Симметрическая группа

Множество всех подстановок порядка n с операцией умножения подстановок образуют группу S_n. Единичным элементом группы является подстановка e=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\1&2&\cdots&n\end{pmatrix}, обратной подстановкой для \pi=\begin{pmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_n\\j_1&j_2&\cdots&j_n\end{pmatrix} является \pi^{-1}=\begin{pmatrix}j_1&j_2&\cdots&j_n\\i_1&i_2&\cdots&i_n\end{pmatrix}. Порядок этой группы равен n!.
Группа S_n называется симметрической группой порядка n .
При n>2 группа S_n не коммутативна.

Пример

Группа S_3 состоит из шести элементов: e=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}. Эта группа не коммутативна: произведение \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix} равно \begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}, что отлично от \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}.

Задача

Доказать, что порядок группы S_n равен n!.

... показать

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Циклическая группа

Будем говорить, что группа G является циклической, если существует такой элемент a\in G, что всякий элемент x\in G может быть записан в виде x=a^n, где n\in Z(другими словами, если отображение f: Z\rightarrow G, определяемое формулой f(n)=a^n,сюръективно). При этом элемент a называется образующей группы G. Всякая циклическая группа, очевидно, абелева.
Примером бесконечной циклической группы служит аддитивная группа целых чисел — всякое целое число кратно числу 1, то есть это число служит образующим элементом рассматриваемой группы; в качестве образующего элемента можно было бы также взять число -1.
Примером конечной циклической группы порядка n служит мультипликативная группа корней n-ой степени из единицы. Все эти корни являются степенями одного их них, а именно первообразного корня.

Задача

Пусть G — группа с групповой операцией \ast и g\in G. Доказать, что множество H=\{g^k, (g')^k|k\in N\cup \{0\}\} является группой. Группа H является циклической, порождённой g. H=\langle g\rangle.


Решение.Введём обозначения: g'=g^{-1}, (g')^k=g^{-k}. Докажем, что для m,n\in Z выполняется g^m\ast g^n=g^{m+n}.
 m\geq 0, n\geq 0\Rightarrow g^m\ast g^n=g^{m+n}.
-n\leq m<0

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Подструктуры

Подгруппа

Пусть H\neq\varnothing. Множество H является подгруппой группы G, если само H является группой относительно сужения операции, определённой на G.

Критерий подгруппы

Пусть G — группа.  H\in G. H\neq\varnothing
Тогда H является подгруппой G \Leftrightarrow \forall a,b\in H ab^{-1}\in H ((a-b)\in H)., где b^{-1} — элемент, обратный к b.

Задача

Проверить, являеется ли группа (mZ,+) (m\geq 1) подгруппой группы (Z, +), где Z — множество целых чисел.

... показать

Подкольцо

Рассмотрим кольцо \mathcal{R}=(R,+,\cdot ,0,1). Если множество Q есть подмножество множества R, замкнутое относительно операций сложения и умножения кольца R, содержащее нуль и единицу кольца R, а также вместе с каждым x\in Q содержащее противоположный к нему элемент (-x), то \mathcal{Q}=(Q,+,\cdot ,0,1) также есть кольцо. Его называют подкольцом кольца \mathcal{R}.

Другими словами, \mathcal{Q} называется подкольцом в \mathcal{R}, если оно само является кольцом относительно сужения операций, определенных на R.

Критерий подкольца

Непустое подмножество R_1 кольца R будет его подкольцом \Leftrightarrow

  1. \forall a,b\in R_1 (a+b)\in R_1
  2. \forall a,b\in R_1 ab\in R_1

Подполе

Пусть P-поле. L\subset P, L\neq\varnothing.
L называется подполем P, если L само является полем относительно сужения операций, определённых на P.
При этом P называется расширением L.
Понятие подполя определяется аналогично понятию подкольца.Единственное по сравнению с определением подкольца дополнительное требование состоит в том, что носитель подполя должен вместе с каждым элементом x содержать обратный к нему по умножению поля элемент x^{-1} . Это значит, что мультипликативная группа подполя должна быть подгруппой мультипликативной группы всего поля.

Пример

... показать

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля.

Группа

Множество G с бинарной алгебраической операцией \ast называется группой, если выполняются следующие условия:

  1. Операция \ast в G ассоциативна: a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c \forall a,b,c\in G;
  2. В G существует нейтральный элемент \theta :a\ast\theta=\theta\ast a=a \forall a\in G;
  3. Для каждого элемента a\in G существует обратный ему элемент a^{-1}\in G: a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=\theta .

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Задача

Доказать, что множество рациональных чисел R является абелевой группой относительно операции сложения.

... показать

Кольцо

Множество K , на котором заданы две операции — сложение (+) и умножение \cdot, называется кольцом, если выполняются следующие условия:

  1. Относительно операции сложения множество K — коммутативная группа, т.е:
    1. Операция сложения коммутативна: a+b=b+a \forall a,b\in K;
    2. Операция сложения ассоциативна: a+(b+c)=(a+b)+c \forall a,b,c\in K;
    3. Существует нулевой элемент \theta: a+\theta =\theta +a=a \forall a\in K;
    4. для каждого элемента существует противоположный ему элемент (-a)\in K: a+(-a)=(-a)+a=\theta;
  2. Операция умножения в множестве K ассоциативна:
    a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c  \forall a,b,c\in K
  3. Операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
    (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c  c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b  \forall a,b,c\in K

Если операция умножения коммутативна:a\cdot b=b\cdot a, то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент e: a\cdot e=e\cdot a=a, то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.

Задача

Проверить яляется ли кольцом множество комплексных чисел.

... показать

Поле

Полем называется кольцо P, обладающее следующими свойствами:
1. Обратимость умножения. \forall a,b\in P, где a\neq 0, уравнение ax = b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что aq = b.

2. P содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Бинарные отношения

Пусть A и B два конечных множества. Декартовым произведением множеств A и B называют множество A\times B,состоящее из всех упорядоченных пар, где  a\in A, b\in B.

Бинарным отношением между элементами множества A и B называется любое подмножество R множества A\times B, то есть  R\subset A\times B.

По определению, бинарным отношением называется множество пар. Если R — бинарное отношение (т.е. множество пар), то говорят, что параметры x и y связаны бинарным отношением R, если пара \langle x,y \rangle является элементом R, т.е. \langle x,y \rangle\in R.

Высказывание: «предметы x и y связаны бинарным отношением R» записывают в виде xRy.Таким образом,  xRy\leftrightarrow\langle x,y\rangle\in R.

Если R\subset A\times A , то говорят, что бинарное отношение определено на множестве A.

Примеры бинарных отношений:

  • на множестве целых чисел Z отношения «делится», «делит», «равно», «больше», «меньше», «взаимно просты»;
  • на множестве прямых пространства отношения «параллельны», «взаимно перпендикулярны», «скрещиваются», «пересекаются», «совпадают»;
  • на множестве окружностей плоскости «пересекаются», «касаются», «концентричны».
  • Областью определения бинарного отношения R называется множество, состоящее из таких x, для которых \langle x,y \rangle\in R хотя бы для одного y.
    Область определения бинарного отношения будем обозначать  \Re R.
    \Re R=\{ x|\exists y(\langle x,y\rangle\in R)\}
    Областью значений бинарного отношения R называется множество, состоящее из таких y, для которых \langle x,y \rangle\in R хотя бы для одного x.
    Область значений бинарного отношения будем обозначать \Im R
    \Im R=\{ y|\exists x(\langle x,y\rangle\in R)\}

    Инверсия (обратное отношение) R — это множество \{\langle x,y\rangle |\langle y,x\rangle\in R\} и обозначается, как {R}^{-1}.

    Композиция (суперпозиция) бинарных отношений R и S — это множество \{\langle x,y\rangle |\exists z\langle xSz\wedge zRy\rangle\} и обозначается, как R\circ S.

    Свойства бинарных отношений

    Бинарное отношение R на некотором множестве M может обладать различными свойствами, например:

    • Рефлексивность: \forall x\in M(xRx)
    • Антирефлексивность (иррефлексивность): \forall x\in M\neg (xRx)
    • Корефлексивность: \forall x,y\in M(xRy\Rightarrow x=y)
    • Симметричность: \forall x,y\in M(xRy\Rightarrow yRx)
    • Антисимметричность: \forall x,y\in M(xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y)
    • Асимметричность: \forall x,y\in M(xRy\Rightarrow\neg (yRx)). Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения.
    • Транзитивность: \forall x,y,z\in M(xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz)
    • Связность: \forall x,y\in M(x\neq y\Rightarrow xRy\lor yRx)

    Виды отношений

    • Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка
    • Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности
    • Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка
    • Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка
    • Полное антисимметричное (для любых x, y выполняется xRy или yRx) транзитивное отношение называется отношением линейного порядка
    • Операции над отношениями

      Над бинарными отношениями можно производить некоторые операции, точно так же, как и над множествами. Не ограничивая общности, будем считать, что следующие операции выполняются на множестве M.

      • Пересечение. Пересечением двух бинарных отношений (Aи B) является отношение, которое определяется пересечением соответствующих подмножеств. Очевидно, что отношение A\cap B выполнимо только в том случае, когда некоторые x и y связаны как первым, так и вторым отношением (xAy и xBy).

        Например, пересечением отношения «не меньше» и «не равно» является отношение «больше».
         xAy\Leftrightarrow x\geq y, xBy\Leftrightarrow x\neq y, тогда A\cap B\Leftrightarrow x>y

      • Объединение. Объединением двух бинарных отношений (A и B) является отношение, которое определяется объединением соответствующих подмножеств. Отношение A\cup B выполнимо только в том случае, когда некоторые x и y связаны хотя бы одним из двух отношений хотя бы одно из отношений (xAy или xBy).

        Например, объединением отношения «больше» и отношения «равно» является отношение «больше, либо равно».

      • Включение. Обозначается A\subseteq B. Первое отношение включено во второе, если все те пары, для которых выполняется первое отношение, являются подмножеством пар, для которых выполняется второе отношение. Если A\subseteq B, то A\neq B. Если A\subseteq B, то, когда любые два элемента из множества, на котором выполняется отношение A, связаны этим отношением, они связаны отношением B.
      • Очевидно, для любого отношения A \varnothing\subseteq A\subseteq U, где \varnothing — пустое, а U— полное отношение.

      Графическое представление бинарных отношений

      Приведём в пример два графических представления бинарных отношений на множстве X = \{a, b, c, d, e\}.
      Первый способ тесно связан с аналитической геометрией. Пусть дана пара взаимно перпендикулярных осей (Ox и Oy). На каждой оси нужно отметить точки которые являются элементами множества X.
      Будем считать, что a, b, c, d, e — координаты точек на горизонтальной и вертикальной осях. Теперь отметим на плоскости точки с координатами (x, y). На рисунке изображена совокупность точек, соответствующих следующему отношению: R=\{(a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e,b), (e, e)\}.
      Image1

      Следующий способ, который мы рассмотрим, заключается в использовании ориентированных графов. Элементы множества X становятся вершинами графа, а элементы \langle x,y\rangle отношения R ребрами, которые соединяют первый член x отношения со вторым членом y. Граф, соответствующий бинарному отношению R, изображен на рисунке.
      Image1

      Задача

      Бинарное отношение R задано на множестве A=\{1,2,3,4\}, определить его свойства.
      R=\{(1,1),(1,2),(2,3),(2,2),(2,4)\}

      ... показать

      Источники: