M1611

Формулировка

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую в точке D. Пусть M и N — середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K — середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

Доказательство

M1611

Пусть N_{1} — точка, симметричная точке N относительно K (см.рисунок). Тогда bigtriangleup KCN_{1} = bigtriangleup KDN, поэтому CN_{1} = ND и angle N_{1}CK = angle NDK =pi - angle ABN. Заметим ещё, что angle MCK = pi - angle ABM.
Складывая полученные равенства, находим, что angle N_{1}CM = angle MBN. Кроме того, из условия следует, что CM=MB и BN=ND (т.е. BN=CN_{1}). Значит bigtriangleup MCN_{1} = bigtriangleup MBN, откуда MN_{1} = MN.
MK — медиана в равнобедренном треугольнике MNN_{1}, поэтому angle MKN=90^circ.

Замечание

Задача имеет много других решений. Например, можно воспользоваться подобием треугольников MEK и KFN, где E и F — середины отрезков BC и BD соответственно. Эти треугольники имеют две пары взаимно перпендикулярных сторон: EK и FN, ME и KF; следовательно, перпендикулярны и их третьи стороны.

Кроме того, соображения, использующие композицию поворотов, позволяют отказаться от дополнительного условия в задаче (о том, что точки C и D лежат по разные стороны от A), которое было задано лишь затем, чтобы избежать разбора различных случаев. Действительно, рассмотрим композицию поворотов R_{M}^{beta} circ R_{N}^{alpha} — на углы alpha=angle DNB и beta=angle BMC вокруг точек N и M соответственно (углы передпологаются ориентированными).
Заметим, что alpha+beta=180^circ, поэтому R_{M}^{beta} circ R_{N}^{alpha}=Z_{x} — центральная симметрия относительно некоторой точки X. Но Z_{x}(D)=(R_{M}^{beta} circ R_{N}^{alpha})=R_{M}^{beta}(B)=C, поэтому X — середина отрезка CD, т.е. точка K. Если N_{1}=Z_{K}(N), то N_{1}=(R_{M}^{beta} circ R_{N}^{alpha})(N)=R_{M}^{beta}(N), т.е. bigtriangleup NMN_{1}, равнобедренный и angle MKN=90^circ

Д.Терешин

Оценка погрешности приближенного вычисления определенных интегралов по формуле Тейлора

Рассмотрим погрешность приближённого вычисления определённых интегралов по формуле Тейлора.

Обозначим погрешность через R_{n}

R_{n} представляет собой разность истинного значения определённого интеграла и полученного в результате приблизительного вычисления.

Разумеется, что истинное значение также считается приближённо. Иначе, можно было б использовать точные методы вычисления определённых интегралов.

Проанализируем погрешность вычисление примера 1 :

\int_{0}^{0.3} e^{-2x^{2}}=0.3-2\frac{0.3^{3}}{3}+2\frac{0.5^{5}}{5}-\frac{4*(0.3)^{7}}{21}+...=0.3-0.018+0.000972-...\approx

 \approx0.3-0.018=0.282

Видем, что каждый следующий член суммы на порядки меньше предыдущего.

Если вычислить интеграл, взяв только первый член ряда, получим погрешность R_{n}\approx0.018972

Два первых:

R_{n}\approx0.000972

Имеем, что высокая точность достигается довольно быстро.

Аналогичные рассуждения можно провести с  примером 2.

Литература :

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов по формуле Тейлора

Интегралы от некоторых функций не могут быть выражены через элементарные функции. Для нахождения таких интегралов применяются различные приближённые методы интегрирования, смысл которых состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию на «близкую» к ней функцию, проинтегрировав которую, мы получим элементарную функцию.

В частности, мы рассмотрим один из таких методов — разложение подынтегральной функции в ряд Тейлора.

Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.

Проиллюстрируем данный метод на примере (вычислим с точностью до 0,001):

1) \int\limits_{0}^{0.3} e^{-2x^{2}}dx

... показать

Рассмотрим ещё пример (вычислим с точностью до 0,0001):

2) \int\limits_{0}^{0.5} \frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx

... показать

Литература :

Приближённое интегрирование

Данный тест поможет Вам усвоить материал этой записи.

Таблица лучших: Приближённое интегрирование

максимум из 13 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных