Теорема о неявной функции многих переменных

Определим дополнительные термины:

Пусть $A$ и $B$ — произвольные множества. Тогда декартовым произведением $A\times B$ называется множество пар $\left(x,y \right)$, $x\in A$, $y\in B$.
Клеточной окрестностью точки $x^{0}=\left(x_{1}^{0},…,x_{n}^{0} \right)$ называется множество $K\left(x^{0} \right)=\left\{x: x\in R^{n}, \left|x_{i}-x_{i}^{0} \right|\leq \varepsilon _{i}, i=\overline{1, n} \right\}$, $\varepsilon _{i}>0$, $i=\overline{1, n}$.
Пусть $K\left(x^{0} \right)\subset R^{n}$ и $Q\left(y^{0} \right)\subset R^{m}$- клеточные окрестности. Тогда декартово произведение $K\left(x^{0} \right)\times Q\left(y^{0} \right)$ — это клеточная окрестность точки $\left(x^{0},y^{0} \right)=\left(x_{1}^{0},…,x_{n}^{0},y_{1}^{0},…,y_{m}^{0} \right)$ в пространстве $R^{n+m}$.

Определение

Пусть $K\left(x^{0} \right)\subset R^{n}$ и $Q\left(y^{0} \right)\subset R^{m}$ — клеточные окрестности. Система уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$, где $x=\left(x_{1},…,x_{n} \right)$, $y=\left(y_{1},…,y_{m} \right)$, определяет в $K\left(x^{0} \right)\times Q\left(y^{0} \right)$ переменные $y_{1},…, y_{m}$ как неявные функции переменных $x_{1},…, x_{n}$, если $\forall x\in K\left(x^{0} \right)$ $ \exists ! y\in Q\left(y^{0} \right): F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$.

Теорема о неявной функции многих переменных

Пусть выполнены следующие условия:

Функции $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$, непрерывно дифференцируемы в клеточной окрестности точки $\left(x^{0}, y^{0} \right)$;
$F_{i}\left(x^{0}, y^{0} \right)=0$, $i=\overline{1, m}$;
$$\begin{vmatrix}\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{m}} \\\cdots & \cdots & \cdots \\\frac{\partial F_{m}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{m}}\end{vmatrix}_{\left(x^{0}, y^{0} \right)}\neq 0$$
Тогда найдутся клеточные окрестности $K\left(x^{0} \right)\subset R^{n}$ и $Q\left(y^{0} \right)\subset R^{m}$ такие, что в $K\left(x^{0} \right)\times Q\left(y^{0} \right)$ система уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$ определяет переменные $y_{1},…, y_{m}$ как неявные функции переменных $x_{1},…, x_{n}$. Неявные функции $y_{j}=\varphi _{j}\left(x \right)$ непрерывно дифференцируемы в $K\left(x^{0} \right)$ и $y_{j}^{0}=\varphi _{j}\left(x^{0} \right)$, $j=\overline{1, m}$.

Доказательство

... показать

Литература

Теорема о неявной функции многих переменных

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Теорема о неявной функции многих переменных

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о неявной функции одной переменной

Формулировка

Пусть функция $F\left(x, y \right)$ определена в $R^{2}$ и:

  1. Функция $F\left(x, y \right)$ имеет в окрестности точки $\left( x_{0}, y_{0}\right)$ непрерывные частные производные $F_{x}\left(x, y \right)$ и $F_{y}\left(x, y \right)$;
  2. $F\left(x_{0}, y_{0} \right)=0$;
  3. $F_{y}\left(x_{0}, y_{0} \right)\neq 0$.

Тогда существует прямоугольник $K=\left\{\left(x, y \right): x_{0}-a\leq x\leq x_{0}+a, y_{0}-b\leq y\leq y_{0}+b \right\}$, $K\in R^{2}$, такой, что $\forall\left(x, y \right)\in K$ уравнение $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.
При этом функция $y=f\left(x \right)$ непрерывно дифференцируема на $\left(x_{0}-a; x_{0}+a \right)$ и $f’\left(x \right)=-\frac{F_{x}\left(x, f\left(x \right) \right)}{F_{y}\left(x, f\left(x \right) \right)}$.

Доказательство

Существование показать
Дифференцируемость показать

Примеры

Пример 1 показать
Пример 2 показать

Теорема о неявной функции одной переменной

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Теорема о неявной функции одной переменной

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение неявной функции одной переменной

Пусть функция $F\left(x, y \right)$ определена в $R^{2}$. Рассмотрим $F\left(x, y \right)=0$.

Обозначим: $G_{F}$ — график уравнения $F\left(x, y \right)=0$ (множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению $F\left(x, y \right)=0$); $A_{F}=pr_{ox}G_{F}$ — проекция графика $G_{F}$ на ось $X$.

Определение

Если $G_{F}$ взаимно однозначно проектируется на $A_{F}$, то существует единственная функция $f: A_{F}\rightarrow R$, график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому $x\in A_{F}$ ставит в соответствие $y$, такой, что $F\left(x, y \right)=0$.

Тогда говорят, что $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Примеры

Пример 1 показать

Пример 2 показать

Пример 3 показать

Пример 4 показать

Неявные функции

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Неявные функции

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

М1604. Задача об опорных хордах многоугольника

Задача из журнала «Квант» (1997, №4)

Условие

Внутри выпуклого многоугольника F расположен второй выпуклый многоугольник G. Хорда многоугольника F — отрезок, концы которого лежат на границе F, — называется опорной к многоугольнику G, если она пересекается с G только по границе: содержит либо одну вершину, либо сторону G. Докажите, что:

  • найдется опорная хорда, середина которой лежит на границе G;
  • найдутся по крайней мере две такие хорды.

Решение

Идею решения можно сформулировать одной фразой. Рассмотрим площади сегментов, отрезаемых от F хордами, опорными к G (рис.1), и выберем среди них наибольшую и наименьшую. Соответствующие хорды касаются G своими серединами.

М1604_1

Рис.1

Изложим теперь решение более подробно. Пусть l\left(\varphi \right) — опорная к G прямая, составляющая угол \varphi с некоторым фиксированным направлением l_{0}. Мы считаем, что l\left(\varphi \right) — направленная прямая, G содержится в её правой полуплоскости; G\left(\varphi \right)=G\bigcap{l\left(\varphi \right)} — одна точка (вершина G) или отрезок (сторона G). Ясно, что для каждого \varphi , 0\leq \varphi <2\pi , прямая l\left(\varphi \right) определена однозначно. Рассмотрим площадь S=S\left(\varphi \right) «сегмента», отрезаемого прямой l\left(\varphi \right) от F, — пересечения F с левой полуплоскостью этой прямой. Очевидно, что S=S\left(\varphi \right) — непрерывная функция от \varphi на отрезке 0\leq \varphi <2\pi , где S\left(2\pi \right)=S\left(0 \right).

Пусть AB — хорда, высекаемая многоугольником F на прямой l\left(\varphi \right), и K — её середина. Докажем, что если K не лежит на границе с G, то в некоторой окрестности \varphi функция S монотонна (возрастает или убывает). Рассмотрим близкую к l\left(\varphi \right) прямую l\left(\varphi +\delta \right) и соответствующую хорду A_{1}B_{1}. При достаточно малом \delta прямая l\left(\varphi +\delta \right) получается из l\left(\varphi \right) поворотом вокруг некоторой точки P\in G\left(\varphi \right), лежащей на границе G, а разность площадей S\left(\varphi +\delta \right)-S\left(\varphi \right) равна разности площадей треугольников APA_{1} и BPB_{1} (рис.2). Если PA<PB, то (при малом \delta ) PA_{1}<PB_{1} и площадь треугольника APA_{1} меньше площади треугольника BPB_{1} (треугольник, симметричный APA_{1} относительно P, лежит внутри BPB_{1}); таким образом, при всех достаточно малых \delta >0 выполнено неравенство S\left(\varphi +\delta \right)<S\left(\varphi \right).

М1604_2

Рис.2

Аналогично, S\left( \varphi \right)<S\left(\varphi -\varepsilon \right) при достаточно малом \varepsilon — прямая l\left(\varphi -\varepsilon \right) получается поворотом l\left(\varphi \right) вокруг точки P'\in G\left(\varphi \right), либо совпадающей с P, либо, во всяком случае, лежащей по ту же сторону от середины K, так что AP'<BP'. Итак, если G\left(\varphi \right) лежит по одну (на рисунке 2 — левую) сторону от K, то в окрестности \varphi функция S убывает. Если G\left(\varphi \right) расположена по другую сторону от K, то в окрестности \varphi функция S возрастает.

Однако непрерывная функция S = S\left(\varphi \right) (принимающая равные значения на концах отрезка \left[0, 2\pi \right]) должна достигать максимума и минимума. По доказанному выше, в этих точках середина хорды K должна лежать в G\left(\varphi \right), т.е. принадлежать границе G.

Н.Васильев