Тест

Тест предназначен для проверки знаний тестируемого по темам:
1) Теорема Ньютона-Лейбница;
2) Замена переменной в интеграле Римана;
3) Интегрирование по частям в интеграле Римана.

Интегрирование частями в интеграле Римана. Примеры.

Формула интегрирования по частям
Пусть функция u(x) и v(x)  непрерывны вместе со своими производными на отрезке:

\int\limits_{a}^{b}u(x)dv(x)=u(x)v(x)|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}v(x)du(x).

Примеры

  1. \int (2x+3)e^{2x}dx=(1/2)\int (2x+3)d(e^{2x})=(1/2)((2x+3)e^{2x})-\int 2e^{2x}dx=\frac{1}{2}((2x+3)e^{2x}+e^{2x})+c
  2. \int x\cos xdx=\int xd(\sin x)=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+c
  3. \int x\sin xdx=-\int xd(\cos x)=-(x\cos x-\int \cos xdx)=-(x\cos x-\sin x)+c
  4. Пусть функция f(x)  непрерывна на \mathbb{R} и имеет период T  так, что f(x+T)=f(x)  для x\subseteq R . Тогда на любом отрезке с длиной периода T интеграл от этой функции имеет тоже самое значение:
    \int\limits_{a}^{a+T}f(x)dx=\int\limits_{0}^{T}f(x)dx

Доказательство
Разобьём интеграл на три и в последнем из них сделаем замену x=t+T' . Имеем:

\int\limits_{a}^{a+T}f(x)dx=\int\limits_{a}^{0}f(x)dx+\int\limits_{0}^{T}f(x)dx+\int\limits_{a}^{a+T}f(x)dx=-\int\limits_{0}^{a}f(x)dx+\int\limits_{0}^{T}f(x)dx+\int\limits_{0}^{a}f(x)dx=\int\limits_{0}^{T}f(x)dx

Источники:

  • Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. —Москва: Наука, 1972. (стр.203-204)
  • Лысенко З.М. Конспект по математическому анализу

Тест предназначен для проверки знаний тестируемого по темам:
1) Теорема Ньютона-Лейбница;
2) Замена переменной в интеграле Римана;
3) Интегрирование по частям в интеграле Римана.

Заміна змінної в інтегралі Рімана. Приклади.

Опр. Интеграл в смысле Римана. Если функция f(x) определена на [a;b]"  и a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}=b , то интегралом функции f(x)  на сегменте [a,b]  называется число \huge \int_{a}^{b}f(x)dx=\underset{max|x_{i}|\rightarrow 0}{\lim}\overset{n-1}{\underset{i=0}{\sum }}f(\varepsilon _{i})\Delta x_{i},

где x_{i}\leq \varepsilon _{i}\leq x_{i+1}  и \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i} .

Замена переменной в определённом интеграле (по конспекту). Пусть f\in C(a_{0},b_{0}),\varphi \in C(\alpha _{0},\beta _{0}) , при чем если t\in (\alpha _{0};\beta _{0})\Rightarrow \varphi (t)\in (a_{0};b_{0}) , тогда если \alpha  и \beta  \in (\alpha _{0};\beta _{0}) , и a=\varphi (x),b=\varphi (x) \Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t))\varphi '(t)dt

Доказательство. Так как функция f\in C(a_{0};b_{0})\Rightarrow f\in C[a;b]\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) , где F'(x)=f(x) , для любого x\in [a;b]

С другой стороны так как \frac{\partial }{\partial t}{F[\varphi (t)]}=F'(\varphi (t))\varphi '(t)=f[\varphi (t)]\varphi '(t)
F[\varphi (t)] -первообразная для f[\varphi (t)]\varphi '(t) и тогда по Н-Л \Rightarrow \int_{\alpha }^{\beta }f[\varphi (t)]\varphi '(t)dt=F[\varphi (t)]|_{\alpha }^{\beta }=F[\varphi (\beta )]-F[\varphi (\alpha )]=F(b)-F(a)
Пример. Если функция f(x)  парная и непрерывная на [-a;a] , то \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx а если функция f(x)  непарная та непрерывная на [-a;a] , то

\int_{-a}^{a}f(x)dx=0.

Для  доказательства уравнений в обоих случаях нужно разбить интеграл на два

\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{a}f(x)dx

и во втором интеграле положить x=-t .

Источники:

1) Конспект

2) Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 стр.184

Замена переменной в интеграле Римана



Интеграл в смысле Римана
Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [a;b] , если существует такое число A, что для любого разбиения отрезка [a;b] , вида \Delta x_{i}=x_{i+1} - x_{i}, i=\overline{0,(n-1)}, где a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}=b, и любого выбора точек \ \xi _{i}\ , таких, что \ x_{i}\leq \xi _{i} \leq x_{i+1}\: существует предел последовательности интегральных сумм, и он равен A:
$$ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\lim\limits_{n \to \infty}\underset{i=0}{\overset{n-1}\sum}f(\xi_{i})\Delta x_{i} =A$$

Формулировка

Пусть:

  1. \varphi(t), f (x) \in C [a,b]; (является непрерывной на [a,b])
  2. \varphi' (t) \in C (\gamma ;\beta);
  3. \forall \ t \in [\gamma ;\beta ]\ a\leq \varphi(t)\leq b;
  4. \gamma = \varphi \left ( a \right ), \beta =\varphi \left ( b \right ).
    Тогда имеет место формула:

$$ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{\gamma }{\overset{\beta }{\int}}f(\phi(t))\phi'(t)dt .$$

Доказательство

По теореме о дифференцировании сложной функции имеем, что: (F(\varphi(t)))'=F'(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)=f(\varphi (t))\cdot \varphi'(t), то есть F(\varphi (t)) является первообразной для f(\varphi (t))\varphi '(t) . Тогда по теореме Ньютона-Лейбница:

$$ \underset{\gamma }{\overset{\beta }{\int}} f ( \varphi (t) ){\varphi }’ ( t ) dt = F ( \varphi (t)) | _{\gamma } ^{\beta }= $$ $$ F(\varphi (\beta ))-F(\varphi (\gamma ))=F(b)-F(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx $$

Примеры:

  1. $$ \int \mathrm{ctg} (x)dx=\int \frac {\cos (x)}{\sin (x)}dx=\begin{bmatrix}t=\sin (x)\\dt=\cos (x)dx\end{bmatrix} = $$$$ \int \frac {dt} {t} = \ln |t|+C= \ln |\sin (x)|+c $$ $$\ $$
  2. $$ \underset{0}{\overset{1}{\int}}x\cdot (2-x^{2})^{5}dx=\begin{bmatrix} t=2-x^{2}\\ dt=d(2-x^{2})=(2-x^{2})’dx=-2xdx\end{bmatrix}= $$$$ =\begin{pmatrix}x=1\Rightarrow t=2-1^{2}=1\\x=0\Rightarrow t=2-0^{2}=2\end{pmatrix}=\underset{2}{\overset{1}{\int}}-\frac{1}{2}\cdot t^{5}dt=-\frac{1}{2}\underset{2}{\overset{1}{\int}}t^{5}dt= $$$$ ={-\frac{1}{12}}\cdot \left ( t^{6}\mid ^{1}_{2} \right )=-\frac{1}{12}(1-2^{6})=\frac{21}{4} $$ $$\ $$
  3. Если функция f(x) чётная и непрерывная на [-a;a] , то $$ \underset{-a}{\overset{a}{\int}}f(x)dx=2\cdot\underset{0}{\overset{a}{\int}}f(x)dx $$ А если функция f(x) нечётная и непрерывная на [-a;a] , то $$ \underset {-a}{ \overset {a}{ \int }}f(x)dx=0$$ Для доказательства уравнений в обоих случаях необходимо представить интеграл в виде суммы интегралов: \underset {-a}{ \overset {a}{ \int }} f(x)dx= \underset {-a}{ \overset {0}{ \int }}f(x)dx + \underset {0} { \overset {a}{ \int }}f(x)dx , и в первом слагаемом произвести замену x=-t .(Самостоятельно)

Литература:

  1. Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 г. 13 изд. стр.184
  2. Л. Д. Кудрявцев «Курс Математического анализа 1.» стр. 596-600
  3. В. И. Коляда А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу» Часть первая, 2009 года, стр. 176-180
  4. Варятанян Г. М. Математический анализ. Часть 1(3). 2009 с. 54-56, 77

Тест

Замена переменной в интеграле Римана.


Таблица лучших: Замена переменной в интеграле Римана

максимум из 35 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема Ньютона-Лейбніца. Приклади застосування.

Формула Ньютона-Лейбница — это фундаментальная для всего анализа соотношение, так как эта формула выражает связь между определенными и неопределенными интегралами

Теорема Ньютона-Лейбница

 Если f\in C[a;b] и F — какая-нибудь первообразная для f , то справедлива формула \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_{a}^{b}

Доказательство

 Интегрирование по Риману существует в силу непрерывности f . В силу следствия F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt+c , для любого x\in [a;b] . Подставим x=a :

F(a)=\int_{a}^{a}f(t)dt+c\Rightarrow c=F(a)\Rightarrow F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt+F(a)

Подставим в это равенство x=b\Rightarrow F(b)=\int_{a}^{b}f(t)dt+F(a)

Примеры:

1) \int_{2}^{5}(1/x)dx=lnx|_{2}^{5}=ln5-ln2 .

2) Для любой в [0;a](a>0)  функция f(x)

 \int_{0}^{a}f(x)=\int_{0}^{a}f(a-x)dx.

Действительно t=a-x , имеем

\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{0}f(a-t)dt=\int_{0}^{a}f(a-t)dt

Источники:

1) 2) Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 стр.188-189

2) Конспект по математическому анализу