M1237. Точка внутри треугольника

Условие

1

Пусть точка O внутри, треугольника ABC= такова, что \overrightarrow{OK} +\overrightarrow{OM} +\overrightarrow{ON}= \overrightarrow{0}  М,N — основания перпендикуляров, опущенных из  О на стороны  AB, BC, CA треугольника. Докажите неравенство \frac{OK+OM+ON}{AB+BC+CA}\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}

1

Решение

В силу условия на точку О отрезки ОК, ОМ, ON можно параллельно передвинуть так, чтобы составился треугольник. После поворота на 90° стороны этого треугольника станут параллельны сторонам треугольника ABC, следовательно, эти треугольники подобны. Коэффициент подобия обозначим через kk=\frac{OK}{AB} = \frac{OM}{BC} = \frac{ON}{CA}. Тогда левая часть доказываемого неравенства равна fe. С другой стороны, представляя площадь S треугольника ABC как сумму площадей треугольников AOB, BOC и COA, получим: 2S=a*OK+b*OM+c*ON = k(a^2+b^2+c^2) ,где a,b,c— длины сторон. Таким образом, задача сводится к доказательству неравенства:

s\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{4\sqrt{3}}

Приведем одно из доказательств этого довольно известного неравенства, использующее формулу Герона и неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел (буквой p, как обычно, обозначен полупериметр):

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\leq \sqrt{p((p-a+p-b+p-c)/3)^3}=\frac{p^2}{3\sqrt{3}}\leq (a^2+b^2+c^2)/4\sqrt{3}

Последнее неравенство следует из соотношений:

4p^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca и  2xy\leq x^2+y^2 .

Отметим, что точка О в этой задаче определена однозначно. Она называется точкой Лемуана треугольника ABC и является точкой пересечения его симедиан, т. е. прямых, симметричных медианам относительно соответствующих биссектрис.

 

Непрерывность сложной функции


Теорема 1

Пусть функции $\varphi _{1},…,\varphi _{n}$ определены в некоторой окрестности точки $x_{0}\in R^{m}$ и непрерывны в точке $x_{0}$, а функция $f(y)=f(y_{1},…,y_{n})$определена в окрестности точки $y_{0}=(\varphi _{1}(x_{0}),…,\varphi _{n}(x_{0}))$ и непрерывна в точке $y_{0}$. Тогда в некоторой окрестности точки $x_{0}$ определена сложная функция. $\Phi (x)=f \big( \varphi _{1}(x),…,\varphi _{n}(x) \big) $ причем функция $\Phi(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$.
Воспользуемся доказательством в случае одной переменной.

Теорема о непрерывности сложной функций

Пусть функция $\varphi (t) $ непрерывна в точке $t_{0}$ и функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_{0}=\varphi(t_{0})$. Тогда функция $f(\varphi(t))$ непрерывна в точке $t_{0}$.

Доказательство:

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем:
$f(x)$ непрерывна в $x_{0}$ $\forall \varepsilon > 0 \;, \quad \exists \delta \; \quad \forall x \quad \left | x-x_{0} \right |< \delta $  $\left | f(x)-f(x_{0}) \right | <\varepsilon $ $ \quad \psi (e)$ непрерывна в $t_{0}$ $\forall \delta >0 \; \quad \exists \eta \; \quad \forall t \quad $ $\left | t-t_{0} \right | < \eta \; \quad \left | \varphi (t)-\varphi(t_{0}) \right | < \delta$ Выписывая  кванторы, получим, что:
$$\forall \varepsilon >0 \; \quad \exists \eta \; \quad \forall t \quad \left | t-t_{0}\right | < \eta \quad \left | f\Big( \varphi (t) \Big)-f\Big((\varphi t_{0})\Big) \right | < \varepsilon $$ что и говорит о том, что $f\big(\varphi (t)\big)$ непрерывна в точке $t_{0}$.

Источники:

  1. Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» стр. 237-238
  2. Конспект по математическому анализу Лысенко З.М.

Непрерывная функция

Тест на тему «непрерывные функции»

Повторный предел

Повторные предельные значения. Для функции  u=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}) нескольких переменных можно определить понятие предельного значения по одной из переменных  x=x_{k}   при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предельного значения. Уясним это понятие на примере функции  u=f(x,y) двух переменных x и у. Пусть функция   u=f(x,y) задана в некоторой прямоугольной окрестности   \left | x-x_{0} \right |<d_{1}  ,   \left | y-y_{0} \right | <d_{2}  точки  M_{0}(x_{0},y_{0}) , за исключением, быть может, самой точки  M_{0}  . Пусть для каждого фиксированного y, удовлетворяющего условию  0<\left | y-y_{0} \right | <d_{2} существует предельное значение функции  u=f(x,y) одной переменной x в точке  x=x_{0}

\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y)=\varphi (y)  

и пусть, кроме того, существует предельное значение b функции   \varphi (y) в точке  y=y_{0} :

\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}\varphi(y) =b

В этом случае говорят, что существует повторное предельное значение b для функции   u=f(x,y) в точке   M_{0} , которое обозначается следующим образом:

 \lim\limits_{y\rightarrow y_{0}} \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y) =b

Теорема:

Пусть функция  u=f(x,y) определена в некоторой прямоугольной окрестности   \left | x-x_{0} \right |<d_{1}  ,   \left | y-y_{0} \right | <d_{2}  точки  M_{0}(x_{0},y_{0}) и имеет в этой точке предельное значение b. Пусть, кроме того, для любого фиксированного x,  0<\left | x-x_{0} \right | <d_{1}, существует предельное значение  \psi =\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}f(x,y) и для любого фиксированного y,  0<\left | y-y_{0} \right | <d_{2}, существует предельное значение  \phi (y)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} . Тогда повторные предельные значения  \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} \lim\limits_{y\rightarrow y_{0}} и  \lim\limits_{y\rightarrow y_{0}} \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y) существуют и равны b.

 

Пример решения:

Вычислить повторный предел функций f(x,y)=\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}

Литература:

Бесконечные пределы

Определение

Пусть задана функция нескольких переменных A\subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} и a —предельная точка множества A. Если для любого числа M>0 существует такое число \delta , что при x\in A\cap U(a,\delta ) выполняется неравенство f(x)> M ( \left | f(x) \right | > M), то говорят, что функция f(x) стремится к + \infty при, x\underset{A}{\rightarrow}a и пишут:
\lim\limits_{x\to a}=+\infty (\lim\limits_{x\to a}=-\infty или \lim\limits_{x\to a} =\infty )
Во всех трех случаях функцию f(x) называют бесконечно большой при x\underset{A}{\rightarrow}a.

Пример

Функция f(x, y) = \frac{1}{x^2+y^2} является бесконечно большой при (x, y) \rightarrow (0, 0) Функция g(x, y) = \frac{x}{x^2+y^2} стремится к \infty при (x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0), если A — сектор, заключенный между прямыми y = x и y = {-x} и расположенный в правой полуплоскости x > 0. В самом деле, в этом секторе \left | y \right | < \left | x \right | и поэтому:
\frac{x}{x^2+y^2}> \frac{x}{2x^2} = \frac{1}{2x}
Функция g(x, y) стремится к - \infty при (x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0), если A — сектор, заключенный между прямыми y = x и y = {-x} и расположенный в левой полуплоскости x < 0, поскольку в этом секторе \left | y \right | < \left | x \right | и поэтому:
\frac{x}{x^2+y^2}< \frac{x}{2x^2} = \frac{1}{2x}
Если A = {(x, y):x = 0, y \in R}— ось ординат, то g(x, y) = 0 на A и функция g(x, y) является бесконечно малой при (x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0).

Литература:

Арифметические свойства непрерывных функций

Теорема 1

Пусть даны функции $f,g$ :$E \mapsto R^{m} $, $E \subset \mathbb{R}^n $. Если $ f, g$ непрерывны в точке $x_{0}$, то в этой точке непрерывны и функций $ f+g$ , $ f\cdot g$. Если $f,g$ — действительные функций и $ g(x)\neq 0$ на $E$, то $\Large \frac{f}{g}$ непрерывна в точке $ x_{0}.$

Доказательство:
Действительно, если $ x_{0}$ — изолированная точка в этой точке непрерывна каждая функция. Если же $ x_{0}$ — предельная точка множества  $ E$, то для доказательства этой теоремы достаточно применять соответствующую теорему о арифметических свойствах пределов функций.

Теорема 2 (формулировка)

Пусть $ f $ : $E \rightarrow \mathbb{R}^m$ и $ g $: $N \rightarrow {R}^k$,  $N \subset \mathbb{R}^m $, причем $f(E) \subset N$. Если  $f$ непрерывна в точке $x_{0}$ $\in E$ , в функция $g$ непрерывна в точке $y_{0}= f(x_{0})$ $\in N$, то композиция $h= (g \circ f)$ непрерывна в точке $x_{0} $.

Пример

Пусть $f(x)=$ $\left | x \right |$.
Тогда из неравенства:
$\left | f(x)-f(x_0) \right |=\left | \left | x \right |- \left | x_{0} \right |\right | \leq \left | x-x_{0} \right |$ сразу следует непрерывность функций $f$.

Непрерывная функция

Тест на тему «непрерывные функции»

Таблица лучших: Непрерывная функция

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных