1.3 Ограниченные множества

Пусть $E$ – непустое множество действительных чисел.

Определение. Множество $E$ называется ограниченным сверху, если существует такое $M \in \mathbb{R},$ что для всех $x \in E$ справедливо неравенство $x \leqslant M.$ Число $M$ называется верхней границей множества $E.$
Множество $E$ называется ограниченным снизу, если существует такое $m \in \mathbb{R},$ что для всех $x \in E$ справедливо неравенство $x \geqslant m$. Число $m$ называется нижней границей множества $E.$

У ограниченного сверху множества существует сколь угодно много верхних границ. Действительно, если $M$ – верхняя граница множества $M$, то для любого положительного $\xi$ число $M + \xi $ также является верхней границей $E$. Аналогично, у ограниченного снизу множества существует сколь угодно много нижних границ.
С геометрической точки зрения ограниченность сверху множества $E$ означает наличие на числовой прямой такой точки $M,$ что все точки множества $E$ расположены не правее $M.$ Аналогично, ограниченность снизу множества $E$ означает наличие на числовой прямой такой точки $m,$ что все точки множества $E$ расположены не левее, чем $m.$

Определение. Множество $E$ называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, т. е. если существуют такие $m, M \in \mathbb{R} ,$ что для всех $x \in E$ справедливо неравенство $m \leqslant x \leqslant M$.

С геометрической точки зрения ограниченность $E$ означает, что все точки множества $E$ содержатся в некотором отрезке $\left [m, M \right ]$ числовой прямой.

Определение. Элемент $x \in E$ называется наибольшим элементом множества $E,$ если для любого $z \in E$ справедливо неравенство $z \leqslant x.$ Элемент $y \in E$ называется наименьшим элементом множества $E,$ если для любого $z \in E$ справедливо неравенство $z \geqslant y.$

Очевидно, что если во множестве $E$ существует наибольший элемент, то это множество ограничено сверху, а если в $E$ существует наименьший элемент, то это множество ограничено снизу. Однако не каждое ограниченное сверху (снизу) множество имеет наибольший (наименьший) элемент. Например, множество $E = \left (0, 1 \right ) \equiv \left \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \right \}$ ограничено сверху (например, числом $1$), однако в нем нет наибольшего элемента. Действительно, для любого $x \in E$ число $\displaystyle z = \frac{x+1}{2} > x$ также принадлежит $E$. Аналогично можно показать, что $E$ ограничено снизу, но не имеет наименьшего элемента.

Пусть $E$ – ограниченное сверху множество. Через $\overline{E}$ обозначим совокупность всех верхних границ множества $E.$ Множество $\overline{E}$ непусто и, как мы уже видели, неограничено сверху. Очевидно, однако, что $\overline{E}$ ограничено снизу (например, любой элемент множества $E$ является нижней границей множества $\overline{E}).$

Поставим следующий вопрос: существует ли во множестве $\overline{E}$ наименьший элемент?

Определение. Пусть множество $E$ ограничено сверху. Тогда наименьшая из всех его верхних границ называется верхней гранью, или точной верхней границей, и обозначается $\sup E$.

Это определение равносильно следующему.

Определение. Число $M$ называется верхней гранью множества $E,$ если выполнены следующие два условия:

  1. для каждого $x \in E$ справедливо неравенство $x \leqslant M$;
  2. для любого $\xi > 0$ найдется такой $x \in E$, что $x > M − \xi$.

Первое условие этого определения означает, что $M$ является верхней границей множества $E,$ а второе – что $M$ – наименьшая из всех верхних границ, т. е. что никакое число $M − \xi < M$ не является верхней границей множества $E.$
Аналогично формулируется определение нижней грани.

Определение.Пусть множество $E$ ограничено снизу. Тогда наибольшая из всех его нижних границ называется нижней гранью, или точной нижней границей, и обозначается $\inf E$.

Это определение равносильно следующему.

Определение.Число $m$ называется нижней гранью множества $E,$ если выполнены следующие два условия:

  1. для каждого $x \in E$ справедливо неравенство $x \geqslant M$;
  2. для любого $\xi > 0$ найдется такой $x \in E$, что $x < M − \xi$.

Первое условие этого определения означает, что m является нижней границей множества $E,$ а второе – что $m$ – наибольшая из всех нижних границ, т. е. что никакое число $m + \xi > m$ не является нижней границей множества $E.$

Из определения верхней и нижней граней множества не следует сам факт их существования. Существование точных границ устанавливает следующая теорема.

Теорема (о существовании верхней грани).Каждое непустое ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань.

Пусть $E$ – ограниченное сверху множество, а $E –$ множество всех его верхних границ. Оба множества непустые, и для любых $x \in E, y \in E$ справедливо неравенство $x \leqslant y.$ По аксиоме полноты множества действительных чисел, существует такое число $M,$ что для любых $x \in E, y \in E$ справедливо неравенство $x \leqslant M \leqslant y.$ Левое неравенство означает, что число M является верхней границей множества $E,$ т. е. $M \in E,$ а правое неравенство показывает, что $M –$ наименьший элемент во множестве $E.$

Аналогично доказывается следующая.

Теорема (о существовании нижней грани).Каждое непустоеограниченное снизу множество имеет нижнюю грань.

Понятие верхней (нижней) грани мы определили для ограниченного сверху (снизу) множества. Но не каждое множество ограничено сверху (снизу). Так, само множество действительных чисел $\mathbb{R}$ неограничено сверху и снизу. В самом деле, для любого $M \in \mathbb{R}$ найдется $x \in \mathbb{R},$ такой, что $x > M$ (например, $x = M + 1).$ Это означает, что никакое число $M$ не является верхней границей множества $\mathbb{R}.$ В случае если множество $E$ неограничено сверху, иногда пишут $\sup E = +\infty.$ Аналогично, если множество $E$ неограничено снизу, то пишут $\inf E = −\infty.$ Примером неограниченного снизу множества также может быть множество $\mathbb{R}.$

Примеры решения задач

  1. Пусть $\displaystyle X = \left \{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots \frac{1}{n}, \ldots \right \}.$
    1. Указать наименьший и наибольший элементы этого множества, если они существуют.
    2. Каковы множества верхних и нижних границ для множества $X.$ Найти $\sup X$ и $\inf X.$
    Решение
    1. Данное множество имеет наибольший элемент $M=1$ поскольку для всех элементов множества $x \in X$ выполняется неравенство $x \leqslant 1$ и при этом $1 \in X.$ Наименьшего элемента заданное множество не имеет, так как для любого элемента $\displaystyle x_n= \frac{1}{n}\in X$ всегда найдется элемент $\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{n+1} \in X$ для которого выполняется неравенство $x_{n+1} \leqslant x_n.$

      Наименьшего элемента множества $X$ не существует. Очевидно, что для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется $x \geqslant 0,$ то есть множество $X$ ограничено снизу. Покажем, что $0$ является предельным значением множества $X.$ Действительно, для любого $\xi >0$ можно найти натуральное число:
      $$\displaystyle n > \frac{1}{\xi} \Rightarrow \frac{1}{n} < \xi, \frac{1}{n} \in X. $$

    2. Поскольку для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется неравенство $x \leqslant 1,$ причем $1 \in X,$ то множество верхних границ для множества $X$ это множество $[1,+\infty)$ c наименьшим элементом равным $1.$ Таким образом, $\sup X=1.$ Множество нижних границ для $X$ это множество $(−\infty,0]$ c наибольшим элементом равным $0.$ Отсюда находим $\inf X=0.$

    Ответ: $M=1,$ наименьшего элемента не существует, $[1,+\infty), (−\infty,0], \sup X=1, \inf X=0.$

  2. Доказать, что для любого непустого ограниченного множества $A \subset \mathbb{R}$ и для любого числа $\lambda \geqslant 0$ справедливо равенство $\sup \lambda A = \lambda \sup A.$ (здесь $\lambda A = {\lambda x : x \in A}$).
    Решение

    Если $\lambda = 0,$ утверждение очевидно. Будем считать, что $\lambda \neq 0$. Обозначим $a = \sup A.$ Требуется доказать, что $\lambda a$ — точная верхняя граница множества $\lambda A.$ Как указано выше, для этого надо проверить, что $\lambda a$ — верхняя граница и что сдвиг вниз на произвольное $\xi > 0$ уже не будет верхней границей. Проверка. Так как $a = \sup A,$ число $a$ — верхняя граница множества $A,$ стало быть, $(\forall x \in A) x \leqslant a.$ Умножив неравенство на положительное число, получаем, что $(\forall x \in A) \lambda x \leqslant\lambda a,$ так что $\lambda a —$ верхняя граница.

    Проверим второе свойство. Пусть дано произвольное $\xi > 0.$ Надо подобрать такое $x \in A,$ что $\lambda x > \lambda a − \xi.$ Запишем последнее неравенство,изолировав в нем $\displaystyle x: x > a − \frac{\xi}{\lambda},$ и вновь воспользуемся условием, согласно которому для любого $\xi_1 > 0$ найдется такое $x \in A,$ что $x > a − \xi_1.$ Взяв в качестве $\xi_1$ число $\displaystyle \frac{\xi}{\lambda},$ получаем, что для любого $\xi > 0$ есть такое $x in A,$что $\displaystyle x > a − \frac{\xi}{\lambda},$ это и требовалось.

Смотрите также

  1. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 672 с. — с. 15-23.
  2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — с.22-28.

Ограниченные множества

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Ограниченные множества».

5.1 Дифференцируемость и производная

$\DeclareMathOperator{\tg}{tg} \DeclareMathOperator{\sign}{sign} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}$ Определение 1. Пусть функция $f$ определена на интервале $(a, b)$ и точка $x_0 ∈ (a, b).$ Если существует конечный предел $\displaystyle  \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$, то он называется производной функции $f$ в точке $x_0$ и обозначается $f^\prime(x_0)$, или $\displaystyle \frac{df}{dx}(x_0),$ $Df(x_0).$

Определение 2. Пусть функция $f$ определена на интервале $(a, b)$ и точка $x_0 ∈ (a, b).$ Функцию $f$ будем называть дифференцируемой в точке $x_0,$ если существует такая постоянная $A$ (зависящая от $x_0$ и не зависящая от $x$), что справедливо равенство: $$f(x) − f (x_0) = A (x − x_0) + r(x), $$где $r(x) = \overline{o} (x − x_0) \: \: \: (x \to x_0).$

Короче определение дифференцируемости можно записать в следующем виде: $$f(x) − f (x_0) = A (x − x_0) + \overline{o} (x − x_0) \: \: \: (x \to x_0).$$
Покажем, что эти два определения эквивалентны в том смысле, что дифференцируемость функции равносильна существованию производной.

Теорема. Функция $f$ дифференцируема в точке $x_0 ∈ (a, b)$ тогда и только тогда, когда у $f$ существует производная в точке $x_0.$

Пусть $f$ дифференцируема в точке $x_0.$ Это означает, что $f(x) − f (x_0) = A (x − x_0) + \overline{o} (x − x_0),$ где $A$ не зависит от $x$. Отсюда получаем:
$$\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = A+\frac{\overline{o} (x − x_0)}{x-x_0}.$$
Тогда, учитывая определение символа $\overline{o}$, имеем
$$\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=A+\lim_{x\to x_0} \frac{\overline{o} (x − x_0)}{(x − x_0)} =A$$ т. е. существует $f^\prime(x_0) = A.$
Обратно, если существует $$\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f^\prime(x_0),$$ то $$ \displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + f^\prime(x_0) = r_1(x),$$ где $r_1(x) \to 0 (x \to x_0)$. Отсюда следует, что $$ f(x) — f(x_0) = f^\prime(x_0)(x-x_0)+r_1(x)(x-x_0).$$ Обозначим $r(x)=r_1(x)(x-x_0).$ Тогда $r(x)=\overline{o}(x-x_0),$ т. е. $$ f(x) − f (x_0) = f^\prime(x_0)(x-x_0)+\overline{o}(x-x_0) \: \: \: (x\to x_0), $$ а это и означает, что $f$ дифференцируема в точке $x_0$, причем $A= f^\prime(x_0).$

Итак, условие дифференцируемости равносильно наличию производной. Смысл дифференцируемости состоит в том, что в некоторой окрестности точки $x_0$ функция $f$ представима в виде линейной функции $l(x)= f (x_0)+f (x_0) f^\prime(x-x_0)$ приближенно с точностью до величины бесконечно малой более высокого порядка, чем $(x-x_0) $ при $x\to x_0.$

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью устанавливает следующая

Теорема. Если функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то она непрерывна в этой точке.

Дифференцируемость $f$ означает, что
$$ f(x) − f (x_0) = A(x_0)(x-x_0)+\overline{o}(x-x_0) \: \: \: (x\to x_0). $$
Отсюда следует, что $\displaystyle \lim_{x\to x_0} (f(x)-f(x_0)) = 0$, т. е. $\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$, и тем самым теорема доказана.

Обратное утверждение неверно. Именно из непрерывности функции $f$ не следует ее дифференцируемость. Примером может служить функция $f(x)=|x|,$ непрерывная в точке $x_0 = 0$, для которой выражение $$\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \frac{|x|}{x} = \sign x $$ не имеет предела $x\to 0$ и, следовательно, функция $f$ не имеет производной в точке $x_0 = 0$. Значит, $ f$ не является дифференцируемой в нуле.

Итак, непрерывность – это необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости. Другими словами, если функция разрывна в точке $x_0$, то она недифференцируема в этой точке. Обратное неверно.

С геометрической точки зрения производная $f^\prime(x_0)$ представляет собой тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $M_0(x_0, f (x_0))$. При этом касательной к графику функции $f$ в точке $M_0$ называется предельное положение секущей $M_0M$ при стремлении точки $M (x, f(x))$ вдоль кривой $y = f(x)$ к точке $M_0$. В самом деле, если функция  $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то при стремлении $M$ к $M_0$ вдоль кривой $y = f(x)$ секущая $M_0M$ имеет тангенс угла наклона, равный $$ \displaystyle \tg\alpha(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, $$ и при $ x \rightarrow x_0 $ точка $M$ стремится к $M_0$ вдоль кривой $y = f(x)$. Так как $$\displaystyle  \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \to f^\prime(x_0)  \: \: \: (x\to x_0), $$ то $\tg\alpha(x) \to f^\prime(x_0) $ при $x\to x_0$, т. е. секущая стремится занять некоторое предельное положение, тангенс угла наклона $\alpha_0$ которого равен $f^\prime(x_0)$.Отсюда получаем уравнение касательной к графику дифференцируемой в точке $x_0$ функции $y = f(x):$ $$k(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0) (x-x_0).$$

Примеры решения задач

  1. Найти производную $f(x) = \sin x $ в точке $x_0 = 0.$
    Решение

    Пример можно легко решить, пользуясь определением производной, а так же первым замечательным пределом:
    $ \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \lim_{x\to 0} \frac{\sin x — \sin 0}{x-0}=\lim_{x\to 0} \frac{\sin x }{x}=1.$

  2. Пусть $f(x) = x^{2}$ Тогда производная $f^\prime(x_0)$ равна?
    Решение

    $\displaystyle f^\prime(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^2-x^2_0}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0} \frac{(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}=$
    $\displaystyle = \lim_{x\to x_0} (x+x_0) = 2x_0$

  3. Пусть $f(x) = \left|x \right |$ и если $x_0 \neq 0$ существует ли $f^\prime(x_0)$?
    Решение

    $f^\prime(x_0) = \sgn x_0$, где $\sgn$ обозначает функцию знака. А если $x_0 = 0$ $f^\prime_+(x_0)=1,$ $f^\prime_-(x_0)=-1,$ а следовательно $f^\prime(x_0)$ не существует.

  4. Найдите уравнение касательной к графику функции $y=e^{2x-3}$ в точке $x_0 = 5,$ а также угол наклона касательной в этой точке.
    Решение

    Известно, что уравнение касательной в точке имеет вид $l={f}\left(x_{0}\right)+{f}’\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right),$ причём ${f}’\left(x_{0}\right)=\mathrm{tg}\alpha,$ где $\alpha$ — угол наклона касательной.
    Находим значение касательной в точке 5, получаем ${f}^\prime\left(x\right)=2e^{2x-3},$ а в точке $x_{0}=5: \, {f}^\prime\left(5\right)=2e^{7} \Rightarrow$ $l = e^{7}+2e^{7}\left(x-5\right) =$
    $ -9e^{7}+2e^{7}x$, $\alpha = \mathrm{arctg}\left(2e^{7}\right).$

  5. Найдите по определению $\sin x.$ на множестве $\mathbb{R}$
    Решение

    Воспользуемся определением производной $(\sin x)^\prime:$
    $
    (\sin x)^\prime = \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} = \\
    = \displaystyle \frac{2\sin \frac{\Delta x}{2}\cdot \cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x} = \\
    = \displaystyle \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}} \cdot \cos(x+\frac{\Delta x}{2})
    $
    Теперь сделаем подстановку $ \displaystyle \frac{\Delta x}{2} = t$ . При $\Delta x \to 0, $ $t \to 0.$ Применим первый замечательный предел:
    $ \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \frac { \sin \frac{\Delta x}2}{\frac{\Delta x}2} = \lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} = 1.$
    Сделаем такую же подстановку $\displaystyle \frac{\Delta x}{2} = t$ и используем свойство непрерывности:
    $\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \left ( \cos x + \frac{\Delta x}{2} \right) = \lim_{t\to 0} \cos (x+t)= \cos x.$

Смотрите также

  1. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 672 с. — с. 123-133.
  2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — 607 с. — с. 186-214.
  3. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — с.271-280.

Дифференцируемость и производная

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Дифференцируемость и производная».

М1734. Уравнения

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 2 выпуск)

Условие

Докажите, что уравнение \displaystyle \bigl (\frac{\sin\: x}{x} \bigm) ^\beta  = \cos x на  \displaystyle \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm) не имеет решений при  \beta \leqslant 3 , но имеет единственное решение при \beta  > 3 .

Решение

Такие задачи обычно сводятся к исследованию функции с помощью производных. Трудность состоит в том, чтобы суметь удачно выбрать исследуемую функцию.
Исследование уравнения задачи мы начнем с очевидного замечания: при  \beta \leqslant 0 оно решений не имеет. В самом деле, поскольку  \sin x < x при x > 0 , то при  \beta \leqslant 0 на всем интервале   \displaystyle \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm) выполнено неравенство \displaystyle \bigl (\frac{\sin \: x}{x} \bigm) ^\beta \geqslant 1  .
Пусть  \beta > 0  . Заметим, что функция    \displaystyle \bigl (\frac{\sin\: x}{x} \bigm) ^\beta  - \cos\: x обращается в ноль в тех же точках интервала  \displaystyle \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm), что и функция $$ \displaystyle f(x) = \sin \:x \: \cos^{ \gamma} x — x,$$ где \gamma =- \frac{1}{\beta}< 0.
Изучим поведение  f(x) на полуинтервале  \displaystyle \lbrack 0;\frac{\pi}{2} \bigm). Имеем: f(0)=0, f'(0)=0, f(x) \to +\infty при \displaystyle x \to \frac{\pi}{2} . Далее, f''(x)=-\sin\:x \cdot \phi(x), где $$\phi(x) = (1+\gamma)^{2}\: \cos^{\gamma}\:x — \gamma(\gamma-1) \cos^{\gamma-2}x$$.
Заметим, что  \phi(x) имеет на  \displaystyle \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm) не более одного корня. Найдем знак функции  \phi(x) в окрестности нуля. Функция  \phi(x) положительна в некоторой окрестности точки  0 , если
$$\gamma(\gamma-1) < (1+\gamma)^{2},\\
2\gamma + 1 > -\gamma,\\
1 > -3\gamma,\beta>3.$$

Легко видеть, что при  0 <\beta \leqslant 3 на всем интервале  \displaystyle \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm) выполняется неравенство  \phi(x) < 0.
Теперь мы знаем ход изменений функции   f(x) на рассматриваемом интервале (рис. а и б). Тем самым утверждение задачи доказано.

Замечание. На рисунках в и г изображены графики функции   f(x) при   \beta < 0 ; полезно проследить за изменением вида этого графика при изменении числа  \beta от   0 до   +\infty , а затем от  0 до  -\infty .