M2156. О равенстве четырехугольников

Условие

Вася и Петя нарисовали по выпуклому четырехугольнику. Каждый из них записал на листочке длины всех сторон своего четырехугольника и двух его диагоналей. В результате на их листочках оказались два одинаковых набора из 6 различных чисел. Обязательно ли четырехугольники Васи и Пети равны?

Ответ:

Не обязательно.

 Решение

Примером могут служить четырехугольники ABCD и KLMN , изображенные на рисунке. Здесь \triangle ABC = \triangle KLM, \triangle ACD = \triangle MNK и BC = LN

triangls

Поэтому наборы длин сторон и диагоналей для для данных четырехугольников одинаковые. Но очевидно что сами четырехугольники не равны ( так как, например, в четырехугольнике ABCD ни одна из двух диагоналей не равна LN ).

Определение предела функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность

Определение предела функции по Коши

Пусть функция f(x) определена в проколотой окрестности 0(x^{0}) точки x^{0} метрического пространства X . Говорят, что число A есть предел функции f(x) при x \to x_{0} , если \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 такое, что для \forall x \in O(x^{0}) , удовлетворяющего условию \rho(x, x^{0}) < \delta ,  выполнено неравенство \left | f(x) - A \right | < \varepsilon .

Определение предела функции по Гейне

Говорят, что функция f(x) , определенная в 0(x^{0}) , имеет при x \to x_{0} предел A , если для любой последовательности x^{k} \in 0(x^{0}) такой, что lim_{k \to \infty}x^{k} = x^{0} , выполнено равенство lim_{k \to \infty}f(x^{k}) = A .

Эквивалентность двух определений предела доказывается так же, как и для функций одной переменной.

Пример

Докажем, что lim_{x \to 0 , y \to 0}(x^{2}+y^{2})^{a}=0 , если a>0 . Возьмем любое \varepsilon > 0 . Положим \delta= \varepsilon^{\frac{1}{2a}} . Пусть (x,y) \in S_{\delta}(0,0) , тогда (x^{2}+y^{2})^{a}<\delta^{2a}<\varepsilon , т.е. lim_{x \to 0 , y \to 0}(x^{2}+y^{2})^{a}=0 .

Определение предела функции по Коши и по Гейне.

Литература:

 

N-мерное пространство и операции в нем

Метрическое пространство

Будем множество X  называть метрическим пространством, если каждой паре элементов x  и y  этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число  p(x,y) , называемое расстоянием между элементами x  и y , такое, что для любых элементов x , y z  множества X выполнены следующие условия:

  1. p(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y;
  2. p(x,y) = p(y,x);
  3. p(x,y) \leq p(x,z)+ p(z,y), z \in \mathbb{R}, z = ( z_1, z_2,..., z_n); (неравенство треугольника).

Элементы метрического пространства будем называть точками (векторами), функцию  p(x,y) , определенную на множестве пар точек метрического пространства X ,  p — метрикой, а условия 1)-3) — аксиомами метрики. Например, определяя расстояние между вещественными числами  \alpha   и  \beta при помощи формулы p(\alpha , \beta)= \left | \beta - \alpha \right |   , получаем метрическое пространство, которое обозначается через R . Рассмотрим множество пар вещественных чисел x=(x_{1}+x_{2}) . Если x=(x_{1}+x_{2}) , а y=(y_{1}+y_{2}) , то полагая p(x,y)= \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2} , получаем метрическое пространство, которое обозначается через R^{2} .  

Метрическое пространство R_{n}

Точками пространства R_{n}  являются упорядоченные совокупности из n вещественных чисел x=(x_{1},..,x_{n}) , y=(y_{1},..,y_{n}) , z=(z_{1},..,z_{n}) . Расстояние между точками x и y определяется формулой  p(x,y) = \sqrt{(\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2)} . Свойства 1) и 2) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника (доказано в разделе «неравенство Коши-Буняковского»). Так же, n-мерные (евклидовы) пространства являются топологическими пространствами. Базой их стандартной топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.

Литература:

Нормы в n-мерном пространстве.

Евклидовой нормой или длиной числа x называется число:

 \left \| x \right \|= \sqrt{x\cdot x} = \sqrt{(x_1)^2+...+(x_n)^2}

 

 Свойства нормы:

  1.   \left \| x \right \| \geq 0 и \left \| x \right \|=0 тогда , когда x=0
  2.   \left \| x+y \right \|\leq \left \| x \right \|+\left \| y \right \|
  3.  \left \| x y \right \|\leq \left \| x \right \| \left \| y \right \|
  4.  \left \| a x \right \|= \left | a \right | \left \| x \right \|
  5.   \left \| x-z \right \|\leq \left \| x-y \right \|+\left \| y-z \right \|

В евклидовом пространстве C[a,b] всех непрерывных на сегменте a \leq t \leq b функций x=x(t) со скалярным произведением \int\limits_{a}^{b} x(t)y(t)dt норма элемента x=x(t) равна \sqrt{\int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt} , а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид:

  •   \left [ \int\limits_{a}^{b}x(t)y(t)dt \right ]^{2} \leq \int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt\int\limits_{a}^{b}y^{2}(t)dt  (неравенство Коши-Буняковского)
  • \sqrt{\int\limits_{a}^{b}\left [ x(t)+y(t) \right ]^{2}dt} \leq \sqrt{\int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt} + \sqrt{\int\limits_{a}^{b}y^{2}(t)dt} (неравенство треугольника)

Литература:

  • У.Рудин «Основы математического анализа» 2-е изд. стр. 29-31, 39-41.

Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство, связывающее норму и скалярное произведение векторов векторного пространства. Эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением:  (\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^2 \leq \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 \sum_{i=1}^{n}b_{i}^2. Справедливое для любых вещественных чисел  a_{1} , b_{1} ... a_{n} , b_{n}

Доказательство:

Рассмотрим квадратный трехчлен: p(\xi)=\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+ \xi b_{i})^2 =A + 2B\xi +C\xi^{2} , где  A=\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 ,   B=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} ,   C=\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2 . Так как квадратный трехчлен  P(\xi) принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно,   B^2-AC\leq 0 . Подставляя в неравенство значения коэффициентов  A ,  B и  C , получаем неравенство Коши-Буняковского.

Доказательство «неравенства треугольника» :

Докажем неравенство Минковского \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2}.

Используя неравенство Коши, получаем:  \sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2 = \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2 \leq  \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2=  (\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}})^2

Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратные корни, получаем неравенство Минковского. Полагая в неравенстве Минковского  a_{i}=x_{i}-z_{i} , b_{i}= z_{i}-y_{i} , получаем неравенство  \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i})^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(z_{i}-y_{i})^2} т. е. неравенство треугольника для расстояния p(x,y) .

Литература: