Разбиение на попарно непересекающиеся классы. Примеры

Разбиение на попарно непересекающиеся классы

Пусть A \not = \varnothing , разбиением множества A называется не пустое множество подмножеств A_j \in A, j \in J , такое, что выполняется два условия:
1. \bigcup{} A_j= A, j \in J .
2. A_i \cap A_j= \varnothing , для i \not = j .

 

 

 

 

 

 

Разбиение множества S на классы S_1, S_2, ...,S_6 .

Примеры

Приведем несколько примеров разбиения:

1. Множество четырехугольников A разбито на два класса:
трапеции и прямоугольники. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством A .

2. Множество четырехугольников B разбито на три класса:
квадраты, параллелограммы, прямоугольники. Так как прямоугольник и квадрат — частные случаи параллелограмма, то данные подмножества пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиение множества B не получено.

3. Дано множество прямых C в пространстве, которое разбито на классы по их взаимному расположению: параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством C .

4. Дано множество N , которое можно разделить на два класса: N_1 и N_2 , где N_1 — множество натуральных четных чисел, а N_2 — множество натуральных нечетных чисел.

5. Множество X разбито на три класса: X_1 , X_2 и X_3 . X_1 множество чисел, которые делятся на 2 , X_2 — множество чисел, которые делятся на  3 , X_3 множество чисел, которые делятся на 5 . Но существуют числа, которые могут делится одновременно и на 2 , 3 и 5 . Отсюда следует, что подмножества пересекаются, и разбиение не получено.

Литература:

Разбиение на попарно непересекающиеся классы

Вопросы по изложенной теме

Бинарные отношения на произвольных множествах. Примеры

Бинарные отношения на произвольных множествах.

Пусть заданы множества X и Y, тогда бинарным отношением R из множества X в множество  Y называется подмножество декартова произведения X и Y :

R \subset X \times Y .

Напомним свойства отношений:

... показать

Примеры:

1. Пусть A = \left\{1, 2, 7\right\}, B = \left\{3, 9 \right\}.

Задаем отношения:

R_1 = \left\{(1, 9), (2, 3), (2, 9), (7, 3)\right\} \subset A\times B;

R_2 = \left\{(1, 2), (2, 7), (7, 1), (7, 2), (7, 7)\right\}\subset A\times A;

2. Пусть R\subseteq \mathbb{R} , R=\left\{(x, y)\,|\, 2x \geq 3y \right\}, определить его свойства.

Решение:

— Не является рефлексивным, так как, например, (1,1) \not \in R.

— Не является антирефлексивным, так как, например, (-1, -1) \in R.

— Не является симметричным, так как можно привести контрпример: (5, 1) \in R , а (1, 5)\not\in R.

— Не является антисимметричным, так как нельзя подобрать такие (x, y)\in R и (y, x)\in R, что y= x.

— Не является транзитивным, так как можно привести контрпример:

x=-1, y=-2, z=1, тогда 2x\geq 3y, 2y \geq 3z \Rightarrow 2x\geq 3z , но -2 \leq 3.

3. Пусть R \subseteq \mathbb{N}^2,

R=\left\{(x, y)|\, x~\vdots~y = 0 \right\} ,

определить его свойства.

Решение:

— Является рефлексивным, так как x~\vdots~x = 0 .

— Не является антирефлексивным, так как уже рефлексивно.

— Не является симметричным, так как не обязательно, что y~\vdots ~x = 0 , например,

возьмем пару (10, 2) , 10 делится на 2 , но 2 не делится на 10 .

— Является антисимметричным, так как x~\vdots~y= 0 и y~\vdots~ x =0 , когда x= y .

— Является транзитивным, так как ~x\vdots ~y = 0, y~\vdots ~z= 0 \Rightarrow x~\vdots~ z =0 .

Литература:

Бинарные отношения на произвольных множествах

Тестовые вопросы по изложенному материалу

Операции на множествах. Свойства операций

Операции на множествах

1. Объединение

Объединение двух множеств:

Пусть даны два множества A и B , тогда их объединением называется множество A\cup{} B,  содержащее в себе все элементы
исходных множеств:

A\cup B= \left\{ x\,|\,x \in A \vee x \in B \right\}

Объединение более чем двух множеств:

Пусть дано семейство множеств \left\{\,M_\alpha\,\right\},\,\alpha \in A,  тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

\bigcup_{\alpha\in A}^{}{} M_\alpha = \left\{\,x\,|\,\exists \alpha\in A\, x\in M_\alpha \right\}

Пересечение

Пусть даны два множества A и B , тогда их пересечением называется множество A\cap{} B , которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат двум множествам:

A\cap{} B = \left\{ x\,|\,x \in A \wedge x \in B \right\}

3.Разность

Пусть даны два множества A и B , тогда их разностью называется множество A \setminus B , содержащее в себе элементы A , но не  B :

A \setminus B = \left\{\,x\, \in A\,|\,x\,\not\in B \right\}

4.Симметрическая разность

Пусть даны два множества A и B, тогда их симметрической разностью называется множество A \Delta B , куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)

5.Дополнение

Пусть дано множество A, его  дополнением называется семейство элементов, не принадлежащие данному множеству:
\overline A = \left\{\,x\,|\,x \not\in A \right\}

 Свойства операций

Пусть A,  B, C — произвольные множества, тогда:

1. Операция объединение множеств коммутативна:

A \cup B = B \cup A

2. Операция объединение множеств ассоциативна:

(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)

3. Операция пересечение множеств коммутативна:

A \cap B = B \cap A

4. Операция пересечения множеств ассоциативна:

(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)

5. (A \cup B) \cap C = (A \cap B) \cup (B \cap C)

6. (A \cap B) \cup C = (A \cup B) \cap (B \cup C)

7. C \setminus ( A \cap B) = ( C \setminus A) \cup ( C \setminus B)

8.  C \setminus ( A \cup B) = ( C \setminus A) \cap ( C \setminus B)

9. C \setminus B \setminus C = (A \cap B) \cup ( C \setminus B)

10. A \Delta B = ( A \cup B) \setminus ( A \cap B)

11. Симметрическая разность коммутативна:

A \Delta B = B \Delta A

12. Симметрическая разность ассоциативна:

( A \Delta B) \Delta C = A \Delta ( B \Delta C)

Примеры

1. Пусть A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}, B = \left\{ 4, 5, 6, 7 \right\}, тогда

A \cup B = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \right\}.

2. Пусть A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\} , B = \left\{ 3, 4, 5, 6 \right\}, тогда

A \cap B = \left\{ 3, 4 \right\}.

3. Пусть A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}, B = \left\{ 4, 5, 6, 7 \right\}, тогда

A \setminus B = \left\{ 1, 2, 3 \right\}, B \setminus A = \left\{ 5, 6, 7 \right\}.

4.  Пусть A = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\}, B = \left\{ 3, 4, 5, 6, 7 \right\}, тогда

A \Delta B = \left\{ 1, 2, 6, 7 \right\}.

Литература:

Операции на множествах. Свойства операций.

Тестовые вопросы по выше изложенному материалу