Линейная зависимость и независимость систем векторов. Критерии ЛЗ и ЛНЗ.

Теоретический материал

Задача

Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

$x_{1}=(1,2,3)$

$x_{2}=(3,6,7)$

Решение:

Построим линейную комбинацию из векторов системы.

$\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}=0$

$\alpha_{1}(1,2,3)+\alpha_{2}(3,6,7)=0$

$(\alpha_{1},2\alpha_{1},3\alpha_{1})+(3\alpha_{2},6\alpha_{2},7\alpha_{2})=0$

$(\alpha_{1}+3\alpha_{2},2\alpha_{1}+6\alpha_{2},3\alpha_{1}+7\alpha_{2})=0$

Далее, необходимо решить однородную систему линейных уравнений.

$\left\{\begin{matrix}
\alpha_{1} &+3\alpha_{2} &=0 \\
2\alpha_{1}&+6\alpha_{2} &=0 \\
3\alpha_{1}&+7\alpha_{2} &=0
\end{matrix}\right. $

Как видим, первое и второе уравнения линейно зависимы, т.е. ранг системы равен 2. Так как ранг системы совпадает с числом неизвестных, то система имеет только нулевое решение.

$\alpha_{1}=\alpha_{2}=0$

Система линейно независима по критерию ЛНЗ.

 Задача

Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

$x_{1}=(5,4,3)$

$x_{2}=(3,3,2)$

$x_{3}=(8,1,3)$

Решение:

Построим линейную комбинацию из векторов системы.

$\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\alpha_{3}x_{3}=0$

$\alpha_{1}(5,4,3)+\alpha_{2}(3,3,2)+\alpha_{3}(8,1,3)=0$

$(5\alpha_{1},4\alpha_{2},3\alpha_{3})+(3\alpha_{1},3\alpha_{2},2\alpha_{3})+(8\alpha_{1},\alpha_{2},3\alpha_{3})=0$

Составим систему линейных уравнений.

$
\left\{\begin{matrix}
5\alpha_{1}&+4\alpha_{2} &+,3\alpha_{3} &=0 \\
3\alpha_{1}&+3\alpha_{2} &+2\alpha_{3} &=0 \\
8\alpha_{1}&+\alpha_{2} &+3\alpha_{3} &=0
\end{matrix}\right. $

Решим систему уравнений методом Гаусса.

$\begin{pmatrix}
5 &4 &3 \\
3&3 &2 \\
8&1 &3
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
-1&-2 &-1 \\
0&-3 &-1 \\
0&-15 &-5
\end{pmatrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
-1 &-2 &-1 \\
0&-3 &-1
\end{pmatrix}$

$\left\{\begin{matrix}
-\alpha_{1}&-2\alpha_{2} &-\alpha_{3} &=0 \\
&-3\alpha_{2} &-\alpha_{3} &=0
\end{matrix}\right.$

Общее решение системы будет иметь следующий вид:

$\alpha_{3}=-3\alpha_{2}$

$\alpha_{1}=\alpha_{2}$

Т.е. система линейно зависима по первому критерию ЛЗ.

Литература

Критерии ЛЗ и ЛНЗ

Теорема (критерий ЛНЗ)

Система векторов S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}> линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства

\alpha_{1} a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+...+\alpha_{n}a_{n}=0

следует равенство нулю всех коэффициентов линейной комбинации

(\alpha_{1}=\alpha_{2}=...=\alpha_{n}=0 ).

Доказательство

Необходимость. Пусть система векторов S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>  линейно независима, но существуют числа \alpha_{1},...,\alpha_{n}, не все равные нулю, такие, что

\alpha_{1} a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+...+\alpha_{n}a_{n}=0

Допустим, что \alpha_{k} \neq 0. Тогда из этого равенства a_{k} определяется как линейная комбинация остальных векторов из a_{1},...,a_{n}. Это означает, что система векторов S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>, согласно определению, линейно зависима, что противоречит предположению.

Достаточность. Пусть теперь указанное выше равенство выполняется только тогда, когда все числа \alpha_{1},...,\alpha_{n} равны нулю. Предположим, однако, что система векторов S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}> линейно зависима. Это означает, что один из векторов a_{k} линейно выражается через остальные, т.е.

a_{k}=\alpha_{1}a_{1}+...+\alpha_{k-1}a_{k-1}+\alpha_{k+1}a_{k+1}+...+\alpha_{n}a_{n}

Но тогда

\alpha_{1}a_{1}+...+\alpha_{k-1}a_{k-1}+(-1)a_{k}+\alpha_{k+1}a_{k+1}+...+\alpha_{n}a_{n}

и не все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю, что противоречит условию. Поэтому система векторов S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}> линейно независима.

Пример

Проверить является ли система S=<(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)> линейно независимой.

Составим линейную комбинацию из векторов системы:

\alpha_{1}(1,0,0)+\alpha_{2}(0,1,0)+\alpha_{3}(0,0,1)=0\Rightarrow (\alpha_{1},0,0)+(0,\alpha_{2},0)+(0,0,\alpha_{3})=0\Rightarrow (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})=0\Rightarrow \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0

Т.е. система S=<(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)> линейно независима по критерию ЛНЗ.

Теорема (первый критерий ЛЗ)

Система S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}> линейно зависима тогда и только тогда, когда существует линейная комбинация \alpha_{1} a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+...+\alpha_{n}a_{n}=0 с ненулевым набором коэффициентов.

Пример

Проверить является ли система S=<(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0)> линейно независимой.

Составим линейную комбинацию из векторов системы:

\alpha_{1}(1,0,0)+\alpha_{2}(0,2,0)+\alpha_{3}(1,2,0)=0\Rightarrow (\alpha_{1},0,0)+(0,2\alpha_{2},0)+(\alpha_{3},2\alpha_{3},0)=0\Rightarrow (\alpha_{1}+\alpha_{3},2\alpha_{2}+2\alpha_{3},0)=0

При \alpha_{1}=1 и \alpha_{3}=-1 линейная комбинация равна нулю, т.е. система линейно зависима по первому критерию.

Теорема (второй критерий ЛЗ)

Векторы a_{1},a_{2},...,a_{n} линейно зависимы тогда и только тогда, когда либо a_{1}=0, либо некоторый вектор a_{k}, 2\leq k\leq n, является линейной комбинацией предшествующих векторов.

Доказательство

Предположим, что векторы a_{1},a_{2},...,a_{n} линейно зависимы. Тогда в линейной комбинации, составленной из этих векторов не все коэффициенты равны нулю. Пусть последний ненулевой коэффициент есть \alpha_{k}. Если k=1, то это означает, что a_{1}=0. Пусть теперь k>1. Тогда из равенства \alpha_{1} a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+...+\alpha_{n}a_{n}=0 находим, что

a_{k}=\left ( -\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{k}}\right )a_{1}+\left ( -\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{k}} \right )a_{k}+...+\left ( -\frac{\alpha_{k-1}}{\alpha_{k}} \right )a_{k-1}

Этим доказана необходимость утверждения, сформулированного в теореме. Достаточность очевидна, поскольку и случай, когда a_{1}=0, и случай, когда вектор a_{k} линейно выражается через предшествующие векторы, означает линейную зависимость первых векторов из a_{1},a_{2},...,a_{n}. Но отсюда следует линейная зависимость и всей системы векторов.

Пример

Проверить является ли система S=<(1,0,0),(0,2,0),(1,4,0)> линейно независимой.

Данная система является линейно зависимой по второму критерию, т.к. третий вектор является линейной комбинацией первых двух:

(1,4,0)=(1,0,0)+2\cdot(0,2,0)

 Литература

Критерии ЛЗ и ЛНЗ

Тест для проверки знаний по теме: «Критерии линейной зависимости и линейной независимости»

Таблица лучших: Критерии ЛЗ и ЛНЗ

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Циклические группы и их подгруппы

Определение

Пусть $(G,\cdot )$ — группа. Если в группе $G$ $\exists g_{0}\in G$, такое, что $\forall g\in G\;\exists n\in \mathbb{Z}\;g=g_{0}^{n}$, то группа называется циклической. $G=<g_{0}>$, где $g_{0}$ — образующий элемент группы.

Примеры:

  1. Группа корней n-ой степени из единицы $U_{n}$ является циклической, а произвольный первообразный корень является порождающим элементом.
  2. Группа целых чисел по сложению $(\mathbb{Z},+)$ циклическая. Её образующими элементами являются числа $\pm 1$.

 Лемма

Каждая подгруппа циклической группы сама циклическая.

Доказательство

Пусть $G=<g_{0}>,\;H\subset G,\;G\neq \left \{1 \right \},\;g_{0}^{n}\in H,\;n\in\mathbb{N}$, n — наименьшее. Любой элемент $g\in H$ можно выразить как $g=g_{0}^{m}$. Представим число $m$ в виде $m=nq+r$, где $0\leq r<n$.
Поэтому $g_{0}^{m}=g_{0}^{nq+r}=q_{0}^{nq}\cdot g_{0}^{r}=(g_{0}^{n})^{q}\cdot q_{0}^{r}\Rightarrow g_{0}^{r}=$$=((g_{0}^{n})^{q})^{-1}\cdot g_{0}^{m}\Rightarrow r=0\Rightarrow m\;\vdots\; n$. Следовательно, $g_{0}^{m}=(g_{0}^{n})^{r}\Rightarrow H=<g_{0}^{n}>$, т.е. подгруппа $H$ — циклическая с образующим элементом $g_{0}^{n}$.

 

Литература

Циклические группы и их подгруппы

Тест на тему «Циклические группы и их подгруппы».

Таблица лучших: Циклические группы и их подгруппы

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных