Равномерная сходимость и дифференцируемость

Теорема

Пусть $\left \{ f_{n} \right \}$ — последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке $\left[a;b\right]$ функций. Предположим, что в некоторой точке $x\in \left[a;b\right]$ числовая последовательность $\left \{ f_{n}(x_{0}) \right \}$ сходится, а функциональная последовательность $\left \{ f'_{n} \right \}$ равномерно сходится на $\left[a;b\right]$ . Тогда исходная последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ равномерно сходится на $\left[a;b\right]$ к непрерывно дифференцируемой функции $f$ , причем для любого $x\in \left[a;b\right]$ справедливо равенство $f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x)$ .

Доказательство

...	^C показать
Обозначим $\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x)$ . По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций получаем, что функция $\varphi$ непрерывна на $\left[a;b\right]$ . Положим $g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt$ . Применим на отрезке с концами $x_{0}$ и $x$ теорему о предельном переходе под знаком интеграла к последовательности $\left \{ f'_{n}(t) \right \}$ . Тогда получим $g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{x_{0}}^{x}f'_{n}(t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))$ (последнее равенство справедливо в силу формулы Ньютона-Лейбница). По условию теоремы существует $\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x_{0})$ . Тогда из равенства $g(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))$ следует, что существует и $\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ , т.е. мы показали, что последовательность $\left \{ f_{n}(x) \right \}$ сходится на $\left[a;b\right]$ . Обозначим $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ и получим, что $g(x)=f(x)-f(x_{0})$ , а так как функция $g$ дифференцируема (как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции $\varphi$ ) и $g'(x)=\varphi (x)$ (в силу формулы Ньютона-Лейбница), то отсюда следует, что функция $f$ также дифференцируема и $f'(x)=\varphi (x)$ , т.е. функция $f$ имеет производную, эта производная непрерывна и справедливо равенство $f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x)$ . Осталось показать, что последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ сходится к функции $f$ равномерно на $\left[a;b\right]$ . Имеем $\left \| f_{n}(x)-f(x) \right \|\leq \left \| (f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))-(f(x)-f(x_{0})) \right \|+\left \| f_{n} (x_{0})-f(x_{0})\right \|$ . Второе слагаемое справа мало при достаточно больших $n$ , а первое оцениваем так: $\left \| \int_{x_{0}}^{x}f'_{n}(t)dt-\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt \right \|=\left \| \int_{x_{0}}^{x}(f'_{n}(t)-\varphi (t))dt \right \|\leq \int_{a}^{b}\left \| f'_{n}(t)-\varphi (t) \right \|dt$ . Теперь остается учесть, что последовательность $\left \{ f'_{n} \right \}$ сходится к функции $\varphi$ равномерно на $\left[a;b\right]$ , и тем самым завершается доказательство теоремы.

...

показать

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть на отрезке $\left[a;b\right]$ задана последовательность непрерывно дифференцируемых функций $\left \{ u_{n} \right \}$ , такая, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ сходится в некоторой точке $x\in \left[a;b\right]$ , а ряд из производных $\sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x)$ сходится равномерно на $\left[a;b\right]$ . Тогда исходный ряд $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ равномерно сходится на всем отрезке $\left[a;b\right]$ , его сумма является непрерывно дифференцируемой функцией и справедливо равенство $\left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )'=\sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x)\; (x\in \left[a;b\right])$ .

Доказательство

...	^C показать
Для доказательства этой теоремы достаточно применить предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ .

Теорема

Пусть на отрезке $\left[a;b\right]$ задана последовательность дифференцируемых функций $\left \{ f_{n} \right \}$ , сходящаяся в некоторой точке $x\in \left[a;b\right]$ и такова, что функциональная последовательность $\left \{ f'_{n} \right \}$ сходится равномерно на $\left[a;b\right]$ . Тогда последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ равномерно сходится на всем отрезке $\left[a;b\right]$ к некоторой функции $f$ , причем эта функция $f$ дифференцируема на $\left[a;b\right]$ и справедливо равенство $$f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x) \; \; \; \; \; (x\in \left[a;b\right])$$.

Доказательство

...	^C показать
Зададим $\varepsilon > 0$ . По критерию Коши, в силу равномерной сходимости последовательности $\left \{ f'_{n} \right \}$ , существует такой номер $N$ , что для всех $n, m\geq N$ и для любого $x\in \left[a;b\right]$ справедливо неравенство $$\left \| f’_{n}(x)-f’_{m}(x) \right \|< \varepsilon$$ Обозначим $\varphi _{n, m}(x)=f_{n}(x)-f_{m}(x)$ . Тогда $\left \| \varphi {}'_{n,m}(x) \right \|< \varepsilon$ и, в силу формулы Лагранжа, $$\left \| \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right \|\leq \left \| \varphi {}'_{n,m}(\xi ) \right \|\cdot \left \| x-x_{0} \right \|\leq \varepsilon \left \| x-x_{0} \right \|$$ Отсюда следует, что $$\left \| f_{n}(x)-f_{m}(x) \right \|=\left \| \varphi _{n,m}(x) \right \|\leq \left \| \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right \|+\left \| \varphi _{n,m}(x_{0}) \right \|\leq \varepsilon \left \| x-x_{0} \right \|+\left \| f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0}) \right \|$$ Из этого неравенства видно, что последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ удовлетворяет условию критерия Коши, а значит, она равномерно сходится. Обозначим $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ . Далее, для $n,m\geq N$ имеем $$\left \| \varphi _{n,m}(x+h)-\varphi _{n,m}(x) \right \|\leq \varepsilon \left \| h \right \|\; \; \; \; \; (x, x+h\in \left [ a,b \right ])$$ Это неравенство можем переписать так: $$\left \| \frac{f_{n}(x+h)-f_{n}(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right \|\leq \varepsilon $$ Устремим $n\rightarrow \infty$ и тогда получим $$\left \| \frac{f(x+h)-f(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right \|\leq \varepsilon \; \; \; \; \; (m\geq N)$$ Зафиксируем $m\geq N$ и найдем такое $\delta >0$ , что для всех $h$ , удовлетворяющих условию $0< \left \| h \right \|< \delta$ , справедливо неравенство $$\left \| \frac{f_{m}(x+b)-f_{m}(x)}{h} -f{}'_{m}(x)\right \|< \varepsilon $$ Тогда получим, что $$\left \| \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'_{m}(x) \right \|< 2\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left \| h \right \|< \delta)$$ Если в неравенстве $\left \| f'_{n}(x)-f'_{m}(x) \right \|< \varepsilon$ ( $n, m\geq N$ ) перейдем к пределу при $n\rightarrow \infty$ (как уже доказано, он существует), то получим $$\left \| \varphi (x)-f'_{m}(x) \right \|\leq \varepsilon$$ где обозначено $\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x)$ . Отсюда следует, что $$\left \| \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\varphi(x) \right \|< 3\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left \| h \right \|< \delta)$$ Это означает, что существует $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x) \; \; \; \; \; \; (x \in \left[a;b\right])$$ .

...

показать

Литература

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и дифференцирование»

Равномерная сходимость и интегрирование

Пусть $f_{n}$ — последовательность интегрируемых на отрезке $\left[a;b\right]$ функций, поточечно сходящаяся к функции $f$ . Поставим вопрос об интегрируемости на отрезке $\left[a;b\right]$ предельной функции $f$ и справедливости равенства
$$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$
Следующие примеры показывают, что в общем случае и интегрируемости нет, и равенство не выполняется.

Пример 1

Пусть $\left \{ r_{n} \right \}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность всех рациональных точек из отрезка $\left[0;1\right]$ . Выразим:
$$f_{n}(x)=\left\{\begin{matrix}1,&x\in \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \},\\ 0,& x\in \left[0;1\right]\setminus \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \}\end{matrix}\right.$$
Тогда каждая функция $f_{n}$ интегрируема на отрезке $\left[0;1\right]$ , потому что она имеет лишь конечное число точек разрыва $\left \{ r_{1},\cdots r_{n}\right \}$ . С другой стороны, видно, что $$\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=D(x)$$ где D — функция Дирихле. Но как известно, функция Дирихле не интегрируема на отрезке $\left[0;1\right]$ .
Вывод: мы построили последовательность интегрируемых функций, сходящуюся к неинтегрируемой функции.

Замечание (для рядов)

...	^C показать
Из примера 1 легко получить пример, который показывает, что сумма функционального ряда, слагаемые которого интегрируемы, не обязана быть интегрируемой. Действительно, положим $u_{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)$ , $u_{1}(x)=f_{1}(x)$ , $u_{2}(x)=f_{2}(x)-f_{1}(x)$ . Частичные суммы ряда $s_{n}(x)=f_{n}(x)$ . И $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=f(x)$ .

...

показать

Пример 2

Положим $f_{n}(0)=f_{n}(\frac{1}{n})=f_{n}(1)=0, f_{n}(\frac{1}{2n})=n$ , а на отрезках $\left[0;\frac{1}{2n}\right], \left[\frac{1}{2n};\frac{1}{n}\right], \left[\frac{1}{n};1\right]$ функция $f_{n}$ — линейна. Мы видим, что $\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=0,\; \forall x\in \left[0;1\right]$ , так что предельная функция $f(x)\equiv 0\; (x\in \left[0;1\right])$ интегрируема и $\int_{0}^{1}f(x)dx=0$ . С другой стороны, очевидно, что $\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=\frac{1}{2}$ , поэтому предельный переход под знаком интеграла недопустим.
Вывод: даже если предельная функция интегрируема, то предел интегралов не обязан равняться интегралу от предельной функции.

Замечание (для рядов)

...	^C показать
Пример 2 позволяет построить ряд из интегрируемых функций такой, что предельная функция интегрирума, но равенство не выполняется.

Вывод (для рядов)

Воспользовавшись этими примерами мы показали, что нельзя почленно интегрировать сходящийся ряд, т.е. равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$
не верно. Потому что сумма поточечно сходящегося ряда из интегрируемых функций может оказаться неинтегрируемой функцией, а если даже сумма ряда будет функцией интегрируемой, то нужное равенство все равно нельзя гарантировать.

Теорема (об интегрировании равномерно сходящейся последовательности)

Пусть последовательность $\left \{ f_{n}(x) \right \}$ из непрерывных на отрезке $\left[a;b\right ]$ функций, равномерно сходится к $f(x)$ на этом отрезке. Тогда существует $$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$

Доказательство

...	^C показать
По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций: f(x) – непрерывна на [a, b], а значит и интегрируема на этом отрезке. Воспользуемся определением равномерной сходимости: $\forall \varepsilon > 0 \; \exists N \; \forall n\geq N$ и $\forall x\in \left [ a, b \right ]$ справедливо неравенство $\left \| f_{n}(x)-f(x) \right \|< \frac{\varepsilon }{b-a}$ . Проинтегрировав это неравенство, получаем, что при всех $n\geq N : \left \| \int_{a}^{b}f_{n}(x)dx - \int_{a}^{b}f(x)dx \right \|\leq \int_{a}^{b}\left \| f_{n}(x)-f(x) \right \|dx< \frac{\varepsilon }{b-a}\left ( b-a \right )=\varepsilon$ Теорема доказана.

...

показать

Следствие (об интегрировании равномерно сходящегося ряда)

Пусть $\left \{ u_{n} \right \}$ — последовательность непрерывных на отрезке $\left[a;b\right]$ функций такова, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ сходится равномерно на $\left[a;b\right]$ . Тогда справедливо равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$

Доказательство

...	^C показать
Действительно, функции $f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}u_{k}(x)$ непрерывны как суммы конечного числа непрерывных функций $u_{k}$ , и последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ сходится к функции $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ равномерно на $\left[a;b\right]$ . Тогда, по предыдущей теореме, $$\sum_{k=1}^{n}\int\limits_{a}^{b}u_{k}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}\sum_{k=1}^{n}u_{k}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx\rightarrow \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx.$$

...

показать

Следующая теорема является обобщением всех теорем об интегрировании равномерно сходящейся последовательности.

Теорема

Пусть $\left\{f_{n}\right\}$ — последовательность интегрируемых на отрезке $\left[a;b\right]$ функций, равномерно сходящаяся на этом отрезке к функции $f$ . Тогда предельная функция $f$ интегрируема на $\left[a;b\right]$ и справедливо равенство $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$$

Доказательство

...	^C показать
Оно проводится также, как в предыдущей теореме, при условии, что $\int_{a}^{b}f(x)dx$ существует. Поэтому достаточно доказать лишь интегрируемость на $\left[a;b\right]$ функции $f$ . Для этого воспользуемся критерием интегрируемости в терминах колебаний, согласно которому функция $f$ интегрируема на $\left[a;b\right]$ тогда и только тогда, когда $\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0, \forall \prod$ — разбиения отрезка $\left[a;b\right]$ , диаметр которого $d\left ( \prod \right )< \delta$ , справедливо неравенство $$\sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f)\Delta x_{i}< \varepsilon$$ где $\omega _{i}(f)$ — колебания функции $f$ частичных отрезках $\left[x_{i};x_{i+1}\right]$ . Зададим $\varepsilon > 0$ и, пользуясь равномерной сходимостью последовательности $\left \{ f_{n} \right \}$ , найдем такое N, что $\forall n\geq N,\; \forall x\in \left [ a;b \right ]$ справедливо неравенство $\left \| f_{n}(x)-f(x) \right \|< \varepsilon$ . Если $\forall n\geq N$ , то $$\left \| f(x’)-f(x») \right \|\leq \left \| f(x’)-f_{n}(x») \right \|+\left \| f_{n}(x’)-f_{n}(x») \right \|+\left \| f_{n}(x»)-f(x») \right \|< \left \| f_{n}(x’)-f_{n}(x») \right \|+2\varepsilon$$ Отсюда следует, что при любом разбиении $\omega _{i}(f)\leq \omega _{i}(f_{n})+2\varepsilon$ , так что $$\sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f)\Delta x_{i}\leq \sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f_{n})\Delta x_{i}+2\varepsilon \left ( b-a \right )$$ Первое слагаемое справа мало в силу интегрируемости $f_{n}$ , т.е. $\exists \delta > 0, \; \forall \prod ,\; d(\prod )< \delta$ , первое слагаемое справа будет меньшим, чем $\varepsilon$ . Поэтому, в силу критерия интегрируемости в терминах колебаний, получаем, что функция $f$ интегрируема на $\left[a;b\right]$ .

...

показать

Литература

Тесты

равномерная сходимость и интегрирование

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и интегрирование»

M1443. О периодичности некоторой бесконечной последовательности

Задача из журнала «Квант» (1994, №4)

Условие

Бесконечная последовательность чисел $x_{n}$ определяется условиями: $x_{n+1}=1-\left | 1-2x_{n} \right |$ , причем $0\leq x_{1}\leq 1$ .

Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, если $x_{1}$ рационально.
Сколько существует значений $x_{1}$ , для которых эта последовательность — периодическая с периодом T ( для каждого T = 2, 3 $\cdots$ )?

Решение

Положим $f(x)=1-\left | 1-2x \right |$ , $f_{n}(x)=\overset{n}{\overbrace{f((\cdots(f}}(x))\cdots))$ .

Пусть $x_{1}$ — рациональное число (несократимая дробь вида p/q, где $q=2^{m}(2r-1)$ , m и r целые, $m\geq 0$ ). Тогда $f(x_{1})$ — тоже рациональное, причем его знаменатель не больше, чем у $x_{1}$ (точнее, он тот же, если m=0, и вдвое меньше, если m>0), причем если $0\leq x_{1}<1$ , то $0\leq f(x_{1})\leq 1$ . Точно так же, числа $f_{n}(x_{1})$ будут рациональными, со знаменателем не больше, чем у $x_{1}$ , и лежащими на отрезке $\left [ 0,1 \right ]$ . Но таких чисел конечное число, и значит, среди них встретятся одинаковые:

$f_{n}(x_{1})=f_{n+T}(x_{1})$ при некоторых n и T, так что последовательность $f_{n}(x_{1})$ , начиная с некоторого n, — периодическая.

Докажем обратное утверждение. Заметим, что функция y=f(x) на каждом из отрезков $\left[0;\frac{1}{2}\right]$ и $\left[\frac{1}{2};1\right]$ — линейная:
$y=2x$ при $0\leq x\leq \frac{1}{2}$ , $y=2-2x$ при $\frac{1}{2}\leq x\leq 1$ .

Точно так же, функции $y=f_{n}(x)$ на каждом из отрезков $\left[\frac{k}{2^{n}};\frac{k+1}{2^{n}}\right]$ — линейная (причем $f_{n}(x)=a_{n}x+b_{n}$ , где $a_{n}$ , $b_{n}$ — целые, $a_{n}=\pm 2^{n}$ ); графики функций $y=f(x)$ , $y=f_{2}(x)$ , $y=f_{3}(x)$ показаны на рисунке:

Поэтому если точка x порождает «периодическую траекторию»: $f_{T}(x)=x$ при некотором $T\geq 1$ , то x — корень уравнения $x=a_{T}x+b_{T}$ , т.е. число рациональное. Остается еще заметить, что любое y, $0\leq y< 1$ , имеет $2^{n}$ «прообразов» при отображении $x\rightarrow f_{n}(x)$ , т.е. уравнение $f_{n}(x)=y$ имеет $2^{n}$ решений, причем если y — рациональное, то и все эти решения рациональные. Поэтому если $y=f_{n}(x_{1})=f_{n+T}(x_{1})$ для некоторого $x_{1}$ (т.е. y порождает периодическую траекторию), то и y, и $x_{1}$ — рациональны.

Тем самым, оба утверждения первого пункта доказаны. Что касается второго пункта, как он поставлен в условии задачи, — ответ на него очень прост: таких точек бесконечно много для каждого T. В самом деле, существует (для каждого T=2,3, $\cdots$ ) по крайней мере одна точка периода ровно T : это, в частности, «последняя» точка пересечения отрезка $x=y$ , $0\leq x< 1$ , с графиком $y=f_{n}(x)$ : $x_{T}=2^{T}/(2^{T}+1)$ . (Ясно, что при k<T все решения уравнения $x=f_{k}(x)$ меньше $x_{T}$ .) Тогда, взяв в роли $x_{1}$ , любой из $2^{n}$ прообразов $x_{T}$ при отображении $x\rightarrow f_{n}(x)$ (лишь один из них входит в «периодическую траекторию» порождаемую $x_{T}$ ), мы получим последовательность, которая, начиная с некоторого места, — периодическая с периодом T.

Более интересный вопрос: сколько существует периодических траекторий каждого периода T ( или, что почти тоже самое, — точек x, для которых $x=f_{T}(x)$ и при этом $x\neq f_{k}(x)$ при k<T )? Мы предлагаем читателям подумать над этим и постараемся вернуться к этой теме, получив ваши ответы.
Н.Васильев

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема

Доказательство

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Доказательство

Теорема

Доказательство

Литература

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

Поделиться ссылкой:

Пример 1

Замечание (для рядов)

Пример 2

Замечание (для рядов)

Вывод (для рядов)

Теорема (об интегрировании равномерно сходящейся последовательности)

Доказательство

Следствие (об интегрировании равномерно сходящегося ряда)

Доказательство

Следующая теорема является обобщением всех теорем об интегрировании равномерно сходящейся последовательности.

Теорема

Доказательство

Литература

Тесты

равномерная сходимость и интегрирование

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

Поделиться ссылкой:

Задача из журнала «Квант» (1994, №4)

Условие

Решение

Поделиться ссылкой: