М685. О конгруэнтных подмножествах

Два подмножества множества натуральных чисел назовем конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества четных и нечетных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (непересекающихся) бесконечных конгруэнтных подмножеств?

Ответ

Предположим, что задача уже решена. Пусть $A$ — то из множеств разбиения, которое содержит единицу. Остальные множествa разбиения получаются из $A$ сдвигами на некоторые натуральные числа, множество которых, дополненное нулем, мы обозначим через $B$. Пусть для каждого $b\in B$ множество $A_{b}$ — результат сдвига множества $A$ на $b,$ то есть множество всех чисел вида $a+b,$ где $a\in A$. По условию, если $b_{1}\neq b_{2},$ то $A_{b_{1}}\cap A_{b_{2}}=\oslash$ и всякое натуральное число $n$ принадлежит одному из множеств $A_{b},$ то есть каждое натуральное число единственным образом представляется в виде суммы $n=a+b$.

Построение множеств $A$ и $B$ мы осуществим двумя способами.

Первый способ. Пусть множества $A$ и $B$. обладающие свойством $n=a+b$ построены. Поставим в соответствие каждому натуральному числу $n=a+b$ точку плоскости $Oxy$ с координатами $\left ( a;b \right )$.

    Пусть $M$ — множество всех полученных точек плоскости. Множество $M,$ очевидно, обладает следующими свойствами:

  1. если $A$ — проекция множества $M$ на ось $Ox,$ а $B$ — проекция $M$ на ось $O,y$ то множество $M$ совпадает со всем множеством пар $\left ( a;b \right )$.
  2. пересечение множества $M$ с каждой прямой $x+y=n$ состоит из единственной точки: в частности, при $n=1$ — это точка $\left ( 1;0 \right )$.

Ясно, что, построив хотя бы одно множество $M$ обладающее свойствами 1) и 2), мы получим нужное разбиение множества натуральных чисел.

Множество $M$ построим как объединение множеств $M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset …\subset M_{n}\subset \ldots,$ которые, в свою очередь, будем строить так:

Пусть $M_{0}=\left \{ \left ( 1;0 \right ) \right \}$. Назовем $n$-ой диагональю прямую $x+y=n$. Точка $\left ( 1;0 \right )$ попадает на первую диагональ: вычеркнем ее и в дальнейшем, строя множества $M_{1}$ будем последовательно вычеркивать диагонали, на которые попадают построенные точки.

Сдвинем множество $M_{0}$ на единицу вправо и положим $M_{1} = \left \{ \left ( 1;0 \right ), \left ( 2;0 \right ) \right \}$ при этом вычеркнем вторую диагональ(Рис.1). Затем сдвинем множество $M_{1}$ на две единицы вверх и присоединим полученные точки к $M_{1}$: это будет множество $M_{2}$: при этом вычеркнем третью и четвертую диагонали.

144
144

Множество $M_{2}$ сдвинем на четыре единицы вправо — так, чтобы вычеркнуть следующие четыре диагонали: получим множество $M_{3}$

144
144

Вообще. множество $M_{k+1}$ строим так: сдвигаем множество $M_{k}$ на $2^{k}$ единиц вправо или вверх — так, чтобы вычеркнуть диагонали с номерами $2^{k} + 1, 2^{k} + 2, 2^{k+1}$.

Легко видеть, что объединение множеств $M_{0}, M_{1},\ldots M_{n}\ldots$ обладает свойствами 1) и 2).

Второй способ. Как известно всякое натуральное число $n$ представляется в виде $$n=a_{0}\cdot 2^{k}+a_{1}\cdot 2^{k-1}+\ldots+a_{k-1}\cdot 2+a_{k},$$ где $a_{i}$ равно 0 или 1. причем такое представление единственно. На этом основана двоичная запись числа $n$: $n_{2} = \overline{a_{0}a_{1}\ldots a_{k-1}a_{k}}$

Рассмотрим теперь два множества натуральных чисел: множество $A,$ состоящее из чисел, в двоичной записи которых единица находится в нечетных разрядах, и множество $B$ состоящее из 0 и чисел, в двоичной записи которых единица находится в четных разрядах.

Очевидно, любое натуральное $n$ единственным образом представляется в виде суммы $n=a+b$.

Множества $A$ и $B$ обладают свойством $n=a+b$. и поэтому множества $A_{b}$ дают нужное разбиение.

Сторона и ориентация поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Край поверхности.

Определим понятие стороны поверхности. Выберем на гладкой поверхности (замкнутой или ограниченной гладким контуром) точку M_{0} и проведем в ней нормаль к поверхности, выбрав для нее определенное направление (одно из двух возможных). Проведем по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке M_{0}. Рассмотрим точку M, обходящую этот контур, и в каждом из ее положений проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке M_{0} в первоначальное положение при любом выборе точки M_{0} на поверхности, поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на противоположное, поверхность называется односторонней. Поверхность может быть задана уравнением F\left ( x,y,z \right ) = 0, не разрешенным относительно ни одной из переменных (неявное задание). При этом поверхность представляет собой множество всех точек. Например, уравнение x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2} = 0 задает сферу радиуса R с центром в начале координат. Наконец, поверхность может быть задана параметрически: $$x = \varphi \left ( u,v \right ), y = \psi \left ( u,v \right ), z = \chi \left ( u,v \right ), \forall \left ( u,v \right )\in g,$$ где \psi ,\chi ,\varphi− непрерывные функции в области g. Переменные $u$ и $v$ называются параметрами.
На рисунке ниже изображен вектор нормали к поверхности $A$.
188

Определение

Совокупность всех точек поверхности с одинаковым направлением нормали называется стороной поверхности.

Дальше введем понятие ориентации поверхности. Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность S, ограниченную контуром L, и выберем одну сторону этой поверхности.

Определение

Назовем положительным направление обхода контура L, при котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно наблюдателя, находящегося в конечной точке нормали к какой-либо точке поверхности S, соответствующей выбранной стороне поверхности. Обратное направление обхода контура назовем отрицательным.

Определение

... показать

Список литературы

Небольшая викторина

Равномерная сходимость и интегрирование

Теорема (об интегрировании)

Если последовательность непрерывных на сегменте \left [ a,b \right ] функций s_{1}(x), s_{2}(x),...s_{n}(x),... сходиться равномерно в этом сегменте к предельной функции S(x), то при любых a\leq \alpha \leq \beta \leq b $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$$

Доказательство. Заметим прежде всего, что в наших условиях предельная функция S(x) является непрерывной, и поэтому интеграл $$ \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$$

имеет смысл.

Ввиду обусловленной равномерной сходимости последовательности к предельной функции S(x) по любому \varepsilon < 0 найдется такое n_{0}, что при n\geq n_{0} для любого a\leq x\leq b будет выполняться неравенство $$\left | S(x) — S_{n}(x) \right |< \frac{\varepsilon }{b-a}$$

поэтому $$\left | \int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx — \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx \right | = \left | \int_{\alpha }^{\beta }(S_{n}(x)-S(x))dx \right | \leq $$ $$\leq \int_{\alpha }^{\beta }\left | S_{n}(x) — S(x)dx \right |< \int_{\alpha }^{\beta }\frac{\varepsilon }{b-a}dx = \varepsilon \frac{\beta - \alpha }{b-a} \leq \varepsilon $$

Таким образом, по произвольному \varepsilon < 0 нашлось такое n_{0}, что при n\geq n_{0} $$\left | \int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx — \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx \right | < \varepsilon $$

а это и означает сходимость.

Теорема (о почленном интегрировании рядов).

Если функциональный ряд u_{1}(x) + u_{2}(x) + ... + u_{n}(x) +... сходиться равномерно на некотором сегменте \left [ a,b \right ], и имеет суммой функцию S(x), то функциональный ряд интегралов $$\int_{\alpha }^{y }u_{1}(x)dx + \int_{\alpha }^{y }u_{2}(x)dx + … +\int_{\alpha }^{y }u_{n}(x)dx + …$$

так же сходится равномерно на этом сегменте и имеет суммой функцию $$\int_{\alpha }^{y}S(x)dx$$

Доказательство. Пусть S_{n}(x) - n-ая частичная сумма ряда. Тогда $$\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{y}(u_{1}(x)+u_{2}(x)+…+u_n{x}(x))dx$$

будет, очевидно, n-ой частной суммой ряда. По условию теоремы последовательность S_{1}(x), S_{2}(x),...S_{n}(x),... частичных сумм ряда сходиться на сегменте \left [ a,b \right ] равномерно. Следовательно, на основании теоремы о предельном переходе под знаком интеграла с переменным верхним пределом последовательность интегралов $$\int_{\alpha }^{y}S_{1}(x)dx, \int_{\alpha }^{y}S_{2}(x)dx, … ,\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx, …$$

так же сходиться и имеет пределом $$\int_{\alpha }^{y}S(x)dx$$

маленькая викторина

Равномерная сходимость и дифференцирование

Теорема о почленном дифференцировании

Если каждая функция f_n(x) имеет производную на сегменте \left[a,b\right], при чем последовательность производных сходиться равномерно на сегменте \left[a,b\right], а сама последовательность \left\{ f_n(x)\right\} сходиться хотя бы в одной точке x_{0} сегмента \left[a,b\right],то последовательность \left\{ f_n(x)\right\} сходиться к некоторой предельной функции f_n(x) равномерно на сегменте \left[a,b\right], причем эту последовательность можно дифференцировать на сегменте \left[a,b\right] почленно, т.е. всюду на сегменте \left[a,b\right] предельная функция имеет производную f'(x) являющуюся предельной функцией последовательности \left\{ f'_n(x)\right\}

Доказательство. Докажем сначала, что последовательность \left\{ f_n(x)\right\} сходится равномерно на сегменте \left[a,b\right]. Из сходимости числовой последовательности \left\{ f_n(x_{0})\right\} и из равномерной сходимости \left\{ f'_n(x)\right\} на сегменте \left[a,b\right] следует, что для любого \varepsilon>0 найдется номер N(\varepsilon) такой, что $$\mid f_{n+p}(x_{0})- f_{n}(x_{0})\mid<\frac{\varepsilon}{2}, \mid f'_{n+p}(x)- f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$$

для всех n\geq N(\varepsilon), всех натуральных p и для всех x из сегмента \left[a,b\right] Так как для функции \left[f_{n+p}(t)-f_{n}(t)\right] при любых фиксированных номерах n и p выполнены на сегменте, ограниченном точками x и x_{0} все условия теоремы Лагранжа, то между x и x_{0} найдется такая точка \varepsilon такая, что $$\left | f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right |-\left | f_{n+p}(x_{0})-f_{n}(x_{0}) \right |=\left | f’_{n+p}(\varepsilon )-f’_{n}(\varepsilon ) \right |(x-x_{0})$$

Из этого равенства и из того, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, получим $$\left | f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right |<\varepsilon $$

Это и означает в силу критерия Коши, что последовательность \left\{ f_n(x)\right\} сходиться равномерно на сегменте \left[a,b\right] к некоторой предельной функции f(x)

Остается доказать, что эта предельная функция в любой фиксированной точке x сегмента \left[a,b\right] имеет производную.

Фиксируем произвольную точку x сегмента \left[a,b\right] и по ней \delta>0 такое, что бы \delta-окрестность точки x целиком содержалась в \left[a,b\right]

Обозначим символом \left \{ \Delta x \right \} множество всех чисел \Delta x, удовлетворяющих условию 0 < \left | \Delta x \right | < \delta, при a < x < b, условию 0 < \Delta x < \delta при x=a и условию  -\delta <\Delta x < 0 при x=b и докажем, что последовательность функций аргумента \Delta x $$\varphi_{n}(\Delta x) = \frac{f_{n}(x + \Delta x) — f_{n}(x)}{\Delta x}$$

сходится равномерно на указанном множестве \left \{ \Delta x \right \}

Для произвольного \varepsilon>0 в силу критерия Коши равномерной сходимости последовательности \left\{ f'_n(x)\right\} найдется номер N(\varepsilon) такой, что $$\left | f’_{n+p}(x)-f’_{n}(x) \right | < \varepsilon$$

Фиксируем теперь произвольное \Delta x из множества \left<br /> \{ \Delta x \right \} и при любых фиксированных номерах n и p применим к функции $$\left [ f_{n+p}(t)-f_{n}(t) \right ]$$

по сегменту, ограниченному точками x и \left ( x+\Delta x \right ), теорему Лагранжа. Согласно этой теореме найдется число \Theta из интервала 0 < \Theta < 1 такое, что $$\frac{\left [ f_{n+p}(x+\Delta x) — f_{n}(x+\Delta x) \right ] — \left [ f_{n+p}(x) — f_{n}(x) \right ]}{\Delta x}=$$ $$= f’_{n+p}(x + \Theta \Delta x) — f’_{n}(x + \Theta \Delta x)$$

Последнее равенство можно переписать в виде $$\varphi _{n+p}(\Delta x) — \varphi _{n}(\Delta x) = f’_{n+p}(x + \Theta \Delta x) — f’_{n}(x + \Theta \Delta x)$$

Из этого равенства заключаем, что $$\left | \varphi _{n+p}(\Delta x) — \varphi _{n}(\Delta x) \right | < \varepsilon$$

В силу критерия Коши последовательность \left \{ \varphi _{n}(\Delta x) \right \} сходится равномерно на множестве \left \{ \Delta x \right \}. Но тогда к этой последовательности можно применить теорему о почленном предельном переходе в точке \Delta x = 0. Согласно этой теореме функция $$\frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x}$$

являющаяся предельной функцией последовательности имеет предел в точке \Delta x = 0, причем этот предел можно вычислять почленно, т.е. $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\frac{f(x+\Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\left [ \lim_{n\rightarrow \infty } \varphi_{n}(\Delta x) \right ] = $$ $$=\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\varphi_{n}(\Delta x) \right ] = \lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \lim_{\Delta x\rightarrow 0 } \frac{f_{n}(x + \Delta x) — f_{n}(x)}{\Delta x} \right ] = \lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$$

Это и доказывает, что производная предельной функции f(x) в точке x существует и равна \lim_{n \rightarrow \infty }f'_{n}(x). Теорема доказана.