Вторая теорема Коши о промежуточном значении непрерывных функций

Теорема.
Если функция $f$ непрерывна на отрезке $ [a,b] $, $A=f(a) \neq f(b)=B$ и число $C$ заключено между числами $A$ и $B$, то существует такая точка $c \in [a,b]$, что $f(c)=C$.
Доказательство.
Не нарушая общности будем считать, что $ A = f(a) < f(b) = B $. Рассмотри функцию $h(x)=f(x)-C$, непрерывность на отрезке $ [a,b] $ которой следует из непрерывности функции $f$. Очевидно что $h(a)=A-C<0$ и $h(b)=B-C>0$. Применяем к $h$ первую теорему Коши и находим точку $c$ в которой $h(c)=f(c)-C=0$, то-есть $ f(c)=C $. Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы.
Как мы видим на рисунке изображен график функции $f(x)$(в общем произвольной), непрерывной на отрезке $[a,b]$, где $f(b) < f(a)$, $C$ произвольная точка на отрезке $[f(b),f(a)]$ и прямая $l$ задана формулой $l(x)=C$. Как мы видим, прямая $l$ обязана пересечь кривую $f(x)$ в какой-то точке $M$, лежащей на кривой $f(x)$, между точками $A(a,f(a))$ и $B(b,f(b))$. То-есть существует такое $c\in [a,b]$, что $f(c)=C$.

Замечание 1.
Первую и вторую теоремы Коши объединяют в одну, теорему Коши о промежуточном значении функции. В таком случае, теорема о нулях функции считается частным случаем. В то же время, как видно из доказательства вторая теорема Больцано-Коши является прямым следствием первой. Также теорему Коши о промежуточном значении функции называют теоремой Больцано-Коши о промежуточном значении функции.
Замечание 2.
Теорема Коши о промежуточном значении, применяется в доказательствах. Примеров на эту тему как таковых нету, но мы очень часто пользуемся этой теоремой, даже не замечая этого.
Пример.
Пусть функция $f(x)=x^{2}$ определенна и непрерывна на отрезке $[-2,2]$ .
Посчитаем значение функции в точках : $x=-0,75$, $x=0,25$, $x=1,5$.
Мы знаем что данная функция непрерывна на данном отрезке (в силу того что это полиномиальная функция), а значит, в силу второй теоремы Коши, она принимает все свои промежуточные значения и ее значения в указанных точках равны:
$f(-0,75)=0,5625$, $f(0,25)=0,0625$, $f(1,5)=2,25$.
Литература.

Вторая теорема Коши

Тест на тему: «Вторая теорема Коши»


Таблица лучших: Вторая теорема Коши

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Первая теорема Коши о нулях непрерывной функции

Формулировка:

Если функция непрерывна на сегменте  и на своих концах принимает значение разных знаков, то существует такая точка, принадлежащая этому отрезку, в которой функция обращается в нуль.

Если f \ \in \ C[a,b] и f(a)f(b)<0 , то
\exists c \ \in \ [a,b] : f(c)=0

Доказательство показать

Литература:

Тест:

Первая и вторая теоремы Коши

Тест на тему: «Первая и вторая теорема Коши»

Свойства функций непрерывных в точке

  • Если функция f непрерывна в точке a, то она ограниченна в некоторой окрестности этой точки :
    \exists c>0   \exists U_\delta(a) :
    \forall x \in {U_\delta(a)} : |f(x)| < c
    Следует из свойств пределов.
  • Если функция f непрерывна в точке a и f(a)\neq 0, то в некоторой окрестности точки a знак функции совпадает со знаком числа f(a):
    \exists U_\delta(a) : \forall x \in {U_\delta(a)} \rightarrow sign f(x)=sign f(a)
    Следует из свойств пределов.
  • Если f и g непрерывны в точке a, то функции :
    f \pm g , f*g , \frac{f}{g} непрерывны в точке a.
    Следует из непрерывности и свойств пределов.
  • Если z=f(y) непрерывна в точке y, а y=\varphi(x) , непрерывна в точке x_0 причем y_0=\varphi(x_0) , то в некоторой окрестности x_0 определена сложная функция равная f[\varphi(x)] которая также непрерывна в точке x_0 :
    \left.\begin{matrix}\lim\limits_{y\to y_0}f(y)=f(y_0)  \\ \lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)=\varphi(x_0)\end{matrix}\right\} \Rightarrow \lim\limits_{x\to x_0}f[\varphi(x)]=f[\varphi(x_0)]
    Композиция непрерывных функций также является непрерывной.

Литература:

функции непрерывные в точке

Тест на тему «функции непрерывные в точке»:

Первая теорема Вейерштрасса про ограниченность непрерывной функции

Формулировка:
Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , то $f$ ограниченна на отрезке $[a,b]$.
Если $ f \ \epsilon \ C[a,b] \Rightarrow f $ ограниченна на $[a,b]$, то есть $ \exists\ c>0 \ \forall x \ \epsilon \ [a,b]: \left| f\left( x \right) \right| \leq c $

Доказательство

От противного
Пусть $f$ неограниченна на отрезке $[a,b]$, тогда :

$ \forall c>0 \ \exists x_c \epsilon [a,b] : |f(x_c)|>c $
$c=1\ \exists x_1 \epsilon [a,b] : |f(x_1)|>1 $
$c=2\ \exists x_2 \epsilon [a,b] : |f(x_2)|>2 $
$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots $
$c=n\ \exists x_n \epsilon [a,b] : |f(x_n)|>n $
$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots $

Получим последовательность $ \{x_n\} \subset [a,b] $ , то есть последовательность $ \{x_n\} $ ограниченная
Отсюда по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить подпоследовательность, которая сходится к точке $ \xi $ , то есть

$ lim_{k\to\infty}{{x}_{{n}_{k}}}=\xi $

$ \xi \epsilon [a,b] $ по свойству пределов в форме неравенств

Но по условию функция f непрерывна в точке $ \xi $ и тогда по определению непрерывности точки по Гейне:
$ lim_{k\to\infty}{f({{x}_{{n}_{k}}})}=f(\xi) $
С другой стороны
$ |f({{x}_{{n}_{k}}})| > n_k , n_k \geq k \Rightarrow lim_{k\to\infty}{f({{x}_{{n}_{k}}})}=\infty $
А это противоречит единственности предела
$ \blacksquare $

Замечание:
Если в условии отрезок заменить на интервал, то теорема будет не верна!

Литература:

Тест:

Первая теорема Вейерштрасса

Тест по теме первая теорема Вейерштрасса.