Ряды Фурье по тригонометрической системе

Пусть функция $f$ абсолютно интегрируема на $[-\pi ,\pi ]$ в несобственном смысле. Найдем выражение для частичной суммы ее ряда Фурье по тригонометрической системе

$${ S }_{ n }(x,f)=\frac { { a }_{ 0 } }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k } } \cos { kx } +{ b }_{ k }\sin { kx= } $$
$$=\frac { 1 }{ 2\pi  } \int\limits_{ -\pi  }^{ \pi  }{ f(t)dt+\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \pi  }  }  }\int\limits_{ -\pi }^{ \pi }{ f(t)[\cos { kt\cos { kx } +\sin { kt\sin { kx } } } }]dt=$$ $$=\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ -\pi }^{ \pi }{ f(t)\left[ \frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { k(t-x) } } \right] dt }$$

Обозначим
$${ D }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { kt }  }. $$
Функция ${ D }_{ n }(t)$ называется ядром Дирихле. Тогда получим
$${ S }_{ n }(x,f)=\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ -\pi  }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t-x)f(t)dt.$$
Интеграл в правой части называется интегралом Дирихле.

Свойства ядра Дирихле

  1. $\quad { D }_{ n }(0)=n+\frac { 1 }{ 2 } \quad (n=0,1,…).$

  2. $\quad  \frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ -\pi  }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t)dt=1\quad (n=0,1,…).$

  3. Доказательство свойств 1 и 2 вытекает из определения ядра Дирихле.

  4. $\quad { D }_{ n }(t)=\frac { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 }  } )t }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 }  }  } \quad (n=0,1,…,\quad t\neq 2\pi k,\quad k\in N).$
  5. Доказательство показать
  6. $\quad \int\limits _{ -\pi  }^{ 0 }{ { D }_{ n } } (t)dt=\int\limits _{ 0 }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t)dt=\frac { \pi  }{ 2 },$ или $\frac { 2 }{ \pi  } \int\limits _{ 0 }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t)dt=1$

    1. Следствие

      Пусть $0<\delta <\pi ,\quad  x\in [-\pi,\pi ]$, $\quad 2\pi$-периодическая функция $f$ абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi ].$ Тогда
      $${ S }_{ n }(x,f)=\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ 0 }^{ \delta  }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt+\overline { o } (1)\quad (n\rightarrow \infty ).$$

      Доказательство показать

      Теорема(принцип локализации)

      Пусть $2\pi $-периодическая функция $f$ абсолютно интегрируема на отрезке $[-\pi ,\pi ]$. Тогда сходимость ряда Фурье функции $f$ в точке ${ x }_{ 0 } \in R$ зависит от существования при $n\rightarrow \infty$ предела интеграла
      $$\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ 0 }^{ \delta  }{ { D }_{ n } } (t)[f({ x }_{ 0 }+t)+f({ x }_{ 0 }-t)]dt,$$
      где $\delta$ — сколь угодно малое положительное число. Иначе говоря, сходимость ряда Фурье в точке ${ x }_{ 0 }$ определиться лишь поведением функции $f$ в любой сколь угодно малой окрестности точки ${ x }_{ 0 }.$

      Разложение в ряд Фурье линейной функции ($f\left( x \right) =kx+b$)

      Литература

      Тест

      Проверьте свои знания


      Таблица лучших: Ряды Фурье по тригонометрической системе

      максимум из 18 баллов
      Место Имя Записано Баллы Результат
      Таблица загружается
      Нет данных

Замкнутые и полные ортонормированные системы

Рассмотрим произвольную ортонормированную систему $\{ { \varphi  }_{ k }\}$ в евклидовом пространстве $R$.

Определение

Ортонормированная система $\{ { \varphi  }_{ k }\}$ называется замкнутой, если для любого $f\in R$ и для любого $\varepsilon >0$ найдется такая линейная комбинация конечного числа элементов $\{ { \varphi  }_{ k }\},$ что будет верно следующее неравенство:
$$\left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { c }_{ k }{ \varphi  }_{ k } }  \right\| <\varepsilon.$$

Запишем неравенство Бесселя:
$$\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { a }_{ k }^{ 2 } } \le { \left\| f \right\|  }^{ 2 },$$
где ${ \{ a }_{ k }\}$ — коэффициенты Фурье элемента $f$ по некоторой ортонормированной системе.

Теорема 1 (равенство Парсеваля)

Если ортонормированная система $\{ { \varphi  }_{ k }\} $ замкнута для любого элемента $f\in R$, то неравенство Бесселя обращается в равенство Парсеваля:
$$\left\| \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { (f,{ \varphi  }_{ k }) }^{ 2 } }  \right\| ={ \left\| f \right\|  }^{ 2 }.$$

Доказательство показать

Теорема 2

Если ортонормированная система $\{ { \varphi  }_{ k }\}$ замкнута в $R$, то для любого элемента $f\in R$ его ряд Фурье сходится к $f$ по норме пространства $R:$
$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ (f,{ \varphi  }_{ k }) } { \varphi  }_{ k } \right\|  } =0.$$

Доказательство показать

Определение

$\{ { \varphi  }_{ k }\}$ — ортонормированная система, $ f\in R$. $\{ { \varphi  }_{ k }\} $ называется полной, если из равенств $(f,{ \varphi  }_{ k })=0,\quad k=\overline { 1,n }$ следует, что $f$ — нулевой элемент в $R$.

Теорема 3

Если ортонормированная система замкнута, то она полная.

Доказательство показать

Литература

M390. Сумма цифр числа

Задача из журнала «Квант» (1976, №6)

Условие

Докажите что существует бесконечно много натуральных ${n}$, для которых сумма цифр числа ${2}^{n}$ больше суммы цифр числа ${2}^{n+1}.$

Решение

max

Рис.1

Решение этой задачи основано на двух фактах.

Остатки чисел  $ 1,\quad 2,\quad { 2 }^{ 2 },\quad { 2 }^{ 3 }…$ при делении на 9 образуют периодическую последовательность, изображенную на рисунке 1.

II Количество цифр в числе   ${2}^{n}$ не превосходит

$$\lg{{ 2 }^{ n }}+1=n\cdot \lg{2}+1\le \frac { n }{ 3 } +1.$$

Покажем, что эти два факта находятся в противоречии с предположением:

III       $$s({ 2 }^{ n })\le s({ 2 }^{ n+1 })$$

для всех  ${n}$, не меньших некоторого ${N}$, где ${s(a)}$ — сумма цифр числа ${a}.$

Отсюда будет следовать, что III неверно, а это и требуется доказать в задаче.

Допустим, что III верно, то есть что для всех ${n\ge N}$ сумма цифр ${2}^{n}$ все время возрастает. Тогда согласно I для ${n\ge N}$ при переходе от ${2}^{n}$ до ${2}^{n+6}$ (за один период) сумма цифр увеличивается не меньше, чем на

$${1+2+4+8+7+5=27}.$$

(Мы рассуждаем так: если ${a}$ дает при делении на ${9}$ остаток ${8}$, ${b}$ — остаток ${7}$ и ${a<b}$, то разность ${b-a}$ не меньше ${8}$; оценки для разностей указаны на рисунке 1 красным цветом). Итак,

$$s({ 2 }^{ n+6 })\le s({ 2 }^{ n })+27.$$

Значит, при ${n=N+6k}$, где  ${k\ge 1}$, будет $$s({ 2 }^{ n })=s({ 2 }^{ N+6k })\ge { s(2 }^{ N })+27k=\cfrac { 9 }{ 2 } n-\cfrac { 9 }{ 2 } N+s({ 2 }^{ N }).$$

Поскольку все цифры не больше 9, согласно II

$$s({ 2 }^{ n })\le 9(\frac { n }{ 3 } +1).$$

Таким образом, при всех ${n=N+6k}$ должно выполняться неравенство

$$\frac { 9 }{ 2 } n-A\le s({ 2 }^{ n })\le 3n+9.$$

(здесь $A$ — число, не зависящее от $n$). Но поскольку $\frac { 9 }{ 2 } >3$, это, очевидно, неверно(при всех $n>2(A+9)/3$). Полученное противоречие доказывает, что предположение III неверно.