Классификация точек разрыва

 Определение:

Точки в которых функция не является непрерывной называется точкой разрыва.

\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})

Классификация точек разрыва.

Определение:

Если существует конечный предел справа (f(a+0))

\lim_{x\rightarrow a+0}f(x)(=f(a+0)) и\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)(=f(a-0)),

причём f(a-0)=f(a+0)\neq f(a), то точка a  называется точкой устранимого разрыва.(название устранимый, оправдывает себя), его можно устранить изменив значение функций в точке a .

Пример

1) f(x)=sgn^{2}x=\begin{cases}1, & \text{ } x\neq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}

sgn {x}=\begin{cases}1, & \text{ } x> 0\\ 0, & \text{ } x=0 \\ -1, & \text{ } x< 0 \end{cases}

defaul6778t

\lim_{x\rightarrow +0}sgn^{2}x=1\neq 0

точка 0-точка устранимого разрыва.

 

 

 

 

 

2) f(x)=\begin{cases}x\sin \frac{1}{x}, & \text{ } x\neq 0\\ 1, & \text{ } x=0 \end{cases} 

\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{x}_{0}\sin \frac{1}{x}=0\neq 1

x=0 точка устранимого разрыва.

Определение:

Если существуют конечные односторонние пределы

\exists f(a-0)< \infty

\exists f(a+0)< \infty  и   f(a+0)\neq f(a-0), то точка a  называется точкой разрыва первого рода.

Примеры

1) f(x)=sgnx=\begin{cases}1, & \text{ } x> 0\\ 0, & \text{ } x=0 \\ -1, & \text{ } x< 0 \end{cases}

default1

 

 

 

 

 

f(+0)=1< \infty

f(-0)=-1< \infty

2)f(x)=\begin{cases}x^{2}, & \text{ } x> 0 \\ 5, & \text{ } x=0 \\2x-2, & \text{ } x< 0 \end{cases}

Определение:

Точка a  называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода и точкой устранимого разрыва, то есть если хотя бы один из сторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.

Пример

f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x^{2}}, & \text{ } x\neq 0\\ 1, & \text{ } x=0 \end{cases}

f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}, & \text{ } x> 0 \\ 1, & \text{ } x=0 \\ 2x, & \text{ } x< 0 \end{cases}

\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}2x=0
\lim_{x\rightarrow +0}f(x)=\lim_{x\rightarrow +0}\frac{1}{x}=\infty

точка разрыва второго рода.

Рекомендации

 Учебники :

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 «Точки непрерывности и точки разрыва функции» стр.84-87;
  •  Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций»  стр.146-167 ;
  • Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть1, Глава 4, § 8  «Классификация точек разрыва функции» стр.143-145.

Сборники задач:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по амтематическому анализу» 13-еиздание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
  • Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции»  стр.50-58.

"Разрывность функции"

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Таблица лучших: "Разрывность функции"

максимум из 32 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Точки разрыва монотонной функции

Теорема (о разрывах монотонной функции)

Если функция f  определена на отрезке \left ( a,b \right ) и монотонна, то она может иметь внутри этого отрезка, точки разрыва 1-го рода, и число точек либо конечно, либо счётно.

Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы о существовании предела монотонной функции.

Пусть для определёности f(x) не убывает в промежутке X. Возьмём любую точку a\in X, не совпадающую с левым концом X , и рассмотрим ту часть X , которая лежит влево от a . При x\rightarrow a-0, f(x) не убывает и ограничена сверху, поскольку f(x)\leq f(a) при x< a.

В силу теоремы о пределе монотонной функции заключаем, что существует конечный, а согласно свойству функции, имеющей конечный предел , получим, чтоf(a-0)\leq f(a).

Если f(a-0)= f(a), то f(x) непрерывна в точке a слева. Аналогично убеждаемся, что в каждой точкеa\in X, несовпадающей с правым концомX,f(x) либо непрерывна справа, либо имеет конечный пределf(a+0)> f(a). Ход доказательства для невозрастающей на X  функции аналогичен.

Итак, во всякой внутренней точке a  промежутка X  монотонная функция либо имеет точку разрыва первого с конечным скачком f(a+0)- f(a-0), либо непрерывна.

Рекомендации:

 Учебники :

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 «Точки непрерывности и точки разрыва функции» стр.84-87 ;
  • Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрыв функций»  стр.146-167 ;
  • Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 8 «Классификация точек разрыва функции»  стр.143-145.

Сборники задач:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1,§ 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
  • Дороговцев А.Я. «Математический анализ»   Глава 3, § 2 «Непрерывные функции»  стр.50-58 .

"Разрывность функции"

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Таблица лучших: "Разрывность функции"

максимум из 32 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

 

 

Геометрический смысл непрерывности

Выясним, в чём заключается геометрический смысл непрерывности функции f(x). Построим график функции y=f(x) и отметим на нём точку a и точку f(a).

defaul.svg

Геометрический смысл непрерывности состоит в том, что если изменение аргумента x незначительное, x+\delta , то и изменение f(x+\delta) будет незначительным в этой точке.
Т.е., малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции в этой точке. Это можно увидеть на графике.

Рекомендации:

 Учебники :

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ»  Том 1, Глава 1, § 5 «Непрерывность функции в точке» стр.84-89;
  • Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций» стр.146-167;
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 7 «Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций» стр.138-143.

Сборники задач:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
  • Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Определение непрерывности по Коши и по Гейне

 Определение: 

Функция \(f(x)\), называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если  \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})\)

Определение(по Коши):

Функция \(f(x)\), называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если: \(\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0, \forall x\in X,| x-x_{0}|<\delta :|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon\)

Определение (по Гейне):

Функция \(f(x)\), называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если для любой последовательности \(\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }\), \(x_{n}\in X, n\in N\), такого что, \(\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}x_{n}=x_{0}\):

\(\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}f(x_{n})=f(x_{0})\)

Определение:

Функция \(f(x)\) называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f=0\)  , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение:

Функция \(f(x)\) — непрерывна справа, если \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=f(x_{0})\) Функция \(f(x)\) — непрерывна слева, если \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})\) Функция \(f(x)\) называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})\)

Замечание:

Все эти определения непрерывности функции в точке эквивалентны. Кроме того, основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Пример:

1) \(x_{0}\geq 0\) \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt{x}=\sqrt{x_{0}}\)        (\(\sqrt{x}\)- непрерывна на всей области определения)

Докажем:

\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta _{\varepsilon }> 0, \forall x:|x-x_{0}|< \delta \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|< \varepsilon\) \(|\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|= \) \(|\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}})}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}| = \) \(|\frac{x-x_{0}}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}|=\) \(\frac{|x-x_{0}|}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}\leq \frac{|x-x_{0}|}{\sqrt{x_{0}}}<\) \(\frac{\delta }{\sqrt{x_{0}}}<\) \( \varepsilon\) \(0< \delta < \varepsilon \sqrt{x_{0}}\) (\(\delta =\frac{\varepsilon \sqrt{x_{0}}}{2})\)

Рекомендации:

  Учебники :

 Сборники задач:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
  • Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.

Непрерывные функции

Тест проверяет знания по тексту «Непрерывные функции»

 

Таблица лучших: Непрерывные функции

максимум из 24 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Критерий Коши существование предела

7983_201

Огюстен Луи Коши(1789-1857)

Прежде чем  ознакомиться с критерием, вспомним, что значит выражение: «Функция удовлетворяет в точке условию Коши».

Определение:

Будем говорить, что функция f удовлетворяет в точке a, условию Коши, если она определена в некоторой проколотой окрестности  этой точки и \forall \varepsilon > 0,\exists \delta =\delta _{\varepsilon }> 0:\forall {x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f({x}')-f({x}'')|< \varepsilon (где U^{\circ}_{\delta }(a) -проколотая    \delta-окрестсность точки a). 0< |x'-a|< \delta 0< |x''-a|< \delta

Теорема(Критерий Коши):

  Для того чтобы функция f(x) имела конечное передельное значение в точке x=a, необходимо и достаточно, чтобы функция удовлетворяла условию Коши в точке a.

Доказательство

Необходимость

Докажем, что f(x) удовлетворяет в точке x=a условию Коши. Пусть \exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A:\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:\forall x:0< |x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-A|< \frac{\varepsilon }{2} \forall {x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a): |f({x}')-f({x}'')|=|(f({x}')-A)+(A-f({x}''))|\leq |f({x}')-A|+|f({x}'')-A|< \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon

Достаточность:

Предположим, что выполняется условие Коши в точке a . Воспользуемся определением предела функции по Гейне: \lim_{n\rightarrow a}x_{n}=a\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty } f(x_{n})=A. Пусть \left \{ x_{n}\right \}^{\infty } -произведение последовательности \in U_{\delta }^{\circ}(a) и \lim_{n\rightarrow \infty } x_{n}=a . Докажем, чтo \left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1}^{\infty } не зависит от выбранного \left \{ x_{n} \right \}. Согласно условию Коши мы имеем следующее: \forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:{x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f({x}')-f({x}'')|< \varepsilon т.к. \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a( \forall \varepsilon > 0,\exists N _{\varepsilon }:\forall n\geq N _{\varepsilon } :|x_{n}-a|< \varepsilon ) для \delta _{\varepsilon }:\exists N_{\varepsilon }:\forall n\geq N_{\varepsilon }:0< |x_{n}-a|< \delta _{\varepsilon } \forall m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow 0< |x_{m}-a|< \delta _{\varepsilon } x_{n},x_{m}\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon -следует из условия Коши. \forall \varepsilon > 0,\exists N_{\varepsilon }:\forall n,m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon\left \{ f(x_{n}) \right \} фундаментальная\Rightarrow по Критерию Коши \left \{ f(x_{n}) \right \}сходящаяся. Покажем, что все последующие \left \{ f(x_{n}) \right \} будут сходится к одному и тому же числу А. \left \{ f(x_{n}) \right \}\rightarrow A x_{n}\rightarrow a\sim f(x_{n})\rightarrow A {x}'_{n}\rightarrow {a}'\sim f({x}'_{n})\rightarrow {A}' x_{1},{x}'_{1},x_{2},{x}'_{2},...\rightarrow a\sim f(x_{1}),f({x}'_{1}),f(x_{2}),f({x}'_{2}),...\rightarrow A Теорема доказана.

Рекомендации:

Учебники :

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1,Глава 1,§ 4, Тема 4.9 «Критерий Коши существование предела функций» стр.81-84;
  • Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления»  Том 1, Глава 2, § 2 «Предел функции» стр.115-136;
  • Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1,Глава 4, § 2 «Понятие предельного значения функции» стр.103-110.

Сборники задач:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание,исправленное, Отдел 1, § 5 «Предел функции» стр.47-72;
  • Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 2, § 3 «Подполедовательности и частичные пределы.Верхний и нижний пределы последовательности.Фундоментальные последовательности и критерий Коши» стр.38-41.

"Критерий Коши существование предела"

В этом тесте предоставлены вопросы по пройденной теме. Если внимательно изучили материал, следовали всем данным ссылкам и рекомендациям,то вам не составит труда выполнить этот тест.

Таблица лучших: "Критерий Коши существование предела"

максимум из 24 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))