Построение общего решения СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ

Задача

Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

$$
\left\{
\begin{array}{l l}
2x_1&-3x_2&+5x_3&+7x_4&=1 \\
4x_1&-6x_2&+2x_3&+3x_4&=2 \\
2x_1&-3x_2&-11x_3&-15x_4&=1
\end{array}
\right.
$$

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.$$
\left(\left.\begin{matrix}
2 & -3 & 5 & 7 \\
4 & -6 & 2 & 3 \\
2 & -3 & -11 & -15
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
1 \\ 2 \\ 1
\end{matrix}\right)
\sim
\left(\left.\begin{matrix}
2 & -3 & 5 & 7 \\
0 & 0 & -8 & -11 \\
0 & 0 & -16 & -22
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
\sim$$
$$\sim
\left(\left.\begin{matrix}
2 & -3 & 5 & 7 \\
0 & 0 & -8 & -11 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
$$Последняя матрица равносильна следующей системе:$$
\left\{
\begin{array}{l l}
2x_1&-3x_2&+5x_3&+7x_4&=1 \\
& &-8x_3&-11x_4&=0
\end{array}
\right.
$$Главными переменными назовем те, минор из коэффициентов при которых не равен нулю, например $x_1$ и $x_3$, и выразим через них остальные (свободные) переменные:$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&=\frac{1 + 3x_2-5x_3-7x_4}{2} \\
x_3&=-\frac{11}{8}x_4
\end{array}
\right.$$ $$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&=\frac{1 + 3x_2-\frac{1}{8}x_4}{2} \\
x_3&=-\frac{11}{8}x_4
\end{array}
\right.
$$Последняя система является общим решением исходной СЛАУ. Выберем произвольные значения свободных переменных, например $x_2=1$ и $x_4=0$, тогда $x_1=2$, $x_2=1$, $x_3=x_4=0$ является частным решением исходной СЛАУ. Напомним, что общее и частное решения определены неоднозначно в силу неоднозначности выбора главных переменных и значений свободных переменных.

Задача

Найти общее решение и фундаментальную систему решений (ФСР) для следующей системы уравнений:

$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&+2x_2&+4x_3&-3x_4&=0 \\
3x_1&+5x_2&+6x_3&-4x_4&=0 \\
4x_1&+5x_2&-2x_3&+3x_4&=0 \\
3x_1&+8x_2&+24x_3&-19x_4&=0
\end{array}
\right. $$

Решение:

Аналогично предыдущему решению, найдем общее решение системы.$$A = \left(\left.\begin{matrix}
1 & 2 & 4 & -3 \\
3 & 5 & 6 & -4 \\
4 & 5 & -2 & 3 \\
3 & 8 & 24 &-19
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
\sim
\left(\left.\begin{matrix}
1&2&4&-3\\
0&-1&-6&5\\
0&-3&-18&15\\
0&2&12&-10
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
\sim$$ $$\sim
\left(\left.\begin{matrix}
1&2&4&-3\\
0&-1&-6&5\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)$$Заметим, что $\mathrm{rang}A=2$.$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&+2x_2&+4x_3&-3x_4&=0 \\
&-x_2&-6x_3&-15x_4&=0
\end{array}
\right.
$$Общее решение исходной СЛАУ:$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1 & = &+8x_3 &-7x_4\\
x_2 & = &-6x_3 &+5x_4
\end{array}
\right.
$$ФСР состоит из $k=(n-\mathrm{rang}A)$ векторов, где $n$ — количество переменных. В нашем случае $k=2$, значит ФСР будет состоять из двух векторов $c_1$ и $c_2$. Возьмем произвольные значения свободных переменных:$$\begin{array}{c|c|c|c|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
\hline
c_1 & & & 1 & 0\\
\hline
c_2 & & & 0 & 1
\end{array}$$Подставив эти значения в общее решение СЛАУ, найдем значения главных переменных:
$$\begin{array}{c|c|c|c|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
\hline
c_1 & 8 & -6 & 1 & 0\\
\hline
c_2 & -7 & 5 & 0 & 1
\end{array}$$Таким образом, ФСР исходной СЛАУ — это система $<(8, -6, 1, 0), (-7, 5, 0, 1)>$.

Литература

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968, с.77-88.

Тест

Тест служит проверкой навыков нахождения решений СЛАУ.

Таблица лучших: СЛАУ

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Корни многочлена. Выявление кратных корней многочлена

Теоретическая справка показать

Задача

Является ли число 2 корнем многочлена $f(x)=x^5-5x^4+3x^3+22x^2-44x+24$, и если является — то какой кратности?

Решение

С помощью схемы Горнера определим делится ли $f(x)$ на $(x-2)$. Имеем:

1 -5 3 22 -44 24
2 1 -3 -3 16 -12 0

Остаток при делении $f (x)$ на $(х-2)$ равен 0, а значит мы можем ответить на первый вопрос поставленной задачи: да, число 2 является корнем многочлена $f (x)$. Осталось выяснить, какой кратности этот корень. Продолжим деление многочлена по схеме Горнера:

1 -5 3 22 -44 24
2 1 -3 -3 16 -12 0
2 1 -1 -5 6 0
2 1 1 -3 0
2 1 3 3

Видно, что $f (x)$ делится на $(х-2)^ 3$, т.е. $f (x) = (x-2)^ 3 (x^2+x-3)$, но не делится на $(х-2)^ 4$. А это значит, что 2 — корень третей кратности многочлена $f(x)$.

Теоретическая справка показать

Задача

Найти все значения параметра $m$, при которых многочлен $f(x)=x^4-4m^3x+48$ имеет корень кратности 2.

Решение

$$
\left\{
\begin{array}{l l}
f(x)=x^4-4m^3+48=0, \\
\frac{df}{dx}=4x^3-4m^3=0, \\
\frac{d^2f}{dx^2}=12x^2\ne0.
\end{array}
\right.
$$

$$\left\{
\begin{array}{}
x^4-4m^3+48=0, \\
x=m,\\
x\ne0,
\end{array}
\right.$$

$$\left\{
\begin{array}{}
x^4-4m^3+48=0, \\
m\ne0,
\end{array}
\right.$$

$$\left\{
\begin{array}{}
m=2, \\
m=-2.
\end{array}
\right.
$$
Ответ: $\pm$2.

Литература

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968, с.143-147.

Тест

Необходимо определить при каком условии число является корнем заданной кратности.

Таблица лучших: Кратность корней

максимум из 1 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных


Корни многочлена. Выявление кратных корней многочлена

Бинарная алгебраическая операция


Пусть $n\in\mathbb{N}$ и $A\ne\varnothing$, тогда $n$-арной операцией $*$, определенной на множестве $A$,
называется отображение $*:A^{n}\to A$, такое что $\forall(a_{1}, a_{2}, … , a_{n})\in A^n$
$(a_{1}, a_{2}, … , a_{n})\xrightarrow{\text{ * }}a_{n+1}\in A$.

При $n=2$ операция называется бинарной алгебраической операцией (БАО).

Операция является БАО, если удовлетворяет следующим условиям:

  1. Всюдуопределенность: к любой паре $a$ и $b$ можно применить операцию $*$;
  2. Однозначность: элемент, который ставится в соответствие паре — единственный;
  3. Замкнутость: элемент, который ставится в соответствие паре $a$, $b$ также принадлежит рассматриваемому множеству;

$$\forall a,b\in A \exists!c: (a,b)\xrightarrow{*}c \wedge c\in A $$

Примеры БАО:

  • «+» на множествах $\mathbb{Z, R, Q}$
  • «$\times$» на множествах $\mathbb{Z, R, Q}$
  • $*$ на $A=\mathbb{Z}, \forall a,b \in A, a*b=(a+b)^2$
  • «+» на $A=\mathbb{R^2}$, $\forall(a,b), (c,d)\in A$: $(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)$

Литература:

  • Конспект лекций Г.С. Белозерова
  • Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
  • Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17

Тест

В каждом задании теста необходимо определить, является ли операция БАО.

Таблица лучших: БАО

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных