Нахождение собственных подпространств линейного оператора

Задача

Дана матрица линейного оператора, заданного в некотором базисе. Найти собственное подпростанство линейного оператора.

A=\begin{pmatrix}  3 & -2 & 2\\  2 & -1 & 2\\  2 & -2 & 3  \end{pmatrix}

Решение

Решим характерестическое уравнение:

\det\left| {A-\lambda E}\right| = \left| \begin{array}{ccc}3-\lambda &-2 &2\\2 &-1-\lambda &2\\2 &-2 &3-\lambda\end{array}\right| =

= (3-\lambda) \left| \begin{array}{ccc}-1-\lambda & 2\\-2 & 3-\lambda\end{array}\right| + 2 \left| \begin{array}{ccc}2 &2\\2 & 3 -\lambda \end{array}\right| + 2 \left| \begin{array}{ccc}2 &-1-\lambda\\2 &-2 \end{array}\right| =

=(3-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda +1) + 2(-2\lambda +2) + 2(2\lambda - 2) =

=(3-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda +1)=0
 
Решая уравнение, мы нашли собственные значения \lambda_{1}=3, \lambda_{2} =\lambda_{3}=1 \Rightarrow спектр оператора A состорит из двух собственных значений.

Теперь найдём собственные вектора:

1.Пусть \lambda = 1.
\begin{cases}2x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 0\end{cases}

Пусть x_2 и x_3свободные переменные, а x_1зависимая, т.е. x_1=x_2-x_3:

x_1 x_2 x_3
1 2 1
0 1 1

Собственный вектор: X_1=A_1\left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right), X_2 = {A_{2} \left(  \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}

2.Пусть \lambda = 3.
\begin{cases}-2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 - 4x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 - 2x_2 = 0\end{cases}

Пусть x_2 — свободная переменные, а x_1 и x_3 — зависимые:

x_1 x_2 x_3
1 1 1

Собственный вектор: X_3=A_3\left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)

Так как собственные векторы при собственных значениях образуют базис собственного подпрастранства \Rightarrow
E_{\lambda_{1}} = \langle  {A_{3} \left(  \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}\rangle
E_{\lambda_{2}} = \langle  {A_{1} \left(  \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)}, {A_{2} \left(  \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}\rangle

Список литературы:

Нахождение собственных подпространств линейного оператора

Тест по теме «Нахождение собственных подпространств линейного оператора »


Таблица лучших: Нахождение собственных подпространств линейного оператора

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Подстановки степени n

 Определение:

Любое взаимно однозначное отображение A множества первых n натуральных чисел на себя называется подстановкой n-й степени. Всякая подстановка A может быть записана при помощи двух перестановок, подписанных одна под другой:

\begin{pmatrix}  i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n}\\  a_{i_{1}} & a_{i_{2}} & \ldots & a_{i_{n}}  \end{pmatrix}
через a_{i} здесь обозначается то число, в которое при подстановке A переходит число i, i = 1,2, \ldots , n.

Замечание:

От одной записи подстановки A к другой можно перейти при помощи транспозиций столбиков. Любая подстановка n-й степени может быть записана в виде:

\begin{pmatrix}  1 & 2 & \ldots & n\\  a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n}  \end{pmatrix}
Т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке. При такой записи различные подстановки различаются друг от друга перестановками, стоящими в нижней строке, и поэтому число перестановок из n чисел равно n! .

Переход к любой другой записи подстановки A можно осуществить, как мы знаем, путём последовательного выполнения нескольких транспозиций в верхней строке и соответствующих им транспозиций в нижней строке. Мы одновременно меняем чётность и поэтому сохраняем совпадение или противоположность этих чётностей.

Отсюда следует, что либо при всех записях подстановки A чётности верхней и нижней строк совпадают, либо же при всех записях они противоположны. В первом случае подстановка A называется чётной, а во втором — нечётной. В частности тождественная подстановка(E) будет чётной:

E =  \begin{pmatrix}  1 & 2 & \ldots & n\\  1 & 2 & \ldots & n  \end{pmatrix} Число чётных подстановок равно числу нечётных, равно {\frac12 n!}

Пример

\begin{pmatrix}  4 & 3 & 5 & 2 &1\\  3 & 5 & 2 & 1 &4  \end{pmatrix} всегда можно представить в виде \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 & 4 &5\\  4 & 1 & 5 & 3 &2  \end{pmatrix}

Подстановки степени n

Тест по теме «Подстановки степени n».

Таблица лучших: Подстановки степени n

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы: