательная к графику функции в точке локального экстремума (x_{0},f(x_{0})) параллельна оси абсцисс.

Ferma

Замечание

Теорема неверна, если функцию f(x) рассматривать на замкнутом отрезке [a,b].

Пример

Функция f(x)=x на отрезке [0; 1] в точке x=0 принимает наименьшее, а в точке x=1 наибольшее значение, однако, как в той, так и в другой точке производная в нуль не обращается, а равна единице.

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.165
  • sernam.ru

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Сама теорема здесь.

Формулировка

\frac{f(b)-f(a)}{b-a} — угловой коэффициент секущей, которая проходит через точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)) графика функции y=f(x), а f'(\xi ) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (\xi ,f(\xi )). Поэтому теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует значение \xi \in (a,b) такое, что касательная к графику функции y=f(x) в точке (\xi ,f(\xi )) параллельна секущей, соединяющей точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)).

  1. Следствие

    Если а дифференцируема на (a,b) и f'(x)=0 \forall x\in (a,b) то f(x)=c=const на (a,b)

    Его доказательство:

    Возьмем \forall x\in (a,b) и зафиксируем [x,x_{0}]\subset (a,b) ([x_{0},x]\subset (a,b)) Применим формулу конечных приращений Лагранжа на отрезке [x,x_{0}]
    f(x)-f(x_{0})=f'(\xi )(x-x_{0})\Rightarrow f(x)=f(x_{0}), \forall x\in (a,b).

  2. Следствие

    Если функция дифференцируема на (a,b) и f'(x)=k=const. \forall x\in (a,b)\Rightarrow f(x)=(kx+b) — линейная функция

    Его доказательство:

    Применяя теорему Лагранжа к функции f а на отрезке [a,x]\subset [a,b]: f(x)-f(a)=f'(\xi )(x-a). f(x)-f(a)=k(x-a). f(x)=kx+b. b=f(a)-ka

lag

  1. Следствие

    Пусть \varphi (x)

    1. Непрерывна на [a,b];
    2. Дифференцируема на (a,b) (кроме быть может некоторой точки x_{0}\in (a,b))
    3. \exists \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(x)

    Тогда \exists \varphi '(x_{0}), причем эта производная равна \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(x)

    Его доказательство:

    Пусть \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(x)=A, a<x<b, x\neq x_{0}. По Теореме Лагранжа\varphi (x)-\varphi (x_{0})=\varphi '(\xi )(x-x_{0}), где \xi \in (x_{0},x)\cup \xi \in (x,x_{0})\Rightarrow \varphi '(\xi )=\frac{\varphi (x)-\varphi (x_{0})}{x-x_{0}}. (Будем считать, что функция однозначна) \xi =\xi (x): x_{0}<\xi (x)<x\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\xi (x)=x_{0}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(\xi)=A=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\varphi (x)-\varphi (x_{0})}{x-x_{0}}=\varphi '(x_{0})

Пример

Найти функцию \Theta =\Theta (x_{0},\Delta x) такую, что f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=\Delta xf(x_{0}+\Theta \Delta x), если f(x)=ax^{2}+bx+c, a\neq 0

... показать

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Этот тест разработан для лучшего усвоения знаний

Литература

Формула конечных приращений Лагранжа

Формулировка

Если функция \in C[a,b] и дифференцируема на (a,b), то \exists \xi \in (a,b):f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).

Доказательство

Рассмотрим функцию \exists \xi \in (a,b):f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a), где число \lambda выберем таким, чтобы выполнялось условие \varphi (a)=\varphi (b), т.е. f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b. Отсюда находим
\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Так как функция \varphi (x)непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля о корне производной существует точка \xi \in (a,b) такая, что \varphi '(\xi )=f'(\xi )+\lambda =0. Отсюда в силу условия \lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} получаем равенство
f'(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
равносильное равенству f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).

Пример

Доказать что ln(1+x)<x при 0<x

... показать

Формула конечных приращений Лагранжа

Этот тест был разработан для проверки усвоенных знаний по данному разделу

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.166-168
  • Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140