Геометрическая интерпретация комплексного числа

Задана плоскость. Зададим на ней декартову систему координат.

геометрическая интерпретация комплексного числа

Данная плоскость называется комплексной. Ось x называется вещественной, а ось y — мнимой. На данном рисунке видно, что геометрически комплексное число представляет из себя вектор. Между алгебраической и геометрической интерпретациями комплексного числа существует биекция z=\left(a,b\right)= a+bi \leftrightarrow M\left(a,b\right)

Определение 1

Модулем комплексного числа z=a+bi называется корень разности квадратов его действительной и мнимой частей.
\left|z\right|= \sqrt{a^{2}+b^{2}}=  \sqrt{\left(\mathrm{Re}\ z\right)^{2}-\left(\mathrm{Im}\ z\right)^{2}}, \left|z\right| \geq 0
\left|z\right| = 0 \Leftrightarrow z=0

Определение 2

Расстояние между двумя векторами на комплексной плоскости вычисляется по формуле:
\left|z_{1}-z_{2}\right|= \left|\left(x_{1}+iy_{1}\right)-\left(x_{2}+iy_{2}\right)\right|=  \sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}

Определение 3

Величина угла, который образует вектор, изображающий данное комплексное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа \left(\mathrm{Arg}\ z\right). Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки считается положительным, а по часовой — отрицательным.

аргумент

\mathrm{Arg}\ z = \mathrm{arg}\ z + 2\pi k, k\in\mathbb Z, 0\leq \mathrm{arg}\ z < 2\pi[/latex], где [latex]\mathrm{arg}\ z[/latex] - главное значение аргумента комплексного числа.</p> </div> <div> <h3>Пример 1</h3> <p><b>Задание:</b><br /> Изобразите графически [latex]1\leq \left|z+1-2i\right|< 2[/latex] <b>Решение:</b><br /> [latex]1\leq \left|z+1-2i\right|= \sqrt{\left(x+1\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}<2[/latex] Ответ:
пример 1

Пример 2

Задание:
Изобразите графически \frac{\pi}{6}\leq \mathrm{arg}\ z<\frac{\pi}{3}[/latex] Ответ:
пример 2

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2004, стр. 169-170
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 31-33

Геометрическая интерпретация комплексных чисел (лекции)

Тест на знание темы: «Геометрическая интерпретация комплексных чисел»


Таблица лучших: Геометрическая интерпретация комплексных чисел (лекции)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Понятие абстрактного линейного пространства

Материал лекций по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Задача №1

Рассмотрим задачу, в которой множество над числовым полем является абстрактным линейным пространством.

Условие задачи

Дано множество симметричных матриц S=\{A \in M_{2}\left(\mathbb R \right) \mid \(\ \)A^{t}=A \}. Проверить, является ли данное множество абстрактным линейным пространством над полем \mathbb R?

Решение показать

Теперь рассмотрим задачи, в которых множество над числовым полем не является абстрактным линейным пространством.

Задача №2

Условие задачи

Дано множество F=\{f\left(x\right) \in \mathbb R\left[x\right]\mid \(\ \) \deg f\left(x\right)=n\}. Проверить, является ли данное множество над полем \mathbb R абстрактным линейным пространством?

Решение показать

Задача №3

Условие задачи

Дано множество T=\{f\left(x\right)\in \mathbb R\left[x\right]\mid \(\ \) \deg f\left(x\right)\leqslant n \wedge \(\ \) a_{i}>0, i=\overline{1,n}\}, где a_{i} — коэффициенты при переменных. Проверить, является ли данное множество над полем \mathbb R абстрактным линейным пространством?

Решение показать

Литература:

  1. Лекции Г.С. Белозерова
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 18
  3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука, 1978, стр. 166-174

Абстрактные линейные пространства

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Абстрактные линейные пространства

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Понятие абстрактного линейного пространства. Простейшие следствия из аксиом

Определение

Пусть X\neq \varnothing, \mathbb Pполе. \left(X,\mathbb P \right) называется абстрактным линейным пространством, если выполняются следующие три группы аксиом:

  1. На X задана БАО (бинарная алгебраическая операция) «+», относительно которой \left(X,+ \right)абелева группа.
  2. Задано отображение: \bullet:\mathbb P \times X \rightarrow X такое, что:
    • 1 \cdot x=\(\ \)x, \forall x\in X,
    • \alpha \left(\beta x \right)=\(\ \)\left(\alpha\beta \right)x,\(\ \) \forall x\in X,\(\ \) \forall \alpha, \beta \in \mathbb P.
    • \alpha\left(x_{1}+x_{2} \right)=\(\ \)\alpha x_{1} + \alpha x_{2}, \(\ \)\forall \alpha \in \mathbb P,\(\ \) \forall x_{1}, x_{2} \in X,
    • \left(\alpha + \beta \right)x=\(\ \)\alpha x + \beta x,\(\ \) \mathcal{8} \alpha , \beta \in \mathbb P, \(\ \)\mathcal{8} x \in X.

Элементы поля \mathbb P называются скалярными, а множество X называется носителем векторов.

Следствия из аксиом

  1. \alpha \cdot 0=0, \forall \alpha \in \mathbb P
    Доказательство показать
  2. 0 \cdot x=0, \forall x \in X
    Доказательство показать
  3. \left(-\alpha \right)x=\(\ \)-\left(\alpha x \right), \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X
    Доказательство показать
  4. \left(-1 \right)x=-x, \forall x \in X
    Доказательство показать
  5. \left(\alpha - \beta \right)x=\(\ \)\alpha x - \beta x, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x \in X
    Доказательство показать
  6. \alpha \left(x - y \right)=\(\ \)\alpha x - \alpha y, \forall x,y \in X, \forall \alpha \in \mathbb P
    Доказательство показать
  7. \alpha x=\(\ \)0 \Leftrightarrow \alpha =\(\ \)0 \vee x=\(\ \)0, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X
    Доказательство показать
  8. \alpha x=\(\ \)\alpha y \wedge \alpha \neq 0 \Rightarrow x=\(\ \)y, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x,y \in X
    Доказательство показать
  9. \alpha x=\(\ \)\beta y \wedge x \neq y \Rightarrow \alpha =\(\ \) \beta, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x,y \in X
    Доказательство показать

Примеры:

  1. Пространства направленных отрезков, в частности, V_{1}, V_{2}, V_{3}
  2. \left(X, \mathbb P \right), X = M_{m\times n}\left(\mathbb P \right)
  3. \left(X, \mathbb P \right),X = \mathbb P \left[x \right]
  4. \left(X, \mathbb R \right), X = C_{\left[-1;1 \right]}
  5. \left(\mathbb C, \mathbb R \right), X=\mathbb C, \mathbb P=\mathbb R
  6. \left(\mathbb P, \mathbb P \right), X=\mathbb P, \mathbb P=\mathbb P

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 11-13
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 301

Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Порядок группы

Порядок группы

Пусть \left(G,*\right)группа, если Gконечное множество, то порядком группы называется число элементов G и обозначается \left|G \right| или \mathrm{card} G. Если Gбесконечно, то порядок бесконечен.

Порядок элемента группы

Пусть \left(G,*\right) — произвольная группа и a — некоторый ее элемент. Имеются две возможности:

  1. Все степени элемента a различны, то есть m\neq n \Rightarrow a^{m} \neq a^{n}. В этом случае говорят, что элемент a\in G имеет бесконечный порядок.
  2. Имеются совпадения a^{m}=a^{n} при m\neq n. Если, например, m>n, то a^{m-n}=e, то есть существуют положительные степени элемента a\in G, равные единичному элементу. Пусть q\ - наименьший положительный показатель, для которого a^{q}=e. Тогда говорят, что a — элемент конечного порядка q.

В конечной группе \left(G,*\right) все элементы будут конечного порядка.

Порядок группы с циклическими подгруппами

Пусть \left(G,*\right) — данная группа. Любой ее элемент порождает некоторую циклическую подгруппу. Если \left(G,*\right) — конечная группа, то и все ее циклические подгруппы конечны. Порядок группы \left(G,*\right) делится на порядок ее любой подгруппы, в частности, на порядок любой циклической подгруппы. Этот порядок равен порядку образующего элемента. Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема

Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.

Доказательство показать

Примеры:

  1. Пусть \left(G,+ \right) — группа, где G=\left\{1,2,3,4 \right\}. Найти порядок группы.
    Ответ: \left|G \right|=4
  2. Пусть \left(G,* \right) — группа, где G=\mathbb N. Найти порядок группы.
    Ответ: \left|G \right|=\infty

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 247
  3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 142-143

Порядок группы

Тест для проверки знаний по теме «Порядок группы»

Таблица лучших: Порядок группы

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных