8.4 Объем тела вращения

Пусть на отрезке $[a,b]$ задана непрерывная неотрицательная функция f. Рассмотрим криволинейную трапецию, или подграфик функции f. Будем вращать эту трапецию вокруг оси Ox. Полученное тело вращения обозначим через E. Выведем формулу для его объема. Разобьем отрезок [a,b] точками $a= x0 < x1 < … < xn = b$ и обозначим $m_i = inf f(x), M_i = sup f(x)$. В результате вращения получаем два прямых круговых цилиндра и один “цилиндр” с криволинейной образующей. Объемы меньшего и большего круговых цилиндров равны соответственно $\pi mi^2\Delta xi$ и $\pi Mi^2\Delta xi$. Из круговых прямых цилиндров составим две области: одна из них имеет объем V=$\pi\sum\limits_{i=1}^{n-1}m_i^2\Delta xi$ ,а другая $\overline{V}=\pi\sum\limits_{i=1}^{n-1}M_i^2\Delta xi$ (Если у Вас возникли проблемы, то просмотрите этот материал Суммы Дарбу). Ясно, что наше тело вращения E содержит в себе меньшее из этих кусочно цилиндрических тел и содержится в большем кусочно цилиндрическом теле. Таким образом, объем V тела E удовлетворяет неравенству V < V < $\overline{V}$. Понятно, что суммы V и $\overline{V}$ соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу для интеграла $\pi\int\limits^a_b f(x)^2\,dx$., так что они обе стремятся к этому интегралу при стремлении к нулю диаметра разбиения.

Итак, мы получаем следующую формулу для нахождения объема тела вращения:

$$V=\pi\int\limits^a_b f(x)^2\,dx$$

Примеры решения задач

  • Пример 1.Найти объем тела вращения вокруг оси абцисс ограниченного функциями $y=2x-x^2, o<x<2;$
    Решение

    Выполним чертеж:

    Объем тела вращения:
    $V=\pi\int\limits^a_b f(x)^2\,dx = \pi\int\limits^2_0 (2x-x^2)^2\,dx$ =
    =$\pi\int\limits^2_0 4x^2-4x^3+x^4\,dx = \pi (\frac{32}{3}-16 +\frac{32}{5}) =\frac{ 16\pi}{15}$

Объем тела вращения

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

См. также