Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов
Интеграл Значение
\int dx x+C
\int a^xdx \frac{a^x}{\ln{a}}+C
\int e^xdx e^x+C
\int x^adx \frac{x^{a+1}}{a+1}+C
\int \frac{dx}{x} \ln|{x}|+C
\int \frac{dx}{2\sqrt{x}} \sqrt{x}+C
\int \cos xdx  \sin x+C
\int \sin xdx  -\cos x+C
\int  \mathop{\rm sh} dx  \mathop{\rm ch} x+C
 \int\mathop{\rm ch} xdx \mathop{\rm sh} x+C
\int \frac{dx}{\sin^2x}  \mathop{\rm tg} x + C
\int \frac{dx}{\mathop{\rm ch}^2x}  \mathop{\rm th} x+ C
\int \frac{dx}{\cos^2x}  \mathop{\rm -ctg}x +C
\int \frac{dx}{a^2+x^2} \frac{1}{a} \mathop{\rm arctg}\frac{x}{a}+C=-\frac{1}{a}\mathop{\rm arctg}\frac{x}{a}+C
\int \frac{dx}{\mathop{\rm sh}^2x} \mathop{\rm -cth}+C
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}} \ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} \arcsin \frac{x}{a}+C=-\arccos\frac{x}{a}+C
\int \frac{dx}{a^2-x^2} \frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}|+C
\int \frac{dx}{x^2-a^2} \frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C

Решите примеры:

  1. \int (2x-3)dx
    Ответ показать
  2. \int \cos^2xdx 
    Ответ показать
  3. \int (2x-3)^2dx
    Ответ показать

Литература

  1. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 459
  2. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012

Тест

Для решения интегралов нужно знать таблицу первообразных (таблицу интегралов) и свойства интегралов. Попробуйте проверить свои знания.


Таблица лучших: Таблица основных интегралов

максимум из 22 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Неопределённый интеграл и его свойства

Пусть функция f определена на некотором промежутке. Совокупность всех ее первообразных на этом промежутке называется неопределённым интегралом от функции f и обозначается

$$\int f(x)dx$$.

Символ \int называется знаком интеграла, а f(x) —подынтегральной функцией.

Если F(x) —какая-либо первообразная функции f на рассматриваемом промежутке, то пишут

\int f(x)dx=F(x)+C,

где Cпроизвольная постоянная.

Нахождение неопределённого интеграла. от заданной функции называют интегрированием.

Следует отметить, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределённые интегралы, есть равенство между множествами.

Под знаком интеграла пишут не саму функцию f, а ее произведение на дифференциал. Это делается, например, для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная.

 

Пример 1 показать

Пример 2 показать

Пример 3 показать

см. Таблица основных интегралов

Свойства неопределённого интеграла

Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке \bigtriangleup.

Свойство 1 показать

Свойство 2 показать

Свойство 3 показать

Свойство 4 показать

СЛЕДСТВИЕ -- линейность интеграла показать

Литература.

  1. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
  2. Зарубин В.С., интегральное исчисление функций одного переменного — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999., Стр. 16
  3. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 454-455
  4. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 456-458
  5. В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 158-159)

 Тест.

Неопределённый интеграл и его свойства

Неопределённый интеграл и его свойства

Таблица лучших: Неопределённый интеграл и его свойства

максимум из 15 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о разности двух первообразных

Дифференцируемые в промежутке \bigtriangleup функции F(x) и G(x) будут в этом промежутке первообразными одной и той же функции f(x) тогда и только тогда, когда разность их значений для любого x\in\bigtriangleup постоянна.

F(x)-G(x)=C=const

Доказательство показать

Литература.

  1. Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999., Стр. 15

Тест

Теорема о разнице двух первообразных

Таблица лучших: Теорема о разнице двух первообразных

максимум из 1 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Пример функции, не имеющей первообразной

Докажем, что функция

{\mathop{\rm sgn}} x = \left\{ \begin{array}{l}~~1,~~~x > 1\\~~0,~~~x = 0\\- 1,~~~x < 0\end{array} \right.

signum

имеет первообразную на любом промежутке, не содержащем точку 0, и не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку 0.
Доказательство 1 показать

 

Доказательство 2 показать

Источники

  1. Пример
  2. Sgn

Тест

Пример функции, не имеющей первообразной

Пример функции, не имеющей первообразной

Таблица лучших: Пример функции, не имеющей первообразной

максимум из 1 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Определение первообразной

Функция F называется первообразной функцией функции f на промежутке \bigtriangleup, если F дифференцируема на \bigtriangleup и в каждой точке этого промежутка производная функции F равна значению функции f:

F'(x)-f(x), x\in\bigtriangleup

При этом если некоторый конец промежутка \bigtriangleup принадлежит промежутку , то под производной в этом конце понимается соответствующая односторонняя производная. Функция, имеющая в данной точке производную , непрерывна в этой точке , поэтому первообразная F функции f непрерывна на промежутке \bigtriangleup.

Примеры

    1. Функция F(x)=\frac{x^3}{3} является первообразной функции f(x)=x^2 на всей числовой оси.
    2. f(x)=\frac{1}{7-3x}     F(x)=-\frac{1}{3}ln|7-3x|+C

Решите самостоятельно

f(x)=3x^2
Ответ показать

 

f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, при x>0

Ответ показать

 

f(x)=-\frac{1}{x^2}, при x\ne0

Ответ показать

 

f(x)=cos(x)
Ответ показать

 

Ниже приведены графики функции f(x)=cos(x)(красный цвет) и ее первообразной F(x)=sin(x)(зеленый цвет) при значении произвольной постоянной C=0.

cos

Литература

  1. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
  2. Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,1999, Стр. 14
  3. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа, 2003. — М.: Дрофа, Т.1. Стр. 453-454

Тест

Определение первообразной

Таблица лучших: Определение первообразной

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных