М1734. Уравнения

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 2 выпуск)

Условие

Докажите, что уравнение  \bigl (\frac{sin\: x}{x} \bigm) ^\beta  = cos\: x на  \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm) не имеет решений при  \beta \leq 3 , но имеет единственное решение при \beta  > 3 .

Такие задачи обычно сводятся к исследованию функции с помощью производных. Трудность состоит в том, чтобы суметь удачно выбрать исследуемую функцию.
Исследование уравнения задачи мы начнем с очевидного замечания: при    \beta \leq 0 оно решений не имеет. В самом деле, поскольку  sin\:  x < x при x > 0 , то при  \beta \leq 0 на всем интервале   \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm) выполнено неравенство  \bigl (\frac{sin \: x}{x} \bigm) ^\beta \geq 1  .
Пусть  \beta > 0  . Заметим, что функция    \bigl (\frac{sin\: x}{x} \bigm) ^\beta  - cos\: x обращается в ноль в тех же точках интервала  \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm), что и функция $$ f(x) = sin \:x \:cos^{ \gamma} x — x$$, где \gamma =- \frac{1}{\beta}< 0.
Изучим поведение  f(x) на полуинтервале  \lbrack(0;\frac{\pi}{2} \bigm). Имеем: f(0)=0, f'(0)=0, f(x) \to +\infty при  x \to \frac{\pi}{2} . Далее, f''(x)=-sin\:x \cdot \phi(x), где $$\phi(x) = (1+\gamma)^{2}\:cos^{\gamma}\:x — \gamma(\gamma-1)cos^{\gamma-2}x$$.
Заметим, что  \phi(x) имеет на   \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm) не более одного корня. Найдем знак функции  \phi(x) в окрестности нуля. Функция  \phi(x) положительна в некоторой окрестности точки  0 , если
$$\gamma(\gamma-1) < (1+\gamma)^{2},$$
$$2\gamma + 1 > -\gamma,$$
$$1 > -3\gamma,\beta>3.$$

Легко видеть, что при  0 <\beta \leq 3 на всем интервале   \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm) выполняется неравенство  \phi(x) < 0.
Теперь мы знаем ход изменений функции   f(x) на рассматриваемом интервале (рис. а и б). Тем самым утверждение задачи доказано.

Замечание 1. На рисунках в и г изображены графики функции   f(x) при   \beta < 0 ; полезно проследить за изменением вида этого графика при изменении числа  \beta от   0 до   +\infty , а затем от   0 до  -\infty .
Замечание 2. На студенческой олимпиаде предлагалась такая задача: «Доказать неравенство \bigl (\frac{sin\: x}{x} \bigm) ^{3}  \geq cos\: x при  0 < x < \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm) »

 

М1733. Непрерывная функция

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 2 выпуск)

Условие

Непрерывная функция f(x) такова, что f = f^{-1} и f(0)=1. Докажите равенство:

$$\underset{0}{\overset{1}{\int}}|x-f(x)|dx = \frac{1}{2} $$

График функции y=f(x) симметричен относительно биссектрисы первого координатного угла y=x(см.рисунок).
Значит,  S_1 = S_4 , а  S_2 = S_3 . Поэтому можно записать $$\underset{0}{\overset{1}{\int}}|x-f(x)|dx = \underset{0}{\overset{x_0}{\int}}(f(x)-x)dx + \underset{x_0}{\overset{1}{\int}}(x-f(x))dx = S_1 + S_3 = \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{2} $$