Теорема
Пусть — последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке
функций. Предположим, что в некоторой точке
числовая последовательность
сходится, а функциональная последовательность
равномерно сходится на
. Тогда исходная последовательность
равномерно сходится на
к непрерывно дифференцируемой функции
, причем для любого
справедливо равенство
.
Доказательство
... | ^Cпоказать> |
---|---|
Обозначим (последнее равенство справедливо в силу формулы Ньютона-Лейбница). По условию теоремы существует Второе слагаемое справа мало при достаточно больших Теперь остается учесть, что последовательность |
Теорема (о почленном дифференцировании ряда)
Пусть на отрезке задана последовательность непрерывно дифференцируемых функций
, такая, что ряд
сходится в некоторой точке
, а ряд из производных
сходится равномерно на
. Тогда исходный ряд
равномерно сходится на всем отрезке
, его сумма является непрерывно дифференцируемой функцией и справедливо равенство
.
Доказательство
Теорема
Пусть на отрезке задана последовательность дифференцируемых функций
, сходящаяся в некоторой точке
и такова, что функциональная последовательность
сходится равномерно на
. Тогда последовательность
равномерно сходится на всем отрезке
к некоторой функции
, причем эта функция
дифференцируема на
и справедливо равенство $$f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x) \; \; \; \; \; (x\in \left[a;b\right])$$.
Доказательство
... | ^Cпоказать> |
---|---|
Зададим Обозначим Отсюда следует, что $$\left | f_{n}(x)-f_{m}(x) \right |=\left | \varphi _{n,m}(x) \right |\leq \left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |+\left | \varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |+\left | f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0}) \right |$$ Из этого неравенства видно, что последовательность Это неравенство можем переписать так: $$\left | \frac{f_{n}(x+h)-f_{n}(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon $$ Устремим Зафиксируем Тогда получим, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'_{m}(x) \right |< 2\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$ Если в неравенстве Это означает, что существует $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x) \; \; \; \; \; \; (x \in \left[a;b\right])$$ . |
Литература
Тесты
Равномерная сходимость и дифференцируемость
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Информация
Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и дифференцирование»
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
- Нет рубрики 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 5
1.
Найти сумму ряда $$\sum_{n=1}^{\infty}n{x}^{n-1}$$
Правильно
Неправильно
-
Задание 2 из 5
2.
Найти область определения функционального ряда $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+x^2}$$ и узнать, равномерно ли он сходится. (несколько правильных ответов)
Правильно
Неправильно
-
Задание 3 из 5
3.
Расставить в правильном порядке исследование функционального ряда $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+x^2}$$ на равномерную сходимость.
-
$$\left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right |=\left | \frac{n+x^{2}}{(n+1)+x^{2}} \right |< 1 \; \; \; \; \; E=\mathbb{R}$$
-
$$f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}\cdot 2x}{(n+x^{2})^{2}}$$
-
$$\left | a_{n} \right |=\frac{2x}{(n+x)^{2}}\sim \frac{2x}{n^{2}}$$ сходится в каждой точке
-
$$\left ( \frac{2x}{(n+x^{2})^{2}} \right )'=\frac{2(n+x^{2})^{2}-8x^{2}(n+x^{2})}{(n+x^{2})^{4}}=\frac{2n-6x^{2}}{(n+x^{2})^{3}}$$
-
$$2n-6x^{2}=0\;\Rightarrow x=\sqrt{\frac{n}{3}}$$
-
$$\frac{2\sqrt{\frac{n}{3}}}{(\frac{4n}{3})^{2}}=\frac{18}{16\sqrt{3}n^{\frac{3}{2}}}$$ сходится равномерно для всех x.
-
Поскольку ряд из производных сходится равномерно, то по теореме о дифференцировании, наш исходный ряд можно дифференцировать почленно.
Правильно
Неправильно
-
-
Задание 4 из 5
4.
Имеем ли мы право утверждать, что равенство $$\left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )’=\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}'(x)$$ справедливо, если доказано лишь то, что каждая функция из функционального ряда дифференцируема?
(да/нет)- (нет)
Правильно
Неправильно
-
Задание 5 из 5
5.
Для каждой функциональной последовательности или ряда указать промежутки равномерной сходимости
Элементы сортировки
- $$[0;1]$$
- $$\left[0;+\infty \right]$$
- $$\mathbb{R}$$
- $$[0;2]$$
-
$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{n}}{3n+5}}$$
-
$$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{(x+2)(x+3)}-...$$
-
$$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+x^2}$$
-
$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sqrt{x+1}\cos{nx}}{\sqrt[3]{n^{4}+2}}}$$
Правильно
Неправильно
Поделиться ссылкой:
- Нажмите здесь, чтобы поделиться контентом на Facebook. (Открывается в новом окне)
- Нажмите, чтобы поделиться на LinkedIn (Открывается в новом окне)
- Нажмите, чтобы поделиться на Twitter (Открывается в новом окне)
- Нажмите, чтобы поделиться на Reddit (Открывается в новом окне)
- Нажмите для печати (Открывается в новом окне)