Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

Действия над матрицами

Примеры:

1. Выполнить сложение матриц:
\begin{pmatrix}  1 &0 \\  2& 1  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}  3 &1 \\  4& 5  \end{pmatrix} .
Для сложения матриц нам необходимо каждый элемент первой матрицы сложить с соответствующим элементом из второй:
\begin{pmatrix}  1 &0 \\  2& 1  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}  3 &1 \\  4& 5  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  4 &1 \\  6& 6  \end{pmatrix}.

Следует также отметить, что операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна. Например, пусть даны матрицы A=\begin{pmatrix}  1 &2 \\  1&0  \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}  0 &1 \\  1&1  \end{pmatrix} и C=\begin{pmatrix}  5 &0\\  0&1  \end{pmatrix}. Тогда:

A+B= \begin{pmatrix} 1 &2\\ 1&0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}= B+A= \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 &2\\ 1&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}.

Покажем выполнение ассоциативности сложения матриц:

A+B= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix};
(A+B)+C= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&2 \end{pmatrix}.
B+C= \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 &1 \\ 1&2 \end{pmatrix};
A+(B+C)= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&2 \end{pmatrix}.

Как видим, A+(B+C)=(A+B)+C.

2. Выполнить умножение матрицы на число:
\begin{pmatrix}  a &b \\  c&d  \end{pmatrix} \cdot e.
Для умножения матрицы на число мы умножаем каждый элемент матрицы на данное число:
\begin{pmatrix}  a &b \\  c&d  \end{pmatrix} \cdot e = \begin{pmatrix}  ae &be \\  ce& de  \end{pmatrix}.

Операция умножения матрицы на число ассоциативна, то есть \alpha( \beta A)=( \alpha \beta) A, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{P}. Покажем это на конкретном примере:
Пусть дана матрица A=\begin{pmatrix}  1 &1 \\  1 &1  \end{pmatrix} и \alpha = 3, \beta =2.
Тогда \beta A= \begin{pmatrix} 2 &2 \\ 2 &2 \end{pmatrix};
\alpha ( \beta A)= \begin{pmatrix} 6 &6 \\ 6 &6 \end{pmatrix}.
\alpha \beta =6;
( \alpha \beta) A= \begin{pmatrix} 6 &6 \\ 6 &6 \end{pmatrix}.
Как видим, \alpha( \beta A)=( \alpha \beta) A.

3. Вычислить произведение матриц:
\begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix}.
Для удобства будем называть первую матрицу A а вторую матрицу B. Для начала убедимся, что произведение данных матриц возможно. Даны матрицы размерностей 3 \times 3 и 3 \times 2, следовательно умножение возможно, так как количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Для вычисления первого элемента результирующей матрицы умножим каждый элемент первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы B. Полученные значения сложим. Данную последовательность действий можно проиллюстрировать следующим образом:
Mult
Получим следующее:
\begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 &? \\ ?&? \\ ?&? \end{pmatrix}.
Далее вычисляем первый элемент второго столбца результирующей матрицы. Умножаем все элементы первой строки матрицы A на соответствующие им элементы из второго столбца матрицы B и складываем полученные значения:
\begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 &27 \\ ?&? \\ ?&? \end{pmatrix}.
Для вычисления первого элемента второй строки результирующей матрицы мы будем аналогично умножать элементы второй строки матрицы A на элементы первого столбца матрицы B, складывая результаты:
\begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 &27 \\ 26&? \\ ?&? \end{pmatrix}.
Оставшиеся элементы вычисляются аналогично:
\begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 &27 \\ 26&16 \\ 34&50 \end{pmatrix}.
Отметим, что произведение матриц в общем случае некоммутативно и покажем это на примере.
Пусть даны матрицы A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}.
Тогда A \cdot B= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&3 \\ 0&1 \end{pmatrix}.
B \cdot A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 2&2 \end{pmatrix}.
Как видим, A \cdot B \ne B \cdot A.

4. Возвести матрицу в степень:
\begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}.
Для возведения в степень необходимо данную матрицу умножить саму на себя. Заметим, что возводить в степень можно только квадратные матрицы.
\begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 0 &4 \\ 6&1 &6 \\ 2& 0 &3 \end{pmatrix}.

5. Транспонировать матрицу:
\begin{pmatrix} 1 &2 &0 &1 \\ 0&1 &0 &2 \end{pmatrix}.
Для транспонирования матрицы достаточно записать строки столбцами, а столбцы строками:
\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2&1 \\ 0&0 \\ 1&2 \end{pmatrix}.

Таблица лучших: Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

Тест на тему «Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц».


Источники:

  1. Г. С. Белозеров. Конспект лекций.
  2. В. В. Воеводин «Линейная алгебра» (Издание второе, переработанное и дополненное, 1980г.), стр. 194-197.
  3. А. Г. Курош  «Курс высшей алгебры» (Издание девятое, 1968 г.), стр. 99-102.
  4. И. В. Проскуряков.   «Сборник задач по линейной алгебре» (1984 г.), стр. 112-115.

Общие коммутативный и ассоциативный законы

Теорема (общий ассоциативный закон)

 Формулировка

Пусть на множестве A задана ассоциативная БАО "*". Тогда в «звездном произведении» a_1*a_2*...*a_k, где k\geq 3 результат не зависит от способа расстановки скобок.

Доказательство

Индукция по k:

База: Докажем выполнение теоремы при k=3. Если k=3, то (a_1*a_2)*a_3=a_1*(a_2*a_3).

Предположение: Предположим, что в выражении a_1*a_2*...*a_k  при k \leq n порядок элементов и способ расстановки скобок не влияет на результат вычислений.

Шаг: Докажем для k=n+1:
1\leq l \leq n

\left(a_1*...*a_l \right)*\left(a_{l+1}*...*a_n*a_{n+1} \right)= \left(a_1*...*a_l \right)* [\left(a_{l+1}*...*a_{m} \right)*\left(a_{m+1}*...*a_{n+1} \right)];
a_1*a_2*...*a_l=a,
a_{l+1}*..*a_m=b,
a_{m+1}*..*a_{n+1}=c,
a*\left(b*c \right)=\left(a*b \right)*c, то есть: \left(a_1*...*a_m \right)*\left(a_{m+1}*...*a_{n+1} \right).

Что и требовалось доказать. \blacksquare

Теорема (Общий коммутативный закон)

Формулировка

Пусть на множестве A задана ассоциативная и коммутативная БАО "*", тогда в a_1*a_2*...*a_n, где n \geq2, результат не зависит от расстановки скобок и порядка элементов.

Доказательство

Зафиксируем порядок элементов и рассмотрим выражение: a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}}.
Согласно Общему ассоциативному закону, результат вычисления данного выражения не зависит от способа расстановки скобок. Положим a_{i_j}=a_n. Исходя из коммутативности операции "*",
a_{i_1} * \ldots * a_{i_{j-1}} *(a_n*a_{i_{j+1}})*a_{i_{j+2}}* \ldots *a_{i_n}= a_{i_1} * \ldots * a_{i_{j-1}} *(a_{i_{j+1}}*a_n)*a_{i_{j+2}}* \ldots *a_{i_n}.
Следовательно, не изменяя результата выражения a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}}, без ограничения общности рассуждения будем считать, что a_{i_n}=a_n. Следовательно, продолжая упорядочивание элементов, показываем, что результат вычисления любого выражения вида a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}} равен выражению a_1*a_2*...*a_n. \blacksquare

Таблица лучших: Общие ассоциативный и коммутативный законы

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Общие ассоциативный и коммутативный законы

Тест на знание Общего ассоциативного и Общего коммутативного законов.

Источники:

  1. Г. С. Белозеров.  Конспект лекций по линейной алгебре.
  2. В. В. Воеводин «Линейная алгебра» (Издание второе, переработанное и дополненное, 1980г.), стр. 9-12.
  3. В. В. Воеводин  «Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система Линеал», 2006 г. (стр. 99-102).