Определим дополнительные термины:
Определение
Пусть $K\left(x^{0} \right)\subset R^{n}$ и $Q\left(y^{0} \right)\subset R^{m}$ — клеточные окрестности. Система уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$, где $x=\left(x_{1},…,x_{n} \right)$, $y=\left(y_{1},…,y_{m} \right)$, определяет в $K\left(x^{0} \right)\times Q\left(y^{0} \right)$ переменные $y_{1},…, y_{m}$ как неявные функции переменных $x_{1},…, x_{n}$, если $\forall x\in K\left(x^{0} \right)$ $ \exists ! y\in Q\left(y^{0} \right): F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$.
Теорема о неявной функции многих переменных
Пусть выполнены следующие условия:
Функции $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$, непрерывно дифференцируемы в клеточной окрестности точки $\left(x^{0}, y^{0} \right)$;
$F_{i}\left(x^{0}, y^{0} \right)=0$, $i=\overline{1, m}$;
$$\begin{vmatrix}\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{m}} \\\cdots & \cdots & \cdots \\\frac{\partial F_{m}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{m}}\end{vmatrix}_{\left(x^{0}, y^{0} \right)}\neq 0$$
Тогда найдутся клеточные окрестности $K\left(x^{0} \right)\subset R^{n}$ и $Q\left(y^{0} \right)\subset R^{m}$ такие, что в $K\left(x^{0} \right)\times Q\left(y^{0} \right)$ система уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$ определяет переменные $y_{1},…, y_{m}$ как неявные функции переменных $x_{1},…, x_{n}$. Неявные функции $y_{j}=\varphi _{j}\left(x \right)$ непрерывно дифференцируемы в $K\left(x^{0} \right)$ и $y_{j}^{0}=\varphi _{j}\left(x^{0} \right)$, $j=\overline{1, m}$.
Доказательство
... | показать> |
---|---|
Литература
- Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: 3-е издание, исправл.- Физмат-лит, 2001. стр.260-263.
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2 стр.309-315.
- В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2 стр.321-323.
- Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З. М.
Теорема о неявной функции многих переменных
Тест для закрепления материала.
Таблица лучших: Теорема о неявной функции многих переменных
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
Теорема о неявной функции одной переменной
Формулировка
Пусть функция $F\left(x, y \right)$ определена в $R^{2}$ и:
- Функция $F\left(x, y \right)$ имеет в окрестности точки $\left( x_{0}, y_{0}\right)$ непрерывные частные производные $F_{x}\left(x, y \right)$ и $F_{y}\left(x, y \right)$;
- $F\left(x_{0}, y_{0} \right)=0$;
- $F_{y}\left(x_{0}, y_{0} \right)\neq 0$.
Тогда существует прямоугольник $K=\left\{\left(x, y \right): x_{0}-a\leq x\leq x_{0}+a, y_{0}-b\leq y\leq y_{0}+b \right\}$, $K\in R^{2}$, такой, что $\forall\left(x, y \right)\in K$ уравнение $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.
При этом функция $y=f\left(x \right)$ непрерывно дифференцируема на $\left(x_{0}-a; x_{0}+a \right)$ и $f’\left(x \right)=-\frac{F_{x}\left(x, f\left(x \right) \right)}{F_{y}\left(x, f\left(x \right) \right)}$.
Литература
- Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: 3-е издание, исправл.- Физмат-лит, 2001. стр.260-263.
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2 стр.309-315.
- В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2 стр.321-323.
- Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З. М.
Теорема о неявной функции одной переменной
Тест для закрепления материала.
Таблица лучших: Теорема о неявной функции одной переменной
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
Определение неявной функции одной переменной
Пусть функция $F\left(x, y \right)$ определена в $R^{2}$. Рассмотрим $F\left(x, y \right)=0$.
Обозначим: $G_{F}$ — график уравнения $F\left(x, y \right)=0$ (множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению $F\left(x, y \right)=0$); $A_{F}=pr_{ox}G_{F}$ — проекция графика $G_{F}$ на ось $X$.
Определение
Если $G_{F}$ взаимно однозначно проектируется на $A_{F}$, то существует единственная функция $f: A_{F}\rightarrow R$, график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому $x\in A_{F}$ ставит в соответствие $y$, такой, что $F\left(x, y \right)=0$.
Тогда говорят, что $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.
Литература
- Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: 3-е издание, исправл.- Физмат-лит, 2001. стр.260-263.
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2 стр.309-315.
- В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2 стр.321-323.
- Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З. М.
Неявные функции
Тест для закрепления материала.
Таблица лучших: Неявные функции
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
М1604. Задача об опорных хордах многоугольника
Задача из журнала «Квант» (1997, №4)
Условие
Внутри выпуклого многоугольника расположен второй выпуклый многоугольник
. Хорда многоугольника
— отрезок, концы которого лежат на границе
, — называется опорной к многоугольнику
, если она пересекается с
только по границе: содержит либо одну вершину, либо сторону
. Докажите, что:
- найдется опорная хорда, середина которой лежит на границе
;
- найдутся по крайней мере две такие хорды.
Решение
Идею решения можно сформулировать одной фразой. Рассмотрим площади сегментов, отрезаемых от хордами, опорными к
(рис.1), и выберем среди них наибольшую и наименьшую. Соответствующие хорды касаются
своими серединами.
Рис.1
Изложим теперь решение более подробно. Пусть — опорная к
прямая, составляющая угол
с некоторым фиксированным направлением
. Мы считаем, что
— направленная прямая,
содержится в её правой полуплоскости;
— одна точка (вершина
) или отрезок (сторона
). Ясно, что для каждого
,
, прямая
определена однозначно. Рассмотрим площадь
«сегмента», отрезаемого прямой
от
, — пересечения
с левой полуплоскостью этой прямой. Очевидно, что
— непрерывная функция от
на отрезке
, где
.
Пусть — хорда, высекаемая многоугольником
на прямой
, и
— её середина. Докажем, что если
не лежит на границе с
, то в некоторой окрестности
функция
монотонна (возрастает или убывает). Рассмотрим близкую к
прямую
и соответствующую хорду
. При достаточно малом
прямая
получается из
поворотом вокруг некоторой точки
, лежащей на границе
, а разность площадей
равна разности площадей треугольников
и
(рис.2). Если
, то (при малом
)
и площадь треугольника
меньше площади треугольника
(треугольник, симметричный
относительно
, лежит внутри
); таким образом, при всех достаточно малых
выполнено неравенство
.
Рис.2
Аналогично, при достаточно малом
— прямая
получается поворотом
вокруг точки
, либо совпадающей с
, либо, во всяком случае, лежащей по ту же сторону от середины
, так что
. Итак, если
лежит по одну (на рисунке 2 — левую) сторону от
, то в окрестности
функция
убывает. Если
расположена по другую сторону от
, то в окрестности
функция
возрастает.
Однако непрерывная функция (принимающая равные значения на концах отрезка
) должна достигать максимума и минимума. По доказанному выше, в этих точках середина хорды
должна лежать в
, т.е. принадлежать границе
.
Н.Васильев