Интегральный признак

Интегральный признак сходимости ряда

Формулировка

Дана функция f определенная при всех x\geq1, неотрицательна и убывает, тогда ряд \sum_{n=1}^{\infty}f(n) сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл \int_{1}^{+\infty}{f(x)dx}.

Доказательство

Так как функция монотонна на промежутке \left[1,+\infty \right], тогда она интегрируема по Риману на любом конечном отрезке \left[1,\eta \right], и поэтому имеет смысл говорить о несобственном интеграле.
Если k\leq x\leq k+1, тогда f(k)\geq f(x)\geq f(k+1), k=1,2, ... (функция убывает) (рис. 1). Проинтегрировав это неравенство \left[k,k+1\right] имеем: f(k)\geq \int\limits_{k}^{k+1}{f(x)dx}\geq f(k+1), k=1,2, ....
integral_sign(1)
Суммируя от k=1 до k=n (рис. 2) получим:

\sum\limits_{k=1}^{n}{f(k)}\geq \int\limits_{1}^{n+1}{f(x)dx}\geq \sum\limits_{k=1}^{n}{f(k+1)}

integral_sign(2)
Положим s_{n}=\sum_{k=1}^{n}{f(k)}, будем иметь

s_{n}\geq \int\limits_{1}^{n+1}{f(x)dx}\geq s_{n+1}-f(1)
n=1,2, ...

Если интеграл сходится, то в силу неотрицательности f справедливо неравенство:

\int\limits_{1}^{n+1}{f(x)dx}\leq \int\limits_{1}^{+\infty}{f(x)dx}.

Отсюда следует:

s_{n+1}\leq f(1)+\int\limits_{1}^{+\infty}{f(x)dx},

то есть последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху, а значит ряд сходится.
Если ряд сходится, пусть его сумма равна s, тогда \forall n\epsilon \mathbb{N}s_{n}\leq s  и следовательно \forall n\epsilon \mathbb{N}\int_{1}^{n+1}{f(x)dx}\leq s.
Пусть \xi, то беря n, так чтобы n\geq \xi, в силу неотрицательности функции имеем \int_{1}^{\xi }{f(x)dx}\leq \int_{1}^{n}{f(x)dx}\leq s.
Таким образом совокупность всех интегралов \int_{1}^{\xi }{f(x)dx} ограничена сверху, поэтому интеграл \int_{1}^{+\infty}{f(x)dx} сходится.

Пример

Дан ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[6]{(2n+3)^{7}}}. Исследовать ряд на сходимость.
Так как данная функция f(n)=\frac{1}{\sqrt[6]{(2n+3)^{7}}} определенна при всех n\geq1, неотрицательна и убывает, то воспользуемся  интегральным признаком сходимости ряда.
Проверим сходимость интеграла \int_{1}^{+\infty }{\frac{1}{\sqrt[6]{(2x+3)^{7}}}dx}.

\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{1}{\sqrt[6]{(2x+3)^{7}}}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{+\infty }{(2x+3)^{-\frac{7}{6}}d(2x+3)}=-\frac{1}{2}*6*\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\left ( \frac{1}{\sqrt[6]{(2x+3)}} \right)\left.\right |^b_1=-3*\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\left ( \frac{1}{\sqrt[6]{2b+3}}-\frac{1}{\sqrt[6]{5}} \right )=\frac{3}{\sqrt[6]{5}}

Интеграл сходится, а значит исходный ряд тоже сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Признак Даламбера

Признак Даламбера сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...
a_{n}>0

Если начиная с какого-то номера n_{0}\epsilon \mathbb{N} \forall n>n_{0} выполняется неравенство \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q<1 q\epsilon \mathbb{R}, то ряд сходится.
Если же \exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1, то ряд расходится.

Доказательство

Рассмотрим неравенство \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q для n=1 и n=2.

n=1:\frac{a_{2}}{a_{1}}\leq q\Leftrightarrow a_{2}\leq q*a_{1}
n=2:\frac{a_{3}}{a_{2}}\leq q\Leftrightarrow a_{3}\leq q*a_{2}\leq q^{2}*a_{1}

Таким образом \forall n будет справедливо неравенство a_{n}\leq q^{n-1}*a_{1}. При этом ряд \sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1}*a_{1} является сходящимся, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} тоже сходится.

Если \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1, то справедливо неравенство a_{n+1}\geq a_{n}>0, что противоречит необходимому условию сходимости ряда (\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0). Значит ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие(признак Даламбера сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...
a_{n}>0

Если существует предел:

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K

Тогда:

  1. Если K<1, то ряд сходится.
  2. Если K>1, то ряд расходится.
  3. Если K=1, то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть \lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K. Из определения предела запишем: \forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<K+\varepsilon. Если K<1, то положим \varepsilon =\frac{1-K}{2}, тогда q=K+\varepsilon<1 и тогда по признаку Даламбера в форме неравенств ряд сходится. Если же K>1, то положим \varepsilon =\frac{K-1}{2}, тогда q=K-\varepsilon>1, а значит ряд расходится. Для случая K=1 приведем пример сходящегося и расходящегося рядов. Ряд вида \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} расходится и при этом \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{n+1}}=1. В то же время ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} сходится и при этом \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1}}=1.

Пример

Дан ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}. Определить характер сходимости ряда.

Воспользуемся  признаком Даламбера в предельной форме.

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{a^{n}}{n!}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a}{n+1}}=0<1.

Значит исходный ряд сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Признак Коши

Признак Коши сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...
a_{n}\geq 0

Если начиная с какого-то номера n_{0}\epsilon \mathbb{N} \forall n>n_{0} выполняется неравенство \sqrt[n]{a_{n}}\leq q<1 q\epsilon \mathbb{R}, то ряд сходится.
Если же \exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0} \sqrt[n]{a_{n}}\geq 1, то ряд расходится.

Доказательство

Пусть \exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\leq q\Leftrightarrow a_{n}\leq q^{n}. Так как 0<q<1, то ряд \sum_{n=1}^{\infty} q^{n} будет сходиться, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} так же является сходящимся.

Если \exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\geq 1\Leftrightarrow a_{n}\geq 1, что противоречит необходимому условию сходимости ряда (\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0). Значит ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие (признак Коши сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...
a_{n}\geq 0

Если существует предел:

\lim\limits_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[n]{a_{n}}}=K

Тогда:

  1. Если K<1, то ряд сходится.
  2. Если K>1, то ряд расходится.
  3. Если K=1, то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть \lim_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[n]{a_{n}}}=K. Из определения предела запишем: \forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\sqrt[n]{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\sqrt[n]{a_{n}}<K+\varepsilon. Если K<1, то q=K+\varepsilon<1  и тогда по признаку Коши в форме неравенств
ряд сходится.

Если же  K>1, то q=K-\varepsilon>1, а значит ряд расходится.

Пример

Дан ряд \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n+1}{n+2})^{n^{2}}. Исследовать ряд на сходимость.

Воспользуемся  признаком Коши в предельной форме.

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{(\frac{n+1}{n+2})^{n}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{(\frac{n+2}{n+1})^{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{(1+\frac{1}{n+1})^{n*\frac{n+1}{n+1}}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{((1+\frac{1}{n+1})^{n+1})^{\frac{n}{n+1}}}}=\frac{1}{e^{1}}=\frac{1}{e}<1.

Значит исходный ряд сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Признак сравнения

Признак сравнения сходимости рядов в форме неравенств

Формулировка

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...    (A)
\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=b_{1}+b_{2}+...+b_{n}+...    (B)

Если, начиная с какого-то номера N\epsilon \mathbb{N} \forall n>N выполняется неравенство 0\leq a_{n}\leq b_{n}, тогда:

  1. Из сходимости ряда (B) следует сходимость ряда (A).
  2. Из расходимости ряда (A) следует расходимость ряда (B).

Доказательство

  1. (A) и (B) — ряды с неотрицательными членами. Частичные суммы рядов (A) и (B) обозначим как S_{n}^{(A)} и S_{n}^{(B)}. Из условия 0\leq a_{n}\leq b_{n} можно сказать, что S_{n}^{(A)}\leq S_{n}^{(B)}. Пусть ряд (B) сходится, тогда, согласно критерию сходимости ряда с неотрицательными членами, его частичные суммы S_{n}^{(A)} ограничены, а значит S_{n}^{(B)} также будут ограничены (S_{n}^{(A)}\leq S_{n}^{(B)}). Тогда по вышеупомянутому критерию ряд (B) тоже будет сходиться.
  2. Пусть ряд (A) расходится. Докажем методом от противного. Предположим что ряд (B) сходится. Тогда согласно утверждению доказанном в пункте 1, ряд (A) тоже должен сходиться, что противоречит условию. Значит ряд (B) расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие (признак сравнения сходимости рядов в предельной форме)

Формулировка

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...    (A)
\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=b_{1}+b_{2}+...+b_{n}+...    (B)

Если существует предел:

\lim\limits_{n\rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=K      0<K< +\infty

Тогда:

  1. Если ряд (B) сходится и K<+\infty, то ряд (A) сходится.
  2. Если ряд (B) расходится и K>0, то ряд  (A) расходится.

Доказательство

  1. Пусть ряд (B) сходится и K< +\infty. Из определения предела запишем: \forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left | \frac{a_{n}}{b_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n}}{b_{n}}<K+\varepsilon. Из неравенства получим: a_{n}<b_{n}(K+\varepsilon ). Ряд \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(K+\varepsilon ) сходится, так как это ряд полученный умножением членов ряда (B) на постоянное число K+\varepsilon. Тогда по признаку сравнения в форме неравенств ряд (A) сходится.
  2. Если ряд (B) расходится и K>0, тогда отношение \frac{b_{n}}{a_{n}} имеет конечный предел \lim_{n\rightarrow \infty } \frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{1}{K}< \infty. Предположим что ряд (A) сходится, тогда согласно утверждению доказанном в пункте 1, ряд (B) тоже сходится, что противоречит условию. Значит (A) расходится.

Пример

Дан ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3+(-1)^{n}*2)(1+sin^{3}n)}{n\tfrac{3}{2}}. Исследовать ряд на сходимость.

Для определения характера сходимости будем использовать признак сравнения. Попробуем оценить данный ряд сверху.

\frac{(3+(-1)^{n}*2)(1+sin^{3}n)}{n\tfrac{3}{2}} \leq \frac{5*2}{n\tfrac{3}{2}}=O(\frac{1}{n\tfrac{3}{2}})

Ряд вида \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha }} сходится при \alpha >1.

\frac{3}{2}>1 значит полученный ряд сходится, а значит сходится и исходный.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

M1916. О делении равностороннего треугольника на 25 равносторонних

Задача из журнала «Квант» (2004, №4)

Условие

Равносторонний треугольник разрезан на 25 равносторонних треугольников, лишь один из которых имеет отличную от 1 площадь. Какую?

Решение

Поменяем формулировку задачи на эквивалентную, но более удобную для изложения решения:

Исходный равносторонний треугольник \Delta разрезан на 25 равносторонних треугольников, только у одного из которых — обозначим его \Delta_{1} — длина стороны k\neq 1. Требуется найти k.

Если длина стороны какого-либо равностороннего треугольника есть целое число a, то этот треугольник можно разрезать на a^{2} равносторонних треугольников, у каждого из которых длина стороны 1.

Хотя бы к одной стороне треугольника \Delta не примыкает треугольник \Delta_{1}, а значит, примыкают только треугольники со сторонами 1, т.е. длина стороны \Delta — целое число n. Точно так же можно рассудить что длина треугольника \Delta_{1} -целое число k. После чего можно записать равенство n^{2}-k^{2}=24. Это целочисленное уравнение, с учетом того, что  k\neq 1, имеет только одно удовлетворяющее нас решение: n=7, k=5. У этого решения возможны два воплощения (см. рисунок). На вопрос «какую?» отвечаем: 25.

M1916

В.Произволов