M1452. Общая касательная к касающимся внешним образом окружностям

Условие

Окружности S_1 и S_2 касаются внешним образом в точке F. Прямая l касается S_1 и S_2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная прямой l, касается S_2 в точке C и пересекает S_1 в точках D и E. Докажите, что а) точки A, F и C лежат на одной прямой; б) общая хорда окружностей, описанных около треугольников ABC и BDE, проходит через точку F.

К задаче M1452

Решение а) Первое решение

Так как касательные к окружности S_2 в точках B и C параллельны, то BC — ее диаметр, и ∠BFC=90°. Докажем, что и ∠AFB=90°. Проведем через точку F общую касательную к окружностям, пусть она пересекает прямую l в точке K. Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что треугольники AKF и BKF равнобедренные. Следовательно,
∠AFB=∠AFK+∠KFB=∠FAB+∠FBA=180°/2=90°

Решение а) Второе решение

Рассмотрим гомотетию с центром F и коэффициентом, равным -r_2/r_1, где r_1 и r_2 — радиусы окружностей S_1 и S_2. При этой гомотении S_1 переходит в S_2, а прямая l — касательная к S_1 — переходит в S_2. Следовательно, точка A переходит в точку C, поэтому точка F лежит на отрезке AC.

Решение б)

Ниже мы покажем, что центр окружности BDE находится в точке A. Поскольку центр окружности ABC есть середина AC (∠ABC=90°), а ∠BFC=90° (см. первое решение п. а)), отсюда будет следовать, что BF есть перпендикуляр, опущенный из общей точки окружностей BDE и ABC на прямую, соединяющею их центры. А это и значит, что прямая BF содержит их общую хорду.

Итак, нам достаточно доказать, что AD=AE=AB. Первое из этих равенств очевидно(ибо касательная к S_1 в точке A параллельна DE). Пусть r_1 и r_2 — радиусы S_1 и S_2. Опуская перпендикуляр AP на DE, найдем, что AP=BC=2r_2, и по теореме Пифагора для треугольников APD и O_1PD, где O_1 — центр S_1 PD^2=O_1D^2-O_1P^2=r_1^2-(2r_2-r_1)^2=4r_1r_2-4r_2^2 AD^2=AP^2+PD^2=4r_1r_2

Но легко найти, что общая касательная AB окружностей S_1 и S_2 равна 2\sqrt{r_1r_2}.

А. Калинин, В. Дубровский

Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Определение

Если x_0=0 и существует f^{(n)}(0), то формула Тейлора принимает вид:

(1)

f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}.

Формулу (1) называют формулой Маклорена.

Замечание 1. Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема на интервале (-l, l). Если эта функция является четной, то её производнаянечетная функция, и, наоборот, производная нечетной функции — четная функция.
\triangleПусть f(x) — четная функция, тогда:
f(-x)=f(x), x\in(-a, a).
Дифференцируя это тождество, получаем
-f'(-x)=f'(x), x\in(-a, a).
Это означает, что f'(x) — нечетная функция. Аналогично рассматривается случай, когда f(x) — нечетная функция.\blacktriangle
Отсюда следует, что для нечетной функции f выполняютcя условия f^{(2k)}(0)=0, k\in \mathbb{N}, а для четной функции f — условия f^{(2k-1)}(0)=0, k\in \mathbb{N}, так как любая непрерывная нечетная функция принимает при x=0 значение нуль.
Поэтому формулу (1) для бесконечно дифференцируемой четной функции можно записать в виде:

(2)

f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}x^{2k}+\underset{x\to0}{\circ(x^{2n+1})},

а для нечетной функции — в виде:

(3)

f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}x^{2k+1}+\underset{x\to0}{\circ(x^{2n+2})}.

Разложения основных функций

а) Показательная функция. Если f(x)=e^x, то f(0)=1 и f^{(n)}(0)=1 при любом n. Поэтому формула (1) для функции e^x записывается в виде

(4)

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)},

или

e^x=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}.

б) Гиперболические функции. Так как f(x)=\sinh x — нечетная функция, f^{(2k+1)}(x)=\cosh x, f^{(2k+1)}(0)=1 при k=0, 1, 2,\dots, то по формуле (3) получаем

(5)

\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})},

или

\sinh x=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}.

Аналогично по формуле (2) находим

(6)

\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})},

или

\cosh x=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}.

Замечание 2. Так как \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}, то формулы (5) и (6) можно получить, используя равенство (4) и равенство e^{-x}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^kx^k}{k!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}.

в) Тригонометрические функции. Функция f(x)=\sin x является нечетной,

f^{(2n+1)}(x)=\sin (x+\frac{\pi}{2}(2n+1)),

откуда

f^{(2n+1)}(0)=\sin (\frac{\pi}{2}+\pi n)=\cos\pi n=(-1)^n.

Поэтому по формуле (3) находим

(7)

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})},

или

\sin x=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}.

Аналогично, f(x)=\cos x — четная функция, f^{(2n)}(0)=\cos (\frac{\pi}{2}2n)=(-1)^n, и по формуле (2) получаем

(8)

\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})},

или

\cos x=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}.

Замечание 3.Используя формулу (7)

\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

Для 2 членов разложения: \sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}
Для 3 членов разложения: \sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}
Для 4 членов разложения: \sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}
sin
Как видно по графику, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 4-5 членами ряда.

г) Степенная функция. Пусть f(x)=(1+x)^\alpha, где \alpha \in \mathbb{R}. Тогда f^{(k)}(x)=\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))(1+x)^{\alpha-k}, откуда получаем f^{(k)}(0)=\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1)). Тогда по формуле (1) получим

(9)

(1+x)^\alpha=1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}.

Отметим важные частные случаи формулы (9).

  1. (10)

    \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots+x^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} ,

    или

    \frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^nx^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}.
  2. (11)

    \frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\dots+(-1)^nx^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} ,

    или

    \frac{1}{1+x}=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kx^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}.

д) Логарифмическая функция. Если f(x)=\ln(1+x), то f(0)=0, f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}, f^{(k)}(0)=(-1)^{k-1}(k-1)!, и по формуле (1) находим

(12)

\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} ,

или

\ln(1+x)=\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}.

Заменяя в формуле (12) x на -x, получаем

(13)

\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\dots-\frac{x^n}{n}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} ,

или

\ln(1-x)=-\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}.

Примеры

  1. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки x_0=0 до \circ(x^n) функцию f(x), если f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}:
    Решение показать
  2. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки x_0=0 до \circ(x^n) функцию f(x), если f(x)=\ln\frac{x-5}{x-4}:
    Решение показать
  3. Разложить по формуле Маклорена до \circ(x^{2n+1}) функцию f(x), если f(x)=\cos^4x:
    Решение показать

Литература

Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Тесты для самоконтроля


Таблица лучших: Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

максимум из 90 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных