Сведение кратных интегралов к повторным

Сведение двойного интеграла к повторному

Теорема 1

Пусть:

  1. функция $f(x,y)$ интегрируема в некотором прямоугольнике $\Pi = \{ (x,y): a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \};$
  2. для любых $x \in [a,b]$ существует интеграл $\int\limits_c^d f(x,y)\,dy.$

Тогда $\int\limits_c^d f(x,y)\,dy$ — интегрируемая на отрезке $[a,b]$ функция от аргумента $x,$ и справедлива следующая формула:
$$\iint\limits_{\Pi} f(x,y)\,dx\,dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x,y)\,dy.$$

Доказательство

... показать

Следствие 1

Пусть:

  1. существует двойной интеграл $\iint\limits_{\Pi} f(x,y)\,dx\,dy;$
  2. для любых $x \in [a,b]$ существует интеграл $\int\limits_c^d f(x,y) \, dy;$
  3. для любых $y \in [c,d]$ существует интеграл $\int\limits_a^b f(x,y) \, dx.$

Тогда справедлива формула

$\iint\limits_{\Pi} f(x,y)\,dx\,dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x,y)\,dy =$ $\int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x,y)\,dx. \; (3)$

Следствие 2

Непрерывность функции $f(x,y)$ в прямоугольнике $\Pi$ влечет выполнимость условий следствия 1, а значит, справедлива формула $(3).$

Если функция $\psi (x)$ интегрируема на отрезке $[a,b],$ то формула $(3)$ остается справедливой при замене функции $f(x,y)$ на $\psi (x) f(x,y).$

Определение 1

Пусть:

  1. $\phi (x)$ и $\psi (x)$ — функции, непрерывные на отрезке $[a,b];$
  2. для любых $x \in (a,b)$ выполняется неравенство $\phi (x) < \psi (x).$

Тогда область (рисунок 1)
$$\Omega = \{(x,y): \phi (x) < y < \psi (x), a < x < b\}$$
будем называть элементарной относительно оси $y.$
Fig_1
Поскольку граница области $\delta \Omega$ состоит из графиков непрерывных функций, то $\Omega$— измеримая по Жордану область.

Теорема 2

Пусть:

  1. $\Omega$ — элементарная область относительно оси $y;$
  2. функция $f(x,y)$ интегрируема на области $\overline{\Omega} = \Omega \cup \delta \Omega;$
  3. для любых $x \in [a,b]$ существует интеграл $\int\limits_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(x,y)\,dy.$

Тогда справедлива следующая формула:
$$\iint\limits_{\Omega} f(x,y)\,dx\,dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(x,y)\,dy. \;(4)$$

Доказательство

... показать

Пример 1

Вычислить двойной интеграл $\iint\limits_G x^2 \, dx\,dy$ по области $G = \{(x,y): -1 < x < 1, x^2 < y < 2 \}$ (рисунок 3).
Fig_3

Решение

... показать

Пример 2

Свести к повторному интеграл $\iint\limits_G f(x,y) \, dx \, dy,$ где $G$ — область, ограниченная окружностями $x^2 + y^2 = 4$ и $x^2 -2x + y^2 = 0$ (рисунок 4).
Fig_4

Решение

... показать

Сведение тройного интеграла к повторному

Определение 2

Область $\Omega \in \mathbb{R}^3$ будем называть элементарной относительно оси $z,$ если
$$\Omega = \{(x,y,z): (x,y) \in G \subset \mathbb{R}^2, \phi(x,y) < z < \psi(x,y) \},$$
где $G$ — ограниченная в $\mathbb{R}^2$ область, а функции $\phi(x,y)$ и $\psi(x,y)$ непрерывны на $\overline{G},$ где $\overline{G}$ — замыкание области $G.$

Теорема 3

Если функция $f(x,y,z)$ непрерывна на $\overline{\Omega} = \Omega \cup \delta \Omega,$ где область $\Omega$ элементарна относительно оси $z,$ то справедлива следующая формула:
$$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz = \iint\limits_G dx \,dy \int\limits_{\phi(x,y)}^{\psi(x,y)} f(x,y,z) \, dz. \; (6)$$

Доказательство

... показать

Пример 3

Вычислить тройной интеграл $\iiint\limits_G z \, dx \, dy \, dz,$ где $G$ — область, ограниченная плоскостями $x + y + z = 1,$ $x = 0,$ $y = 0$ и $z = 0$ (рисунок 5).
Fig_5

Решение

... показать

Тест

Проверьте свои знания по теме, пройдя этот небольшой тест.

M1626. О сумме длин отрезков в треугольнике, вписанном в окружность

Задача из журнала «Квант» (выпуск №1, 1998).

Условие

В треугольнике $ABC$ угол $A$ является наименьшим. Точки $B$ и $C$ делят окружность, описанную около этого треугольника, на две дуги. Пусть $U$ — внутренняя точка той дуги с концами $B$ и $C$, которая не содержит точку $A$. Серединные перпендикуляры к отрезкам $AB$ и $AC$ пересекают прямую $AU$ в точках $V$ и $W$ соответственно. Прямые $BV$ и $CW$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что $$AU = TB + TC.$$

Решение

Нетрудно доказать, что если $\angle A$ — наименьший из углов $\triangle ABC$, то точка $T$ находится внутри этого треугольника. Пусть прямые $BV$ и $CW$ пересекают окружность, описанную около $\triangle ABC$, вторично в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно (рис. 1).

В силу симметрии относительно серединного перпендикуляра к стороне $AB$ имеем $AU = BB_1$. Аналогично, $AU = CC_1$. Следовательно, $BB_1 = CC_1$, а значит, и $TB = TC_1$ ($BCB_{1}C_{1}$ — равнобедренная трапеция). Тогда $TB + TC = TC_1 + TC = CC_1 = AU$, что и требовалось доказать.

Замечания

  1. Если $\angle A = 30 ^ \circ$, а $O$ — центр окружности, описанной около $\triangle ABC$, то $|BT — CT| = OT$.
  2. Если отказаться от требования минимальности угла $A$, то (при условии, что прямые $BV$ и $CW$ действительно пересекаются, а не параллельны) справедливо следующее утверждение: из отрезков $AU$, $TB$ и $TC$ один равен сумме двух других. Например, в ситуации, изображенной на рисунке 2, $TB = AU + TC$.