Равномерная сходимость и дифференцируемость

Теорема

Пусть \left \{ f_{n} \right \} — последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке \left[a;b\right] функций. Предположим, что в некоторой точке x\in \left[a;b\right] числовая последовательность \left \{ f_{n}(x_{0}) \right \} сходится, а функциональная последовательность \left \{ f'_{n} \right \} равномерно сходится на \left[a;b\right]. Тогда исходная последовательность \left \{ f_{n} \right \} равномерно сходится на \left[a;b\right] к непрерывно дифференцируемой функции f, причем для любого x\in \left[a;b\right] справедливо равенство f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x).

Доказательство

... показать

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть на отрезке \left[a;b\right] задана последовательность непрерывно дифференцируемых функций \left \{ u_{n} \right \}, такая, что ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) сходится в некоторой точке x\in \left[a;b\right], а ряд из производных \sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x) сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда исходный ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) равномерно сходится на всем отрезке \left[a;b\right], его сумма является непрерывно дифференцируемой функцией и справедливо равенство \left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )'=\sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x)\; (x\in \left[a;b\right]).

Доказательство

... показать

Теорема

Пусть на отрезке \left[a;b\right] задана последовательность дифференцируемых функций \left \{ f_{n} \right \}, сходящаяся в некоторой точке x\in \left[a;b\right] и такова, что функциональная последовательность \left \{ f'_{n} \right \} сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда последовательность \left \{ f_{n} \right \} равномерно сходится на всем отрезке \left[a;b\right] к некоторой функции f, причем эта функция f дифференцируема на \left[a;b\right] и справедливо равенство $$f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x) \; \; \; \; \; (x\in \left[a;b\right])$$.

Доказательство

... показать

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и дифференцирование»

Равномерная сходимость и интегрирование

Пусть f_{n} — последовательность интегрируемых на отрезке \left[a;b\right] функций, поточечно сходящаяся к функции f. Поставим вопрос об интегрируемости на отрезке \left[a;b\right] предельной функции f и справедливости равенства
$$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$
Следующие примеры показывают, что в общем случае и интегрируемости нет, и равенство не выполняется.

Пример 1

Пусть \left \{ r_{n} \right \}_{n=1}^{\infty } — последовательность всех рациональных точек из отрезка \left[0;1\right]. Выразим:
$$f_{n}(x)=\left\{\begin{matrix}1,&x\in \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \},\\ 0,& x\in \left[0;1\right]\setminus \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \}\end{matrix}\right.$$
Тогда каждая функция f_{n} интегрируема на отрезке \left[0;1\right], потому что она имеет лишь конечное число точек разрыва \left \{ r_{1},\cdots r_{n}\right \}. С другой стороны, видно, что $$\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=D(x)$$ где D — функция Дирихле. Но как известно, функция Дирихле не интегрируема на отрезке \left[0;1\right].
Вывод: мы построили последовательность интегрируемых функций, сходящуюся к неинтегрируемой функции.

Замечание (для рядов)

... показать

Пример 2

Положим f_{n}(0)=f_{n}(\frac{1}{n})=f_{n}(1)=0, f_{n}(\frac{1}{2n})=n, а на отрезках \left[0;\frac{1}{2n}\right], \left[\frac{1}{2n};\frac{1}{n}\right], \left[\frac{1}{n};1\right] функция f_{n} — линейна. Мы видим, что \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=0,\; \forall x\in \left[0;1\right], так что предельная функция f(x)\equiv 0\; (x\in \left[0;1\right]) интегрируема и \int_{0}^{1}f(x)dx=0. С другой стороны, очевидно, что \int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=\frac{1}{2}, поэтому предельный переход под знаком интеграла недопустим.
Вывод: даже если предельная функция интегрируема, то предел интегралов не обязан равняться интегралу от предельной функции.

Замечание (для рядов)

... показать

Вывод (для рядов)

Воспользовавшись этими примерами мы показали, что нельзя почленно интегрировать сходящийся ряд, т.е. равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$
не верно. Потому что сумма поточечно сходящегося ряда из интегрируемых функций может оказаться неинтегрируемой функцией, а если даже сумма ряда будет функцией интегрируемой, то нужное равенство все равно нельзя гарантировать.

Теорема (об интегрировании равномерно сходящейся последовательности)

Пусть последовательность  \left \{ f_{n}(x) \right \} из непрерывных на отрезке \left[a;b\right ] функций, равномерно сходится к f(x) на этом отрезке. Тогда существует $$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$

Доказательство

... показать

Следствие (об интегрировании равномерно сходящегося ряда)

Пусть \left \{ u_{n} \right \} — последовательность непрерывных на отрезке \left[a;b\right] функций такова, что ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда справедливо равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$

Доказательство

... показать
Следующая теорема является обобщением всех теорем об интегрировании равномерно сходящейся последовательности.

Теорема

Пусть \left\{f_{n}\right\} — последовательность интегрируемых на отрезке \left[a;b\right] функций, равномерно сходящаяся на этом отрезке к функции f. Тогда предельная функция f интегрируема на \left[a;b\right] и справедливо равенство $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$$

Доказательство

... показать

Тесты

равномерная сходимость и интегрирование

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и интегрирование»

M1443. О периодичности некоторой бесконечной последовательности

Задача из журнала «Квант» (1994, №4)

Условие

Бесконечная последовательность чисел x_{n} определяется условиями:x_{n+1}=1-\left | 1-2x_{n} \right |, причем 0\leq x_{1}\leq 1.

  1. Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, если x_{1} рационально.
  2. Сколько существует значений x_{1}, для которых эта последовательность — периодическая с периодом T ( для каждого T = 2, 3 \cdots )?

Решение

Положим f(x)=1-\left | 1-2x \right |, f_{n}(x)=\overset{n}{\overbrace{f((\cdots(f}}(x))\cdots)).

Пусть x_{1} — рациональное число (несократимая дробь вида p/q, где q=2^{m}(2r-1), m и r целые, m\geq 0). Тогда f(x_{1}) — тоже рациональное, причем его знаменатель не больше, чем у x_{1} (точнее, он тот же, если m=0, и вдвое меньше, если m>0), причем если 0\leq x_{1}<1, то 0\leq f(x_{1})\leq 1. Точно так же, числа f_{n}(x_{1}) будут рациональными, со знаменателем не больше, чем у x_{1}, и лежащими на отрезке \left [ 0,1 \right ]. Но таких чисел конечное число, и значит, среди них встретятся одинаковые:

f_{n}(x_{1})=f_{n+T}(x_{1}) при некоторых n и T, так что последовательность f_{n}(x_{1}), начиная с некоторого n, — периодическая.

Докажем обратное утверждение. Заметим, что функция y=f(x) на  каждом из отрезков \left[0;\frac{1}{2}\right] и \left[\frac{1}{2};1\right] — линейная:
y=2x при 0\leq x\leq \frac{1}{2}, y=2-2x при \frac{1}{2}\leq x\leq 1.

Точно так же, функции y=f_{n}(x) на каждом из отрезков \left[\frac{k}{2^{n}};\frac{k+1}{2^{n}}\right] — линейная (причем f_{n}(x)=a_{n}x+b_{n}, где a_{n}, b_{n} — целые, a_{n}=\pm 2^{n}); графики функций y=f(x), y=f_{2}(x), y=f_{3}(x) показаны на рисунке:

1picture

Поэтому если точка x порождает «периодическую траекторию»: f_{T}(x)=x при некотором T\geq 1, то x —  корень уравнения x=a_{T}x+b_{T}, т.е. число рациональное. Остается еще заметить, что любое y, 0\leq y< 1, имеет 2^{n} «прообразов» при отображении x\rightarrow f_{n}(x), т.е. уравнение f_{n}(x)=y имеет 2^{n} решений, причем если y — рациональное, то и все эти решения рациональные. Поэтому если y=f_{n}(x_{1})=f_{n+T}(x_{1}) для некоторого x_{1} (т.е. y порождает периодическую траекторию), то и y, и x_{1} — рациональны.

Тем самым, оба утверждения первого пункта доказаны. Что касается второго пункта, как он поставлен в условии задачи, — ответ на него очень прост: таких точек бесконечно много для каждого T. В самом деле, существует (для каждого T=2,3,\cdots) по крайней мере одна точка периода ровно T : это, в частности, «последняя» точка пересечения отрезка x=y, 0\leq x< 1, с графиком y=f_{n}(x): x_{T}=2^{T}/(2^{T}+1). (Ясно, что при k<T все решения уравнения x=f_{k}(x) меньше x_{T}.) Тогда, взяв в роли x_{1}, любой из 2^{n} прообразов x_{T} при отображении x\rightarrow f_{n}(x) (лишь один из них входит в «периодическую траекторию» порождаемую x_{T}), мы получим последовательность, которая, начиная с некоторого места, — периодическая с периодом T.

Более интересный вопрос: сколько существует периодических траекторий каждого периода T ( или, что почти тоже самое, — точек x, для которых x=f_{T}(x) и при этом x\neq f_{k}(x) при k<T )? Мы предлагаем читателям подумать над этим и постараемся вернуться к этой теме, получив ваши ответы.
Н.Васильев