Зависимость функций

Определение 1.

Пусть на множестве G\subset \mathbb{R}^n заданы непрерывно дифференцируемые функции $$y_{i}=\varphi _{i},\varphi(x),\quad i=1,2,…,m,\quad x=(x_{1},…,x_{n})\in G.$$ 

Функция \varphi _{m} называется зависимой на множестве G от функции \varphi _{1},...,\varphi _{m-1}, если существуют множество D в пространстве \mathbb{R}_{y_{1},...,y_{m-1}}^{m-1} и непрерывно дифференцируемая на множестве D функция \Phi (y_{1},...,y_{m-1}) такие, что в любой точке x\in G выполняются условия (\varphi _{1}(x),...,\varphi _{m-1}(x))\in D и \Phi (\varphi_{1}(x),...,\varphi _{m-1}(x))=\varphi _{m}(x).

Определение 2.

Функция системы называется зависимой на множестве G, если хоть одна функция системы y_{i}=\varphi _{i},i=1,2,...,m, x=(x_{1},...,x_{n})\in G зависит от остальных, в противном случае она независима. 
Ответ на вопрос о зависимости системы функций основную роль играет  матрица Якоби этой системы. $$\frac{\partial (y_{1},…,y_{n})}{\partial (x_{1},…,x{n})},\quad i=1,2,…,m;\quad j=1,2,…,n,$$

Теорема (необходимое условие зависимости функций)

Пусть система функций y_{i}=\varphi _{i},i=1,2,...,m, x=(x_{1},...,x_{n})\in G  зависима на множестве G и m\leq n. Тогда в любой точке этого множества ранг матрицы Якоби меньше m.

Доказательство

По условию теоремы, функция зависима на множестве G, следовательно хоть одна функция системы зависит от остальных ( по определению 2). Пусть \varphi_{m} зависит от \varphi _{m},...,\varphi_{m-1}: $$\varphi _{m}(x)=\Phi (\varphi _{1}(x),…,\varphi _{m-1}(x)),\quad x\in G,$$ где \Phi-непрерывно дифференцируемая функция от (m-1) аргументов y_{1},...,y_{m-1}. Следовательно $$\frac{\partial y_{m}}{\partial x_{j}}=\sum_{i=1}^{m-1}\frac{\partial \Phi }{\partial y_{i}}\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{j}}\ для\ всех\ j=1,2,…,n. $$ Покажем, что m-я строка матрицы Якоби является линейной комбинацией, это будет означать, что ранг матрицы меньше m в каждой точке x\in G.

Следствие 1

Пусть функция системы зависима на множестве G и m=n , тогда якобиан этой системы функции тождественно равен нулю во всех точках множества G.

Следствие 2

Пусть m\leq n и пусть ранг матрицы Якоби хоть в одной точке множества G равен m, тогда система функций независима на множестве G.

Тесты

Зависимость функции

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал.

Таблица лучших: Зависимость функции

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

М1579. Нахождение площади шестиугольника

Задача из журнала «Квант» (1997, №3)

Условие

Пусть  A',B',C',D',E',F' — середины сторон  AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного выпуклого шестиугольника  ABCDEF . Известны площади треугольников  ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB' . Найдите площадь шестиугольника  ABCDEF .
M1579(1)рис.1

Решение

Заметим, что $$S_{ABC’}=(S_{ABC} + S_{ABD}) / 2,$$ поскольку все эти три треугольника имеют общее основание  AB (рис.1) высота  \Delta ABC' равна полусумме высот  \Delta ABC и  \Delta ABD , опущенных на  AB . M1579(2)рис.2

Сложив шесть равенств аналогичных (1), получим, что известная нам сумма S\prime площадей треугольника  ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB' равна сумме { (S }_{ 1 }+{ S }_{ 2 })/2, где S_{1}— сумма площадей шести треугольников  ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB , отрезаемых малыми диагоналями, а S_{2} — сумма площадей треугольников  ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB полученных «циклическим сдвигом» вершин из \triangle ABS.С другой стороны разрезав шестиугольник так, как показано на рисунке 2, и еще двумя аналогичными способами, получающимися из этого разрезанная «циклическим сдвигом» (в том же направлении A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow ...) для площади S шестиугольника получим равенство 3S=S_{1}+S_{2}. От сюда S=2S\prime /3.

Н.Васильев 

Градиент функции и его геометрический смысл

Прежде чем приступать к прочтению данной статьи, я советую ознакомится с темой Производная по направлению

Определение

Градиент можно обозначать через $\mathrm{grad}\,\varphi$, но мы будем обозначать через $\nabla\varphi$ .
$$\nabla\varphi= \left ( \frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y} ,\frac{\partial \varphi }{\partial z}\right )$$

Предположим, что i, j и k— координатные орты , то  $$\nabla\varphi= i\frac{\partial \varphi }{\partial x}+j\frac{\partial \varphi }{\partial y} +k\frac{\partial \varphi }{\partial z}$$ Предположим, что вектор l=(\cos\alpha ,\cos\beta, \cos\gamma ) и является единичным вектором. Теперь мы можем записать формулу для производной функции по направлению вектора l с помощью градиента : $$\frac{\partial \varphi }{\partial l} = \cos\alpha \frac{\partial \varphi }{\partial x} + \cos\beta \frac{\partial \varphi }{\partial y} + \cos\gamma\frac{\partial \varphi }{\partial x} = (l,\nabla\varphi)$$ и как мы говорили ранее, что в l-единственный вектор, следовательно мы имеем$$\frac{\partial \varphi }{\partial l}=\left | \nabla\varphi \right |\cos\delta $$ ($\delta$ — угол образованный вектором l и \nabla\varphi не трудно увидеть из этой формулы, что если в данной точке $$\left |\nabla\varphi \right |^{2}=\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial x} \right )^{2}+\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial y} \right )^{2}+\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial z} \right )^{2}\neq 0.$$

(2)

 В трех мерном пространстве градиент имеет хорошую геометрическую интерпретацию, градиент это вектор в котором производная достигает максимума ,только тогда, когда $\cos\varphi=1$. Теперь понятно, что градиент не зависит от выбора системы координат и определяется самой функцией. Мы можем смело сказать , что если градиент равен нулю в одной декартовой системе координат, то он равен нулю в каждой подобной системе координат. А если градиент не равен нулю то его независимость от выбора декартовой системы координат следует из его геометрического смысла .

Использованная литература:

Тесты

Градиент функции и его геометрический смысл

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Таблица лучших: Градиент функции и его геометрический смысл

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных