Интегрируемость по Риману монотонных функций

Теорема. Если функция f монотонна на отрезке \left[ {a,b} \right], то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Пусть, например, f возрастает. Возьмём произвольное разбиение \Pi . Тогда {\omega _i} = f\left( {{x_{i + 1}}} \right) - f\left( {{x_i}} \right),
поскольку колебание функции является разностью между наибольшим и наименьшим значениями функции. Получим

\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} \le d\left( \Pi \right)} \sum {\left( {f\left( {{x_{i + 1}}} \right) - f\left( {{x_i}} \right)} \right) = d\left( \Pi \right)\left[ {f\left( b \right) - f\left( a \right)} \right]}

.
Отсюда видно, что выполнены условия критерия интегрируемости в терминах колебаний и теорема доказана.\blacksquare

Замечание. Из вышеизложенной теоремы видно, что существуют разрывные интегрируемые функции. В частности, монотонная функция может иметь
разрывы в счётном множестве точек. Поэтому интегрируемая функция может иметь счётное множество точек разрыва.

Пример. Положим f\left( 0 \right) = 0,\;f\left( x \right) = \frac{1}{n}\left( {x \in \left( {\frac{1}{{n + 1}},\frac{1}{n}} \right],\;n = 1,2,...} \right). Ясно, что каждая точка вида \frac{1}{n} является точкой разрыва функции, так что множество точек разрыва функции f счётно.
С другой стороны, поскольку f возрастает на \left[ {0,1} \right], то, по вышеизложенной теореме, она интегрируема на \left[ {0,1} \right].

Интегрируемость на отрезке

В данном тесте будут проверены ваши знания свойств интегрируемости функций на отрезке. Удачи!


Таблица лучших: Интегрируемость на отрезке

максимум из 40 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрируемость по Риману непрерывных функций и кусочно-непрерывных функций

Теорема 1. Если функция f непрерывна на отрезке [a,b] то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. По теореме Кантора функция f равномерно непрерывна на [a,b]. Это означает, что для любого \varepsilon > 0 найдется такое \delta >0,
что для любых точек x', x'' \in [a,b], таких, что \mid x'-x'' \mid < \delta, справедливо
неравенство |f(x')-f(x'')|< \varepsilon . Отсюда следует, что для любого разбиения
\Pi, диаметр которого d(\Pi ) <\delta, справедливо неравенство
{\omega _i} = \mathop {\sup }\limits_{x',x'' \in \left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right]} \left| {f\left( {x'} \right) - f\left( {x''} \right)} \right| \leqslant \varepsilon , \left( {i = 0,1,...,n - 1} \right).
Поэтому
\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} \leqslant \varepsilon \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\Delta {x_i} = \varepsilon \left( {b - a} \right)} } ,
если только d(\Pi ) <\varepsilon. Таким образом, выполнено условие критерия интегрируемости в терминах колебаний и тем самым теорема доказана. \blacksquare

Теорема 2. Если функция f ограничена на отрезке [a,b] и имеет на этом отрезке лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [a,b].

Доказательство. Пусть a_1,..., a_k – точки разрыва. Зададим \varepsilon >0
и для каждой точки разрыва выберем некоторую ее окрестность длины,
меньшей чем \varepsilon. Эти окрестности можно выбрать так, чтобы они попарно не пересекались. Обозначим их \Delta _1,...,\Delta _k. Выбросив эти окрестности
из отрезка [a,b], получим конечный набор отрезков I_1,...,I_k (их количество не обязательно равно k). На каждом из этих отрезков функция
непрерывна и, в силу теоремы Кантора, равномерно непрерывна. Поэтому для каждого отрезка I_j найдется \delta_j>0, такое, что для любой пары
точек x', x'' \in I_j условие |x'-x''|<\delta _j влечет выполнение неравенства
\mid f\left(x' \right)-f\left(x'' \right)\mid < \varepsilon. Положим \delta =min(\delta _1,\delta _2, ..., \delta _m, \varepsilon ).
Пусть теперь \Pi :a=x_0<x_1< ... <x_n=b – произвольное разбиение отрезка [a,b] с диаметром d(\Pi ) <\delta . Рассмотрим сумму
\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} \omega _i\Delta x_i.
Разобьем ее на две суммы. В первую отнесем слагаемые, отвечающие тем
отрезкам [x_i,x_{i+1}], каждый из которых содержится в одном из отрезков
I_j. Для этих отрезков имеем \omega _i\leq \varepsilon , и поэтому для соответствующей суммы справедливо неравенство

\sum\nolimits_{}^/ {{\omega _i}\Delta {x_i}} < \varepsilon \sum\nolimits_{}^/ {\Delta {x_i}} \leqslant \varepsilon \left( {b - a} \right).

Во вторую сумму попадают слагаемые, отвечающие тем отрезкам
[x_i,x_{i+1}], каждый из которых имеет общие точки по крайней мере с одним
из интервалов \Delta _j . Оценим сумму длин этих отрезков. Среди частичных отрезков, имеющих общие точки с \Delta _j, могут быть такие, которые целиком содержатся в \Delta _j . Сумма их длин не превосходит длины интервала
\Delta _j , которая, в свою очередь, не превосходит \varepsilon. Кроме того, могут быть
два отрезка, содержащие концы интервала \Delta _j, сумма их длин не превосходит 2\delta \leq 2\varepsilon . Таким образом, сумма длин всех отрезков, имеющих
общие точки с интервалами \Delta _1...\Delta _k , не превосходит 3k\varepsilon. Обозначим
через \Omega колебание функции f на отрезке [a,b]. Поскольку f ограничена, то \Omega <\propto и \omega _i\leq \Omega (i=0,1,...,n-1). Поэтому для второй суммы
получаем следующую оценку:

\sum\nolimits_{}^{//} {{\omega _i}\Delta {x_i} \leqslant \Omega \sum\nolimits_{}^{//} {\Delta {x_i} \leqslant 3k\Omega \varepsilon } } .

Окончательно,

 \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} \omega _i\Delta x_i =  \sum\nolimits_{}^/ {\omega _i}\Delta x_i + \sum\nolimits_{}^{//} \omega _i\Delta {x_i} \leqslant  \varepsilon \left( {b - a + 3k\Omega } \right) .

Отсюда, в силу критерия интегрируемости в терминах колебаний, вытекает справедливость теоремы. \blacksquare

Пример 1. Функция
f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \sin \frac{1}{x},\;0 < x \leqslant 1, \hfill \\ 0,\;x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.
sin1

ограничена и непрерывна всюду, за исключением одной точки. Следовательно, она интегрируема на отрезке [0,1].

Пример 2. Рассмотрим
f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} sign\;(\sin \frac{1}{x}),\;0 < x \leqslant 1, \hfill \\ 0,\;x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.
У этой функции множество точек разрыва счетно и она не является монотонной. Тем не менее она ограничена, и ее интегрируемость легко доказать, используя критерий Римана и теорему 2. Действительно, зададим
\varepsilon >0 и рассмотрим функцию на отрезке [\varepsilon ,1] . На этом отрезке функция
ограничена и имеет конечное число точек разрыва. В силу теоремы 2, функция интегрируема на [\varepsilon ,1], так что, по критерию Римана, найдется
такое \delta >0, что если только отрезок [\varepsilon ,0] будет разбит на части, длины
которых меньше, чем \delta , то
\sum {{\omega _i}\Delta {x_i} < \varepsilon } .
Можем считать, что \delta <\varepsilon . Если теперь весь отрезок [0,1] разбить на
части, длины которых меньше, чем \delta, то
\sum\nolimits_{}^/ {{\omega _i}\Delta {x_i}}, слагаемых, отвечающих тем отрезкам, которые содержатся целиком в [\varepsilon ,1], меньше, чем \varepsilon.
Далее, сумма длин отрезков \left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right], имеющих общие точки с [0,\varepsilon ], не
превосходит \varepsilon + \delta \leqslant 2\varepsilon. Учитывая, что колебание функции на каждом из
отрезков не превосходит 2, получим
\sum\nolimits_{}^{//} {{\omega _i}\Delta {x_i} \leqslant 2\sum\nolimits_{}^{//} {\Delta {x_i} \leqslant 4\varepsilon } } .
Окончательно,
\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} \leqslant 5\varepsilon } ,
так что, в силу критерия Римана, функция интегрируема на \left[ {0,1} \right].

Литература:

  1. В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу. Часть 1, Одесса, Астропринт, 2009 [стр. 186-189].
  2. Л. Д. Кудрявцев, Курс математического анализа, том первый (стр. 548-551).

Критерии интегрируемости по Риману в терминах колебаний


Определение. Для ограниченной на отрезке \left[ {\alpha ,\beta } \right] функции \varphi число\omega = \sup \left| {\varphi \left( {x'} \right) - \varphi \left( {x''} \right)} \right|, где x',x'' \in \left[ {\alpha ,\beta } \right], называется колебанием функции \varphi на \left[ {\alpha ,\beta } \right]. Обозначим
$$M = {\sup _{\alpha \leqslant x \leqslant \beta }}\varphi \left( x \right)$$ $$m = {\inf _{\alpha \leqslant x \leqslant \beta }}\varphi \left( x \right).$$ Тогда, как легко видеть, \omega  = M - m. Пусть теперь ограниченная функция f задана на отрезке \left[ {a,b} \right]. Тогда для произвольного разбиения \Pi колебание f на \left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right] равно {\omega _i} = {M_i} - {m_i}. Поэтому

{\overline S _\Pi } - {\underline S _\Pi } = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\left( {{M_i} - {m_i}} \right)\Delta {x_i} = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{\omega _i}\Delta {x_i}} } .

Таким образом, равносильная формулировка критерия интегрируемости примет следующий вид.
Теорема (критерий интегрируемости в терминах колебаний). Для того чтобы ограниченная функция f была интегрируемой по Риману на отрезке \left[ {a,b} \right], необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство

\mathop {\lim }\limits_{d(\Pi ) \to 0} \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} = 0} ,

где {\omega _i} – колебание функции f на отрезке \left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right].

Литература

  • В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу. Часть 1, Одесса, Астропринт, 2009 [стр. 85]

Критерии интегрируемости по Риману в терминах сумм Дарбу


Теорема (критерий интегрируемости по Риману).

Пусть функция f ограничена на отрезке \left[ {a,b} \right]. Для того чтобы f была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство \mathop {\lim }\limits_{d\left( \Pi  \right) \to 0} \left( {{{\overline S }_\Pi } - {{\underline S }_\Pi }} \right) = 0. Это равенство означает, что для любого положительного \varepsilon найдется такое положительное \delta , что для каждого разбиения \Pi , диаметр которого d\left( \Pi  \right) < \delta , справедливо неравенство {\overline S _\Pi } - {\underline S _\Pi } < \varepsilon .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f интегрируема, т. е. существует конечный I \equiv \mathop {\lim }\limits_{d\left( \Pi  \right) \to 0} \sigma . Это означает, что для любого \varepsilon  > 0 найдется такое \delta  > 0, что для любого разбиения \Pi с d\left( \Pi  \right) < \delta и при любом выборе промежуточных точек {\xi _i} выполнено неравенство \left| {\sigma  - I} \right| < \varepsilon . Это неравенство можно переписать так: I - \varepsilon  < \delta  < I + \varepsilon . Зафиксируем произвольное разбиение \Pi с d\left( \Pi  \right) < \delta . Поскольку {\overline S _\Pi } – верхняя грань множества всех интегральных сумм \sigma , соответствующих разбиению \Pi , и \sigma  < I + \varepsilon , то {\overline S _\Pi } \le I + \varepsilon . Аналогично получаем {\underline S _\Pi } \ge I - \varepsilon . Таким образом, I - \varepsilon  \le {\underline S _\Pi } \le {\overline S _\Pi } \le I + \varepsilon . Отсюда следует, что {\overline S _\Pi } - {\underline S _\Pi } \le 2\varepsilon , если только d\left( \Pi  \right) < \delta .

Достаточность. Заметим, что для любого разбиения \Pi справедливо неравенство {\underline S _\Pi } \le \underline I  \le \overline I  \le {\overline S _\Pi }. Поскольку, по условию, {\overline S _\Pi } - {\underline S _\Pi } \to 0 при d\left( \Pi  \right) \to 0, то \overline I  = \underline I . Обозначим их общее значение через I. Тогда получим, что для любого разбиения \Pi имеет место неравенство {\underline S _\Pi } \le I \le {\overline S _\Pi }. Но и каждая интегральная сумма \sigma , отвечающая разбиению \Pi , также удовлетворяет неравенству {\underline S _\Pi } \le \sigma  \le {\overline S _\Pi }. Отсюда следует, что \left| {\sigma  - I} \right| \le {\overline S _\Pi } - {\underline S _\Pi }. Поскольку правая часть последнего неравенства стремится к нулю при d\left( \Pi  \right) \to 0, то получаем \mathop {\lim }\limits_{d\left( \Pi  \right) \to 0} \sigma  = I.\blacksquare
Замечание. Из доказательства необходимости видно, что для интегрируемой функции ее верхняя и нижняя суммы Дарбу стремятся к интегралу от функции при стремлении к нулю диаметра разбиения.

Литература

  • В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу. Часть 1, Одесса, Астропринт, 2009 [стр. 184-185]

 

Тест

Этот тест служит проверкой на понимание хода доказательства данной теоремы.

Таблица лучших: Критерий интегрируемости

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных