M1421

Задача о неравенстве выпуклого четырехугольника

Условие

  1. В выпуклый четырехугольник ABCD, у которого углы при вершинах B и D — прямые, вписан четырехугольник с периметром P (его вершины лежат по одной на сторонах четырехугольника ABCD). Докажите неравенство P \geqslant  2BD
  2. В каких случаях это неравенство превращается в равенство?

Решение

  1. Пусть EFKL — четырехугольник, вписанный в ABCD (см рис.). Обозначим через M и N середины отрезков EF и KL соответсвенно. Мы докажем неравенство задачи в более общем случае : \angle B \geq \frac{\pi}{2} , \angle D \geq \frac{\pi}{2}.
    При этом

    BM \leq  \frac{1}{2}EF , DN \leq\frac{1}{2}KL
    (*)

    Далее, так как \vec{MN }=\frac{1}{2}\left (  \vec{EK} +\vec{FL}\right ) , то

    \left | \vec{MN}  \right | \leq \frac{1}{2}\left ( EK+FL \right ).
    (**)

    Поскольку BM+MN+ND+ND \geq BD.
    получаем из (*), (**) неравенство задачи.

  2. Равенство (*) имеет место, если \angle B=\frac{\pi}{2}, \angle D=\frac{\pi}{2}.
    Неравенство (**) переходит в равенство, если EK||FK||MN. Кроме этого, в случае равенства точки B,M,N,D лежат на одной прямой.
    Из вышесказанного получаем следующий способ построения всех четырехугольников, для которых неравенство задачи превращается в равенство.
    Пусть O - точка пересечения AC и BD, AO \leq OC. Проведем через произвольную точку отрезка AO прямую EK, параллельную BD\left ( E\in AB, K \in AD \right ) . Симметрично отобразив прямую EK относительно BD, получим противоположную сторону FL четырехугольника.

Г. Нерсисян

Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции. Примеры

Ранее мы уже доказали, что для любой интегрируемой на [a,b] функции f интеграл с переменным верхним пределом – непрерывная на [a,b] функция.

Теорема. Пусть функция f интегрируема на [a,b] и непрерывна в точке x_{0} \in [a,b]. Тогда функция F дифференцируема в точке x_{0} и F'(x_{0})=f(x_{0}).

Доказательство.

... показать

Замечание.

... показать

Пример 1.

... показать

Пример 2.

... показать

Литература :

Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции

Этот тест проверит ваши знания касательно темы «дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом»


Таблица лучших: Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение интеграла с переменным верхним пределом

Пусть функция f  интегрируема на отрезке [a,b]. Обозначим

F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt   (x \in [a,b]).

Площадь под графиком f(t) равна значению F(x)
Заштрихованная область под графиком функции f(t) это значение нашей функции F(x) . Легко заметить, если x будет стремиться к b или a то заштрихованная площадь увеличивается или уменьшается соответственно, следовательно и значение функции F(x) также будет изменяться.

По свойству аддитивности интегрируемых функций, f интегрируема на [a,x] для любого x \in [a,b].
Поэтому функция F определена на [a,b]. Заметим, что F(a)=0. Функцию F называют интегралом с переменным верхним пределом.

Нас в дальнейшем будут интересовать две характеристики этой функции, а именно непрерывность и дифференцируемость

Понятие интеграла с переменным верхним приделом нам будет необходимо при выведении основной формулы дифферендицального исчисления.

Литература :

Определение интеграла с переменным верхним пределом

Этот тест проверит ваши знания по теме «Определение интеграла с переменным верхним пределом»


Таблица лучших: Определение интеграла с переменным верхним пределом

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

 

Теорема. Пусть f интегрируема на [a,b] . Тогда функция F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt, x \in [a,b]  непрерывна на [a,b] .

Доказательство.

... показать

 

Литература :

Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

Этот тест проверит ваши знания касательно непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.

Таблица лучших: Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных