M1518. Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке

Задачи из журнала «Квант» (1995 год, выпуск 5)

Условие

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка — основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2:1, считая от вершин, лежат на одной сфере.

Доказательство

Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC, P— точка пересечения высот тетраэдра, AA_{1} — высота тетраэдра из вершины A.

MA_{2}||A_{3}A_{1} и AA_{2}:A_{2}A_{1}=2:1.

Угол MA_{2}P — прямой, так что точка A_{2} лежит на сфере с диаметром MP. Аналогично рассматриваются остальные случаи.

Д.Терешин

M1515. О целых корнях суперпозиции трех квадратных трехчленов

Задача из журнала «Квант» (1995 год, выпуск 5)

Условие

Известно, что f(x),g(x),h(x) — квадратные трехчлены. Может ли уравнение f(g(h(x)))=0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?

Решение

Предположим, что числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 — корни уравнения f(g(h(x)))=0.

Если прямая x=a — ось параболы, задаваемой уравнением y=h(x), то h(x_{1})=h(x_{2}) тогда и только тогда, когда x_{1}+x_{2}=2a.

Многочлен f(g(x)) имеет не более четырех корней, но числа h(1), h(2),..., h(8) являются его корнями, следовательно, a=4.5 и h(4)=h(5),h(3)=h(6),h(2)=h(7),h(1)=h(8). Кроме того, мы попутно доказали, что числа h(1),h(2),h(3),h(4) образуют монотонную последовательность. Аналогично, рассматривая трехчлен f(x) и его корни g(h(1)), g(h(2)), g(h(3)), g(h(4)), получаем, что h(1)+h(4)=2b, h(2)+h(3)=2b, где прямая x=b — ось параболы, задаваемой уравнением y=g(x). Но из уравнения h(1)+h(4)=h(2)+h(3) для h(x)=Ax^{2}+Bx+C следует, что A=0. Противоречие.

Ответ: уравнение f(g(h(x)))=0 не может иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.

С.Токарев

Суммы Дарбу и их свойства

Существенное продвижение в теории определенного интеграла принадлежит Г. Дарбу, который ввел в рассмотрение наряду с интегральной суммой Римана верхнюю и нижнюю суммы (впоследствии названные суммами Дарбу).

Суммы Дарбу

Итак, пусть функция f\left(x\right)ограничена на \left[a;b\right] и существует разбиение этого отрезка T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}. Это значит, что fограничена на любом \triangle _{i}=\left[x_{i-1};x_{i}\right], i =\overline{1,n}. Отсюда, по второй теореме Вейtрштрасса\exists M_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\sup f(x)}, \exists m_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\inf f(x)},  i=\overline{1,n}.

Итак, пусть мы выбрали какое-то конкретное разбиение отрезка  [a;b] на n частей. Теперь выберем на каждой из этих частей промежуточные точки \xi _{i} так, чтобы сумма площадей получившихся прямоугольников была минимальной. (см. задачу о вычислении площади криволинейной трапеции)

Построим интегральную сумму следующим способом: на каждом интервале \triangle _{i} разбиения T точку \xi _{i} будем выбирать так, чтобы получался прямоугольник минимальной площади, т.е. чтобы высота f\left(\xi _{i}\right) была наименьшей. Наименьшую высоту нам как раз и даст операция \inf f(x)m_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\inf f(x)}. Интегральная сумма, построенная на таких прямоугольниках, очевидно, есть самая маленькая из всевозможных сумм, получаемых на данном разбиении. Эта сумма называется нижней суммой Дарбу.

Точно так же можно построить и наибольшую для данного разбиения сумму: на каждом из интервалов \triangle _{i} разбиения T мы выбираем точку \xi _{i} так, чтобы значение f\left(\xi _{i}\right) было максимальным: M_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\sup f\left(x\right)}. Этим значениям соответствует интегральная сумма, называемая верхней суммой Дарбу. Теперь дадим более строгое определение.


Определение

\underbrace{S_{T}=\sum_{i=1}^{n}M_{i}\triangle x_{i}} — верхняя сумма Дарбу

\underbrace{s_{T}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}\triangle x_{i}} — нижняя сумма Дарбу


Замечание

Суммы Дарбу зависят от разбиения T и не зависят от выбора промежуточных точек \xi _{i}.

Свойства сумм Дарбу

Свойство 1^{\circ}. 

Для любой выборки \xi =\left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n} и разбиения T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n} справедливы неравенства: s_{T}\leq \sigma _{T}\left(\xi ,f\right)\leq S_{T}.  (*)

Доказательство показать

 

Свойство 2^{\circ}.

При T — фиксированном, справедливы равенства: S_{T}=\sup \sigma _{T}\left(\xi ,f\right), s_{T}=\inf \sigma_{T}\left(\xi ,f\right).

Доказательство показать

 Определение

Назовём разбиение T_{2} продолжением (измельчением) разбиения T_{1}, если каждая точка разбиения T_{1} является точкой разбиения T_{2}. Иначе говоря, разбиение T_{2} либо совпадает с разбиением T_{1}, либо получено из T_{1} добавлением по крайней мере одной новой точки.


Свойство 3^{\circ}.

Если разбиение T_{2} — продолжение разбиения T_{1}, то s_{T_{1}}\leq s_{T_{2}}\leq S_{T_{2}}\leq S_{T_{1}} (*), то есть при дроблении отрезка нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Доказательство показать

При добавлении точки x' в разбиение T верхняя сумма Дарбу уменьшится на величину площади не закрашенного прямоугольника

Layer 1

Свойство 4^{\circ}.

Для любых разбиений {T}' и  {T}'' справедливо неравенство s_{{T}'}\leq S_{{T}''} .

Доказательство показать

Свойство 5^{\circ}.

Существуют числа \underline{I}=\sup s_{T}, \bar{I}=\inf S_{T}, называемые верхним и нижним интегралами Дарбу, такие, что для любых разбиений {T}',{T}'' отрезка \left[a;b\right]s_{{T}'}\leq \underline{I}\leq \bar{I}\leq {S_{{T}''}}

Доказательство показать

Замечание

Свойства 1-5 справедливы для любой ограниченной на отрезке \left[a;b\right] функции.


Пример 1

Найти суммы Дарбу для функции f\left(x\right)=x^{3} на отрезке \left[-2;3\right], соответствующие разбиению этого отрезка на n равных частей.

Решение показать

Пример 2

Для интеграла \int\limits_{0}^{\pi }\sin x dx найти верхнюю и нижнюю интегральные суммы, соответствующие разбиению отрезка \left[0;\pi\right] на 3 равные части.

Решение показать

Литература:

  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, т I- 687 стр.(стр. 443- 445)
  • Лысенко З.М. Конспект лекция по математическому анализу (тема «Определенный интеграл»)
  • Морозова В.Д. Введение в анализ: Учеб. для вузов/Под ред. В.С.Зарубина,А.П.Крищенко — М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана,1996 — 408 стр. (стр. 219-220)

 

Тест по теме

Тест с элементарными вопросами по теме «Суммы Дарбу и их свойства»

Таблица лучших: Тест по теме

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Пример ограниченной функции, не интегрируемой по Риману

Если функция интегрируема по Риману, то она ограничена( см. Теорема об ограниченности интегрируемой функции). Однако обратное, вообще говоря, не верно.


В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле, D:\mathbb{R} \mapsto \left \{ 0,1 \right \}, принимающую значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число.

Рассмотрим её на отрезке [0;1]. Очевидно, что она ограничена на нём. Покажем,что она не интегрируема.

Зафиксируем произвольное разбиение T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n} этого отрезка.

Если выбрать точки \xi _{i}\in [x_{i-1};x_{i}],i=\overline{1,n} рациональными, то получим интегральную сумму:

\sigma _{T}(\xi _{i};D)=\sum\limits_{i=1}^{n}\underset{1}{\underbrace{D(\xi _{i})}}\triangle x_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}\triangle x_{i}=b-a Перейдём к пределу:

\lim_{\lambda \to0 }\sigma _{T}(\xi_{i},D)=b-a ,

а если взять \xi _{i} иррациональными,то

\sigma _{T}({\xi }'_{i},D)=\sum\limits_{i=1}^{n}\underset{0}{ \underbrace{D(\xi _{i})}}\triangle x_{i}=0\Rightarrow \lim_{\lambda \to0 }\sigma _{T}({\xi }'_{i},D)=0.

Как видим, предел интегральной суммы зависит от выбора промежуточных точек, следовательно, исходя из определения интегрируемой по Риману функции, D(x) — не интегрируема по Риману.

Вывод:

ограниченность функции не является достаточным условием её интегрируемости.

Литература:

  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа(в двух томах) — М.:Высш. школа,1981, т.1. — 687 с. (с 443)
  • Р.М.Гаврилова, Г.С.Костецкая, А.Н.Карапетянц Методические указания по теме «Определенный интеграл»( с 6-7)

Дополнительно:

Ограниченность интегрируемой по Риману функции

                                                      

Теорема(необходимое условие интегрируемости)

Если функция f(x) — интегрируема на \left [ a;b \right ], то она ограничена на \left [ a;b \right ].

Доказательство

\square  Пусть f\in \mathbb{R}\left [ a;b \right ].Тогда,по определению: \forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0:\forall Tразбиения: как только\lambda < \delta \wedge \forall \left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}\Rightarrow \left | \sigma _{T} \right(\xi ,f)-I |< \varepsilon , где  T =\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n} — разбиение \left [ a;b \right ]\lambda =max\left \{ \triangle x_{i} \right \} — ранг разбиения\triangle x_{i}=x_{i}-x_{i-1}; \left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n} — набор промежуточных точек, \xi_{i}\in \bigtriangleup _{i},i=\overline{1,n}.

Выберем \varepsilon =1( так как \varepsilon — любое положительное) и обозначим интегральную сумму \sigma _{T}(\xi ,f) через \sigma. Тогда \exists \delta > 0: \forall T : \lambda < \delta \wedge \forall \left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}\Rightarrow \left | \sigma -I \right |< 1\Leftrightarrow I-1< \sigma < I+1.

Предположим, что  f(x) не ограничена на \left [ a;b \right ], и зафиксируем разбиение T этого отрезка. В силу неограниченности функции  f(x) на всём отрезке \left [ a;b \right ] она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков \triangle _{i}=[x_{i-1};x_{i}],i=\overline{1,n}. Пусть для определённости это будет \triangle _{1}=[x_{0};x_{1}]=[a;x_{1}]. Теперь фиксируем промежуточные точки, начиная с \xi _{2} (т.е. \xi _{i}\in\triangle _{i},i=\overline{2,n}).Таким образом зафиксированная сумма будет иметь вполне определённое значение. Получим:

\sigma _{T}(\xi ;f)=f(\xi _{1})\triangle x_{1}+\sum\limits_{i=2}^{n}f(\xi _{i})\triangle x_{i}

I-1<\sigma _{T}(\xi ;f)=f(\xi _{1})\triangle x_{1}+\underset{A}{\underbrace{\sum_{i=2}^{n}f(\xi _{i})\triangle x_{i}}}<I+1 , где A — некоторое число.

I-1-A<f(\xi _{i})\triangle x_{1}<I+1-A      Разделим полученное неравенство на \triangle x_{1}

\underset{\triangle x_{1}}{\underline{I-1-A}}<f(\xi _{1})<\underset{\triangle x_{1}}{\underline{I+1-A}}

А это означает, что f — ограничена на \triangle _{1}, что противоречит предположению. Следовательно, функция  f ограничена на \left [ a;b \right ]\blacksquare


Замечание

Ограниченность функции не является достаточным условием её интегрируемости.

Пример ограниченной функции, не интегрируемой по Риману


Практическое применение

Для существования определенного интеграла от некоторой функции f(x) последняя,помимо ограниченности, должна обладать дополнительными свойствами, обеспечивающими её интегрируемость. Поэтому данная теорема является вспомогательной( например, для критерия интегрируемости). Таким образом её практическое применение сводится к облегчению доказательств более сложных теорем.


Литература:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Определенный интеграл»
  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.:Высш.школа,1981,т.I — 687с.(с 442-443)
  • Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс — 9-е изд. — М.:Айрис-пресс,2009.- 608 с.( с 259-260)

Смотрите дополнительно:

 

 

Тест по теме "Ограниченность интегрируемой по Риману функции"

Небольшой тест по данной теме

Таблица лучших: Тест по теме "Ограниченность интегрируемой по Риману функции"

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных