Бесконечно малые функции

Если \lim_{x\rightarrow a }f(x)=0, то функция f(x) называется бесконечно малой при x\rightarrow a.

Свойства

  1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых функций при x\rightarrow a есть бесконечно малая функция при x\rightarrow a
  2. Доказательство
    Пусть f_{1}(x),f_{2}(x),..,f_{n}(x) бесконечно малые функции при x\rightarrow a. Тогда существуют числа \delta _{1},\delta _{2},..,\delta _{n} и число \varepsilon >0 такие что
    |x-a|<\delta _{1},|x-a|<\delta _{2},..,|x-a|<\delta _{n} (1)
    что влечет за собой условия
    |f_{1}(x)|<\frac{\varepsilon }{n},|f_{2}(x)|<\frac{\varepsilon }{n},..,|f_{n}(x)|<\frac{\varepsilon }{n} (2).
    Если \delta =\min\begin{Bmatrix}\delta _{1};\delta _{2};..;\delta _{n}\end{Bmatrix}, то условие |x-a|<\delta усиливает группу условий (1) что влечет за собой группу условий (2). Следовательно
    \\|f_{1}(x)+f_{2}(x)+..+f_{n}(x)|\leqslant |f_{1}(x)|+|f_{2}(x)|+..+|f_{n}(x)|\\|f_{1}(x)|+|f_{2}(x)|+..+|f_{n}(x)|<\sum_{1}^{n}\frac{\varepsilon }{n}=\varepsilon\\|f_{1}(x)+f_{2}(x)+..+f_{n}(x)|<\varepsilon

  3. Произведение бесконечно малой функции f(x) на ограниченную g(x) в некоторой проколотой окрестности точки a есть бесконечно малая функция при x\rightarrow a
  4. Доказательство
    Так как функция g(x) ограничена, то для x удовлетворяющих условию
    |x-a|<\delta _{1} (1)
    существует число
    C:|g(x)|<C (2)
    Так как функция f(x) бесконечно малая, то существует некоторая окрестность \delta _{2} и число
    \varepsilon >0 для которых выполняются условия
    |x-a|<\delta _{2} (3)
    и
    |f(x)|<\frac{\varepsilon}{C} (4)
    Выберем \delta=\min\begin{Bmatrix}\delta _{1};\delta _{2}\end{Bmatrix}. Тогда условие |x-a|<\delta более сильное чем (1) и (3) и поэтому оно влечет за собой условия (2) и (4).
    Следовательно |f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|<\frac{\varepsilon }{C}C =\varepsilon

  5. Произведение конечного числа бесконечно малых функций при x\rightarrow a есть бесконечно малая функция при x\rightarrow a
  6. Доказательство
    Так как любая бесконечно малая функция f(x) при x\rightarrow a будет ограничена в некоторой \delta окрестности точки a, то доказательство сводится к доказательству свойства 2.

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 83

Следующая тема →

Свойства границ, связанные с арифметическими операциями и с неравенствами

Свойства пределов, связанные с алгебраическими операциями

Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы в точке a, причем \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A и \lim_{x\rightarrow a}g(x)=B то:

  1. \lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=A+B
  2. Доказательство
    Так как функции f(x) и g(x) имеют предел в точке a, то при x\rightarrow a величины h_{f}(x)=A-f(x) и h_{g}(x)=B-g(x) будут бесконечно малыми. Отсюда, согласно свойствам бесконечно малых h_{f}+h_{g}=(A+B)-(f(x)+g(x)) также будет бесконечно малой величиной. Что в свою очередь означает, что \lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=A+B

  3. \lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=AB
  4. Доказательство
    Так как функции f(x) и g(x) имеют предел в точке a, то при x\rightarrow a величины h_{f}(x)=A-f(x) и h_{g}(x)=B-g(x) будут бесконечно малыми. Поэтому g(x)=A-h_{f}(x) и g(x)=B-h_{g}(x). Отсюда
    \\f(x)g(x)=(A-h_{f})(B-h_{g})\\f(x)g(x)=AB-Ah_{g}-Bh_{f}+h_{f}h_{g}\\AB-f(x)g(x)=Ah_{g}+Bh_{f}-h_{f}h_{g}
    Согласно свойствам бесконечно малых, величина в правой части — бесконечно малая. Что в свою очередь означает, что \lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=AB

  5. \lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}, причем B\neq 0
  6. Доказательство
    Условие \lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B} эквивалентно тому, что разность \frac{A}{B}-\frac{f(x)}{g(x)}
    бесконечно малая величина при x\rightarrow a. Покажем, что это утверждение имеет место. Приведем к общему знаменателю, получим \frac{Ag(x)-Bf(x)}{Bg(x)}. Рассмотрим предел числителя дроби.
    \\\lim_{x\rightarrow a}(Ag(x)-Bf(x))\\A\lim_{x\rightarrow a}g(x)-B\lim_{x\rightarrow a}f(x)\\AB-BA=0\: \Rightarrow \frac{A}{B}-\frac{f(x)}{g(x)}=0
    Что в свою очередь означает, что \lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}

Свойства пределов, связанные с неравенствами

  1. Теорема о двух милиционерах
  2. Если \exists \delta > 0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a) выполняются неравенства g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x) и если \lim_{x\rightarrow a}g(x)= \lim_{x\rightarrow a}h(x)=A то \exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A.
    Доказательство
    Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть \begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix} — последовательность из \dot{U}_{\delta }(a), причем \lim_{x\rightarrow \infty }x_{n}=a. Тогда выполняются условия g(x_{n})\leqslant f(x_{n})\leqslant h(x_{n}) и \lim_{n\rightarrow \infty}g(x_{n})= \lim_{n\rightarrow \infty}h(x_{n})=A. Тогда в силу свойств пределов последовательностей \lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A. Следовательно \lim _{x\rightarrow a }f(x)=A.
    Теорему можно проиллюстрировать следующим графиком:
    t3pol

  3. Если \exists\delta >0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a) выполняется неравенство f(x)\leqslant g(x) и если\lim_{x\rightarrow  a}f(x)=A, \lim_{x\rightarrow  a}g(x)=B, то A\leqslant B.
  4. Доказательство
    Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть \begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix} — последовательность из \dot{U}_{\delta }(a), тогда числа A и B будут пределами последовательности \begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}_{1}^{\infty } т.е. \lim_{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A и \lim_{n\rightarrow \infty }g(x_{n})=B Тогда в силу свойств пределов последовательностей A\leqslant B.

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 81-84

Следующая тема →

Различные типы пределов: бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности

Бесконечные пределы в конечной точке

Проколотой окрестностью точки a называется:

\dot{U}_{\delta }(a)=(a-\delta ;a)\cup (a;a+\delta ).

Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки a. Говорят, что f(x) имеет бесконечный предел в этой точке (\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= \infty), если:

\forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: |f(x)|>\varepsilon.

В этом случае функцию называют бесконечно большой при x\rightarrow a. Данный общий случай можно разделить на два частных:

\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= +\infty\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: f(x)>\varepsilon

и, соответственно

\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= -\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: f(x)<-\varepsilon.

Пример 1

Дана функция f(x)=\frac{1}{x}:
frac1x
Найти предел при x\rightarrow 0.

Решение показать

Пределы на бесконечности

Число A называют пределом функции f(x) на бесконечности (\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=A), если

\forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon.

Отсюда, очевидно, следуют определения предела на +\infty:

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x >\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon

и на -\infty:

\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x<-\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon.

Абсолютно аналогично определяется бесконечный предел на бесконечности:

\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon
\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=+ \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)>\varepsilon
\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=- \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)<-\varepsilon
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x<-\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon

Пример 2

Рассмотрим функцию f(x)=\ln x^{2}:
lnxpow2

Решение показать

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001 г., стр. 79-80
  2. Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, физмат-лит, 1966 г., стр. 50

Тест


Таблица лучших: Бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности

максимум из 17 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Различные типы пределов: односторонние конечные пределы

Определения

Односторонний предел по Коши

Число A^{'} называют левосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A^{'}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),

если

\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A^{'}|<\varepsilon

Аналогично, число A^{''} называют правосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A^{''}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),

если

\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A^{''}|<\varepsilon

Односторонний предел по Гейне

Число A^{'} называют левосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A^{'}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),

если

\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}<a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A^{'}[/latex]</p> <p>Аналогично, число [latex]A^{''} называют правосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A^{''}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),

если

\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}>a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A^{''}

Пределы слева и справа называют односторонними пределами.
Соответственно, функция f(x) называется непрерывной слева (справа) в точке a, если

\exists \lim\limits_{x\rightarrow a-0}f(x)=f(a)\;(\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x)=f(a)).

Теорема

Функция f(x) имеет предел в точке a тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке a.

Доказательство показать

Пример

Дана функция f(x)=\rm sgn(x):\: \left\{\begin{matrix}1, x>0;\\ 0, x=0;\\ -1, x<0.\end{matrix}\right.
signx
Выяснить существует ли предел в точке 0.

Решение показать

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 77-79
  2. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, 2003, т.1. стр. 185-189

Тест


Таблица лучших: Односторонние конечные пределы

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных