Построение ортогональных и ортонормированных систем

Процессом ортогонализации системы векторов a_{1}, a_{2}, ..., a_{s} называется переход от данной системы к системе b_{1}, b_{2}, ..., b_{s}, построенной следующим образом: b_{1}=a_{1}; b_{k}=a_{k}-\sum\limits_{i=1}^{k-1}c_{i}b_{i}  (k=2, 3, ..., s), где c_{i}=\frac{(a_{k}, b_{i})}{(b_{i}, b_{i})}.

Система векторов евклидового пространства называется ортогональной, если все векторы этой системы попарно ортогональны между собой.

Всякая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. Если ортогональная система состоит из ненулевых векторов, то её можно нормировать. Нормированная ортогональная система называется ортонормированной.

Процесс ортогонализации Грама Шмидта :
Данный алгоритм позволяет из множества ЛНЗ (линейно независимых) векторов m_{1}, ..., m_{n} построить множество ортогональных векторов t_{1}, ..., t_{n} или ортонормированных векторов k_{1}, ..., k_{n}, однако при условии, что выполняется данное условие: каждый вектор t_{j} либо же k_{j} выражается линейной комбинацией векторов m_{1}, ..., m_{j}.

Оператором проекции является выражение: pro j_{t}m=\frac{(m, t)}{(t, t)}t, где (m, t) — скалярное произведение вектора m и t.
Процесс Грама Шмидта:

\begin{matrix}t_{1} =m_{1}  &(1) \\ t_{2} =m_{2}-proj_{t_{1}}m_{2}  &(2) \\ t_{3} =m_{3}-proj_{t_{1}}m_{3}-proj_{t_{2}}m_{3}  &(3) \\ t_{4} =m_{4}proj_{t_{1}}m_{4}-proj_{t_{2}}m_{4}-proj_{t_{3}}m_{4} & (4)\\ . &  & \\ .&  & \\ .&  & \\t_{n}=m_{n}-\sum\limits_{j=1}^{n-1}proj_{t_{j}}m_{n} &  (n) \\ \end{matrix}

Элемент k_{j} выражается так: k_{j}=\frac{t_{j}}{\left \| t_{j} \right \|}. Результатом данных преобразований может быть либо система ортогональных векторов t_{1}, ..., t_{n}, либо ортонормированных векторов k_{1}, ..., k_{n}. (База евклидового пространства называется ортонормированной, если она ортогональна, а все её векторы нормированы. Вектор называется нормированным,если его скалярный квадрат равен единице.)

Пример:

Для того, чтобы построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов, нужно применить процесс ортогонализации:

\begin{matrix}(1, 2, 2, -1 )\\ (1, 1, -5, 3)\\ (3, 2, 8, -7)\end{matrix}

Решение:

Дано: m_{1}=(1, 2, 2, -1 ), m_{2}=(1, 1, -5, 3), m_{3}=(3, 2, 8, -7). Вычислить: \begin{Vmatrix}m_{1}\end{Vmatrix}=\sqrt{(m_{1}, m_{1})}=\sqrt{1+4+4+1}=\sqrt{10}. Возьмём такое t_{1}=m_{1};t_{1}=(1, 2, 2,-1). Далее высчитаем: (t_{1}, t_{1})=1+4+4+1=10. Далее положим такое t_{2}=m_{2}-\frac{(m_{2},m_{1})}{(t_{1},t_{1})}t_{1}=(1, 1, -5, 3)-\frac{(1+2-10-3)}{10}(1, 2, 2, -1)=(1, 1,-5, 3)+\frac{10}{10}(1, 2 , 2, -1)=(2, 3, -3, 2)=1\cdot 1+1\cdot 2-5\cdot 2+3\cdot (-1)=10.Аналогично, t_{3}=m_{3}-\frac{(m_{3},t_{2})}{(t_{2},t_{2})}t_{2}-\frac{(m_{3},t_{1})}{(t_{1},t_{1})}t_{1}=(3, 2, 8, -7)+(2, 3, -3, 2)-(3, 6, 6, -3)=
(2, -1, -1,-2), где (m_{3},t_{2})=6+6-24-14=-26,
(t_{2},t_{2})=4+9+9+4=26 и (m_{3}, t_{1})=3+4+16+7=30.

Ответ: (1, 2, 2, -1 ), (2, 3, -3, 2), (2, -1, -1,-2).

t_{n}=m_{n}-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{(m_{n}, t_{i})}{(t_{i},t_{i})}t_{i},

(t_{1},...,t_{n}) — ортогональный базис;

\begin{Bmatrix}\frac{t_{1}}{\begin{Vmatrix}t_{1}\end{Vmatrix}},...,\frac{t_{n}}{\begin{Vmatrix}t_{n}\end{Vmatrix}}\end{Bmatrix} — ортонормированный базис.

Список использованной литературы:

Подведем итоги.

Симметрическая группа

Перестановкой n элементов называется биекция n— элементного множества на себя. Умножение перестановок проводится согласно правилу композиции отображений: (\sigma \tau)=\sigma(\tau (i)), где \sigma, \tau \in S_{n}.

Для \sigma =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\2 & 3 & 4 & 1\end{pmatrix},  \tau =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3& 2 & 1\end{pmatrix} получим:

\sigma \tau=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\2 & 3 & 4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\1 & 4 & 3 & 2\end{pmatrix}, а

\tau\sigma=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3& 4\\2 & 3 & 4 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\3 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix}, следовательно
\sigma\tau\neq\tau\sigma.

Рассмотрим некоторые свойства умножения перестановок, а именно:

  1. ассоциативность, т. е. (\alpha \beta )\gamma =\alpha (\beta \gamma ) \forall \alpha, \beta, \gamma\in S_{n};
  2. наличие единичного элемента e такого, что \pi e=\pi=e\pi, где \pi— произвольная перестановка;
  3. \forall \pi\in S_{n} \exists \pi^{-1}: \pi \pi^{-1}=\pi^{-1}\pi =e .

Отсюда следует определение группы S_{n}:
Множество S_{n}, рассматриваемое вместе с естественной операцией умножения его элементов (композицией перестановок), называется симметрической группой степени n.

Основные свойства S_{n}:

  1. S_{n} — некоммутативна (при n\leq 3);
  2. S_{n} — неразрешима (при  n\geq 5);
  3. S_{n} - разрешима (при n\leq 4);
  4. Порядок симметрической группы перестановок (число элементов) S_{n} равен n!, т. е. |S_{n}|=n!;
  5. Порядок подгруппы группы S_{n}, образованной множеством всех четных перестановок равен (\frac{n}{2})!;
  6. Каждая конечная группа G изоморфна некоторой подгруппе группы S(G) (теорема Кэли).

Рассмотрим симметрическую группу перестановок S_{3}:

e=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\1& 2 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\1& 3 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\2& 1 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\2& 3 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\3& 1 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\3& 2 & 1\end{pmatrix}

Порядок группы |S_{3}|=3!=6.

Пример: Граф Кэли симметрической группы S_{4}.

Список использованной литературы:

Подведение итогов.


Таблица лучших: Симметрическая группа

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных