Теорема Кантора

Если функция f определена и непрерывна на сегменте [a,b] , то она равномерно непрерывна на [a,b] .

Доказательство

Проведем доказательство методом от противного. Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b] , тогда

\exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 \exists~ x',~x''~ \epsilon~[a,b] , |x'-x''| < \delta : |f(x') - f(x'')| \geq \varepsilon .

Выберем последовательность \delta_n = \frac{1}{n} , n = \overline{1,+\infty} . Согласно допущению, найдутся такие последовательности \left\{x'_n \right\}_{n=1}^\infty , \left\{x''_n \right\}_{n=1}^\infty , что:

x'_n,~x''_n~\epsilon~[a,b] , |x'_n-x''_n|<\delta_n = \frac{1}{n} : |x'-x''| < \delta : |f(x'_n) - f(x''_n)| \geq \varepsilon .

Последовательность \left\{x'_n \right\}_{n=1}^\infty ограничена и поэтому имеет подпоследовательность \left\{x'_{n_{i}} \right\}_{i=1}^\infty , которая сходится к элементу x_0 , причем что x_0~\epsilon~[a,b] . Тогда для подпоследовательности \left\{x''_{n_{i}} \right\}_{n=1}^\infty x_0~\epsilon~[a,b] так же является пределом.

По условию теоремы f — непрерывна на [a,b] , поэтому

\lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x'_{n_{i}}) = f(x_0) = \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x''_{n_{i}}) .

Это противоречит тому, что |f(x'_{n_{i}}-f(x''_{n_{i}})| \geq \varepsilon > 0 , \forall i = \overline{1,+\infty}.

Это противоречие и доказывает теорему.

\blacksquare

Решим таким же методом, каким было проведено доказательство теоремы, пример.

Пример показать

Список использованной литературы:

Равномерная непрерывность

Определение

Пусть функция f определена на [a,b] . Тогда f называется равномерно непрерывной, если \forall~\varepsilon>0 \exists~\delta=\delta(\varepsilon)~>0\ такие, что \forall x_1,~x_2~\epsilon~[a,b] , |x_1 - x_2| < \delta , выполняется неравенство | f(x_1) - f(x_2) | < \varepsilon .

Очевидно, что равномерно непрерывная в своей области определения функция непрерывна в ней. Но обратное не всегда верно.

Рассмотрим некоторые примеры.

Примеры показать

Список использованной литературы:

Вычисление площадей и объемов

Задача 1

Пирамида $ ABCD$ задана координатами своих вершин: $ A(4,-1,~0)$, $ B(2,~3,~4)$, C(-1,~4,~1), $D(4,-3,~5) $. Найти:

  • объем пирамиды;
  • площадь грани ABC .


Решение показать

Задача 2

 

Найти объем пирамиды, у которой три грани принадлежат плоскостям XOY,~XOZ,~YOZ , четвертая проходит через плоскость P=4x+6y+3z-12=0 , и имеет вершину в точке O(0,~0,~0) .

Решение показать

Список использованной литературы:

О.Н.Цубербиллер «Задачи и упражнения по аналитической геометрии», Санкт-Петербург, 2003г., изд-во «Лань», стр.214

Построение поля комплексных чисел

Краткая историческая справка показать

Определение комплексного числа показать
Расширение числовых множества Необходимость в комплексных числах появилась, когда стало понятно, что не каждый многочлен имеет вещественные корни. Например, уравнение x^2+1=0 не имеет корней среди вещественных чисел, так как еще в школе учили, что извлечь квадратный корень из отрицательного числа невозможно.

Для построения поля комплексных чисел — расширения множества вещественных, в котором уравнение разрешимо, — необходимо доказать следующее:

  1. \mathbb{C} — поле;
  2. \mathbb{R} \subset \mathbb{C} ;
  3. x^2+1=0 — разрешимо в \mathbb{C} (1);
  4. \mathbb{C} минимально по включениям.
(\mathbb{C},+,\cdot) - поле показать

\mathbb{R} \subset \mathbb{C} показать

x^2+1=0 - разрешимо в \mathbb{C} показать

Минимальность показать

Список источников:

Тест на знание теории о построении поля комплексных чисел.