Линейные оболочки и подпространства. Критерий подпространства

Выберем в линейном пространстве K, заданном над полем P, конечное число векторов \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, ..., \vec{e_{n}}.

Определение

Вектор вида \alpha_{1} \vec{e_{1}}+\alpha_{2}\vec{e_{2}}+...+\alpha_{n}\vec{e_{n}} называется линейной комбинацией векторов \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, ..., \vec{e_{n}}, где \alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} \in P.

Определение

Множество всех линейный комбинаций векторов \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, ..., \vec{e_{n}} называется линейной оболочкой.

Определение

Если непустое подмножество F пространства K само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения векторов на скаляр (число), определенных в K, то F называется линейным подпространством (обозначается F \le K).

Теорема (критерий подпространства)

F является линейным подпространством K, если выполняются такие условия:

  1. Если векторы \vec{a} и \vec{b} принадлежат F, то \vec{a} + \vec{b} тоже принадлежат F.
    \forall \vec{a}, \vec{b} \in F: \vec{a} + \vec{b} \in F.
  2. Если вектор \vec{a} принадлежит F, то и \alpha\vec{a} тоже принадлежит F.
    \forall \vec{a} \in F, \forall \alpha \in P: \alpha \vec{a} \in F
Доказательство показать

 

Примеры подпространств показать
Пример критерий подпространства показать

Тест

Линейные оболочки и подпространства. Критерий подпространства

Таблица лучших: Линейные пространства

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники

Г. С. Белозеров. Конспект лекций по линейной алгебре.

В. В. Воеводин. Линейная алгебра. Издание второе, переработанное и дополненное. Москва «НАУКА» 1980. (стр. 42-43)

А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. Издание десятое. Стереотипное. Москва «НАУКА» 1971. (стр. 201-202)

И. В. Проскуряков.  Сборник задач по линейной алгебре. Издание шестое. Стереотипное. Москва «Наука», 1984. (стр. 168-170)

Подгруппы. Критерий подгруппы

Определение

Подмножество H группы G называется подгруппой этой группы (обозначают H \le G), если оно само является группой относительно сужения операции, определенной в группе G.

Теорема (Критерий подгруппы)

Непустое подмножество H группы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда h_{1}h_{2}\in H и h_{1}^{-1}\in H для всех h_{1},h_{2} \in H

Обозначается

<G, \ast>группа.

H \subseteq G

H \le G \Leftrightarrow (\forall h_{1}, h_{2}\in H)[h_{1}\ast h_{2}^{-1}\in H]

Доказательство показать

 

Пример показать

Тест

Подгруппы. Критерий подгруппы.

Таблица лучших: Подгруппа

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источник

Г. С. Белозеров. Конспект лекций по линейной алгебре.

В. С. Монахов. Учебное пособие «Введение в теорию конечных групп и их классов». Гомель 2003 (стр. 20-21)

А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. Издание десятое. Стереотипное. Москва «Наука» 1971. (стр. 398-399)

И. В. Проскуряков.  Сборник задач по линейной алгебре. Издание шестое. Стереотипное. Москва «Наука», 1984. (стр. 218-220)

Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора

Определение

Функция f определенна на множестве X\subset R^{n} называется равномерно непрерывной на X, если \forall\varepsilon > 0, \exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0, что для любых двух точек x, y \in X, удовлетворяющих условию \rho(x, y) < \delta, выполняется неравенство |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

Теорема Кантора

Если функция f определенна и непрерывна на компактном множестве, то она равномерно непрерывна на этом множестве.

Доказательство показать

Тест

Тест по теме: «Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора»

Таблица лучших: Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники

Г.М. Фихтенгольц  Курс дифференциального интегрального исчисления т.1 (стр. 370-371)

Г. М. Вартанян. Конспект лекцiй з математичного аналiзу. Одеса 2009 (стр. 11-12).

 

Второй замечательный предел. Следствия

Вторым замечательным пределом называется равенство

\lim_{x\rightarrow 0}\limits (1+x)^{\frac{1}{x}}=e.

Замечательный предел

Доказательство показать

Следствия показать

Рассмотрим 2 примера.

Пример 1 показать
Пример 2 показать

Тест

Замечательный предел

Таблица лучших: Замечательный предел

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники

Г. М. Вартанян. Конспект лекцiй з математичного аналiзу. Одеса 2009 (стр. 26-27).

Б. П. Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 60-63).