Рубрика: Лекции по матану

Пусть задана числовая последовательность $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$. Символ $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+\ldots$, или, что то же самое, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$, называется числовым рядом, а сами числа $a_{n}$ называются слагаемыми или членами ряда. Обозначим $S_{1}=a_{1}, S_{2}=a_{1}+a_{2},\ldots, S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ $\left(n=1,2,\ldots\right)$. Числа $S_{n}$ называются частичными суммами ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$.

Определение. Если существует $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}=S$, то ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ называется сходящимся, а число $S$ называется суммой ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$. Если же не существует конечного предела последовательности частичных сумм $S_{n}$, то ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ называется расходящимся. Если ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ сходится к сумме $S,$ то это обозначают так: $$S=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+\cdots=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}.$$

Таким образом, с каждым рядом $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ мы связываем последовательность его частичных сумм $S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}$, причем сходимость ряда мы определяем как сходимость последовательности частичных сумм этого ряда (понятие сходимости последовательности изучалось нами ранее). Обратно, если задана последовательность $\left\{S_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$, то легко составить ряд, для которого эта последовательность будет последовательностью частичных сумм. Действительно, достаточно положить $a_{1}=S_{1}, a_{2}=S_{2}-S_{1},\ldots,$ $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ $(n=2,3,\ldots)$. Ясно, что в этом случае будем иметь $a_{1}+\cdots+a_{n}=S_{n}$, т. е. заданные числа $S_{n}$ являются частичными суммами построенного нами рядa $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}.$

Пример 1 (геометрическая прогрессия). Геометрической прогрессией называется такая последовательность $1,q,q^{2},\ldots,q^{n−1},\ldots$, т. е. $\left\{q^{n-1}\right\}_{n=1}^{\infty}$, где $q$ – фиксированное число. Ряд $1+q+q^{2}+\cdots+q^{n−1}+\ldots\equiv\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}q^{n-1}$ называется суммой геометрической прогрессии. В этом случае слагаемые ряда равны ${a}_n = q^{n−1}$. Выведем формулу для суммы первых $n$ слагаемых геометрической прогрессии. Имеем $$S_{n}=1+q+q^{2}+\cdots+q^{n-2}+q^{n−1},$$$$qS_{n}=q+q^{2}+q^{3}+\cdots+q^{n-1}+q^{n}.$$Если $q\neq1$, то вычитая второе равенство из первого, получим $S_{n}=\frac{1-q^{n}}{1-q}$. Если же $q=1$, то, очевидно, $S_{n}=1+1+\cdots+1=n$ и $S_{n}\rightarrow\infty$ $\left(n\rightarrow\infty\right)$, так что при $q=1$ данный ряд расходится. Пусть $q\neq1$. Тогда вопрос о сходимости ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}q^{n-1}$ сводится к вопросу о сходимости последовательности $S_{n}=\frac{1-q^{n}}{1-q}$. Ясно, что возможны такие случаи.

• $\left|q\right|<1$. При этом $S_{n}\rightarrow\frac{1}{1-q}$ $\left(n\rightarrow\infty\right)$, т. е. наш ряд сходится и его сумма равна $S=\frac{1}{1-q}$.
• $\left|q\right|>1$. Тогда последовательность $S_{n}$ не имеет предела, т. е. ряд расходится.
• $\left|q\right|=1$. Случай $q=1$ уже рассмотрен. Если же $q=−1$, то, очевидно, $S_{2k}=0$ и $S_{2k+1}=1$, так что последовательность частичных сумм $\left\{S_{n}\right\}$ не имеет предела, т. е. ряд расходится.

Окончательно,$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}q^{n-1}=\frac{1}{1-q}$$при$\left|q\right|<1$, а при $\left|q\right|\geqslant 1$ ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}q^{n-1}$ расходится.

Пример 2. Рассмотрим ряд $$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}+\ldots$$Имеем$$S_{n}=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=$$ $$=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}.$$Теперь уже легко видеть, что $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1$, а это означает, что наш ряд сходится и его сумма равна $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1$.

Теорема (критерий Коши сходимости ряда). Ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon>0$ найдется такой номер $N=N(\varepsilon)$, что при любом $n\geq N$ и при любом натуральном $p$ справедливо неравенство $$\left|\displaystyle\sum_{k=n+1}^{n+p}a_{k}\right|<\varepsilon.$$

Доказательство. Сумма слева в последнем неравенстве называется отрезком Коши. По определению, сходимость ряда эквивалентна сходимости последовательности его частичных сумм $S_{n}$. В силу критерия Коши для числовых последовательностей, сходимость последовательности $\left\{S_{n}\right\}$ эквивалентна ее фундаментальности. Фундаментальность последовательности $\left\{S_{n}\right\}$ означает, что для любого $\varepsilon>0$ найдется такой номер $N$, что для любого $n\geqslant N$ и для любого $p\in \mathbb {N}$ справедливо неравенство $\left|S_{n+p}−S_{n}\right|<\varepsilon$. Но поскольку $$S_{n+p}−S_{n}=a_{1}+\cdots+a_{n}+a_{n+1}+\cdots+a_{n+p}−(a_{1}+\cdots+a_{n})=$$ $$=a_{n+1}+\cdots+a_{n+p},$$ то тем самым теорема доказана. $\small\Box$

Следствие (необходимое условие сходимости). Если ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ сходится, то $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}=0$.

Доказательство. Если ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ сходится, то, в силу критерия Коши, для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $N\in \mathbb {N}$, что при любом $n\geqslant N$ и при любом $p\in \mathbb {N}$ справедливо неравенство $\left|\displaystyle\sum_{k=n+1}^{n+p}a_{k}\right|<\varepsilon$. В частности, если $p=1$, то получим, что для любого $\varepsilon>0$ найдется такой номер $N$, что при любом $n\geqslant N$ справедливо неравенство $\left|a_{n+1}\right|<\varepsilon$. Это и означает, что $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}=0$. $\small\Box$

Другое доказательство необходимого условия сходимости. Сходимость ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ равносильна существованию следующего предела: $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}=S$. Но тогда и $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n-1}=S$, откуда, в силу равенства $a_{n}=S_{n}−S_{n−1}$, следует $$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n}=\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}{(S_{n}-S_{n-1})}=\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}-\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n-1}=S-S=0.\ \small\Box$$

Итак, если ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$, сходится, то его слагаемые стремятся к нулю. Обратное утверждение неверно. Действительно, для ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ имеем: $a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}$. Тогда $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n}=0$ и, вместе с тем, $$S_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\geqslant n\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n},$$ откуда следует, что $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}=+\infty$, т. е. ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ расходится.

Пример. Гармоническим называется ряд $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\ldots$$ Отрезок Коши этого ряда можно оценить следующим образом:
$$\displaystyle\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+p}\geqslant\frac{1}{n+p}\cdot p.$$ Если взять $p=n$, то получим, что $\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\geqslant\frac{n}{n+n}=\frac{1}{2}$. Это означает, что найдется такое ${\varepsilon}_{0}>0$ $({\varepsilon}_{0}=\frac{1}{2})$, что для любого $N\in \mathbb {N}$ существует $n\geqslant N$ (например, $n=N$) и существует такое $p\in \mathbb {N}$ $(p=n)$, при которых справедливо неравенство $\left|\displaystyle\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}\right|\geqslant {\varepsilon}_{0}$. В силу критерия Коши это означает, что гармонический ряд расходится.

Как правило, на практике необходимое условие сходимости применяется в следующей форме: если предел слагаемых ряда не существует, либо существует, но отличен от нуля, то ряд расходится.

Определения и простейшие свойства числового ряда

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Из ниже перечисленных рядов выберите сходящийся ряд.

   • $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{7n^{2}+8000n}$
   • $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
   • $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n}\frac{n+1}{n+2}$
   Правильно
   

   Ряды $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{7n^{2}+8000n}$ и $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n}\frac{n+1}{n+2}$ расходятся, поскольку не выполняется необходимое условие сходимости: общий член ряда не стремится к нулю. Ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ сходится, как геометрическая прогрессия, где $q=\frac{1}{2}<1$.

   Неправильно
   

   Ряды $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{7n^{2}+8000n}$ и $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n}\frac{n+1}{n+2}$ расходятся, поскольку не выполняется необходимое условие сходимости: общий член ряда не стремится к нулю. Ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ сходится, как геометрическая прогрессия, где $q=\frac{1}{2}<1$.
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости для ряда: $0,001+\sqrt{0,001}+\sqrt[3]{0,001}+\ldots$

   • Да, выполняется.
   • Нет, не выполняется.
   Правильно
   

   $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n}=\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{0,001}=1\neq 0$.

   Неправильно
   

   $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n}=\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{0,001}=1\neq 0$.
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Дополните формулировку теоремы одним словом.

   Ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ $\ldots$ тогда и только тогда, когда $\forall\varepsilon>0$ $\exists N=N\left(\varepsilon\right):$ $\forall n\geqslant N,$ $\forall p \in \mathbb {N}:$ $\left|\displaystyle\sum_{k=n+1}^{n+p}a_{k}\right|<\varepsilon.$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 4

   Исследовать сходимость рядов:

   Элементы сортировки

   • Ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости $(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n}=\frac{1}{1000})$.
   • Ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости $(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n}=1)$.
   • Ряд сходится и его сумма равна $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=2$.
   • Ряд сходится и его сумма равна $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=1$.

   • $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{1000n+1000}$

   • $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n}$

   • $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$

   • $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 4

   Упорядочьте суммы рядов по возрастанию.

   • $\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}+\ldots$
   • $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots+\frac{{(-1)}^{n-1}}{2^{n-1}}+\ldots$
   • $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}\right)+\ldots$
   • $\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots+\frac{2n-1}{2^n}+\ldots$
   Правильно
   

   $$S_{n}=\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=$$ $$=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right)=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3k+1}\right),\ S=\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}=\frac{1}{3}.$$

   $$S_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots+\frac{{(-1)}^{n-1}}{2^{n-1}}=\frac{1-\frac{(-1)^n}{2^n}}{1+\frac{1}{2}},$$ $$S=\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}.$$

   $$S_{n}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}\right)=$$ $$=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{3^{n}}\right)=$$ $$=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\frac{1}{2^{n}}}{1-\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{1-\frac{1}{3}},$$ $$S=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}.$$

   $$S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots+\frac{2n-1}{2^n},$$ $$\frac{1}{2}S_{n}=\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+\cdots+\frac{2n-1}{2^{n+1}},$$ $$\frac{1}{2}S_{n}=S_{n}-\frac{1}{2}S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\cdots+\frac{2}{2^n}-\frac{2n-1}{2^{n+1}}=$$ $$=\frac{1}{2}\left(1+1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^n}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1-\frac{1}{2^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{2n-1}{2^n}\right),$$ $$S=\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}=1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3.$$

   Неправильно
   

   $$S_{n}=\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=$$ $$=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right)=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3k+1}\right),\ S=\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}=\frac{1}{3}.$$

   $$S_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots+\frac{{(-1)}^{n-1}}{2^{n-1}}=\frac{1-\frac{(-1)^n}{2^n}}{1+\frac{1}{2}},$$ $$S=\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}.$$

   $$S_{n}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}\right)=$$ $$=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{3^{n}}\right)=$$ $$=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\frac{1}{2^{n}}}{1-\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{1-\frac{1}{3}},$$ $$S=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}.$$

   $$S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots+\frac{2n-1}{2^n},$$ $$\frac{1}{2}S_{n}=\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+\cdots+\frac{2n-1}{2^{n+1}},$$ $$\frac{1}{2}S_{n}=S_{n}-\frac{1}{2}S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\cdots+\frac{2}{2^n}-\frac{2n-1}{2^{n+1}}=$$ $$=\frac{1}{2}\left(1+1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^n}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1-\frac{1}{2^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{2n-1}{2^n}\right),$$ $$S=\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}=1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3.$$

Пусть $f$ – действительная функция, определенная на интервале $(a, b)\subset \mathbb R$. Производной функции $f$ в точке $x_0\in(a, b)$ мы называли предел $$\lim_{h\to\infty}=\frac{f(x_0+h) — f(x_0)}{h}=f'(x_0). \qquad \left( 12.3 \right)$$ Функцию $f$ называли дифференцируемой в точке $x_0$, если $$f(x_0+h)=f(x_0) + Ah + \overline{o}(h) \quad (h \to 0).$$ Ранее было показано, что дифференцируемость эквивалентна наличию производной.

Определим линейную функцию на прямой равенством $A(h)=f'(x_0)h\ (h \in \mathbb R)$. Тогда равенство $(12.3)$ можно переписать в виде $$\lim_{h\to\infty}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-A(h)}{|h|}=0, \qquad \left( 12.4 \right)$$ а определение дифференцируемости можно сформулировать так: функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$, если существует такая линейная функция $A$, что выполняется равенство $(12.4)$. В таком виде определение дифференцируемости может быть перенесено на многомерный случай.

Определение. Пусть функция $f:E\mapsto\mathbb R$ задана некотором открытом множестве $E \subset \mathbb R^n$ и точка $x_0 \in E$, если существует такая линейная форма $A: \mathbb R^n \mapsto \mathbb R$, что выполняется равенство $$\lim_{h\to\infty}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-A(h)}{|h|}=0. \qquad \left( 12.5 \right)$$ Эта линейная форма $A$ называется производной функции $f$ в точке $x_0$ и обозначается $f'(x_0)$. Её называют также дифференциалом функции $f$ в точке $x_0$ и обозначают $\textrm{d}f(x_0)$.

Равенство $(12.5)$ равносильно следующему соотношению: $$f(x_0+h)=f(x_0)+A(h)+r(h), \qquad \left( 12.6 \right)$$ где $\frac{r(h)}{|h|}\to 0$ при $h \to 0$. В этом случае пишут, что $r(h)=\overline{o}(h)$ и поэтому вместо $(12.6)$ можно записать $$f(x_0+h)=f(x_0)+A(h)+\overline{o}(|h|). \qquad \left( 12.7 \right)$$
Если положить $h=x-x_0$, то условие дифференцируемости $(12.7)$ можно переписать в следующем виде: $$f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+\overline{o}(|x-x_0|). \qquad \left( 12.8 \right)$$

Обозначим $\lambda(x)=f(x_0)+A(x-x_0)$. Функция $\lambda$ достаточно хорошо приближает функцию $f$ вблизи точки $x_0$. Эта функция $\lambda$ является аффинной (аффинной называется функция вида $\lambda(x)=A(x)+c$, где $A$ — линейная форма, т.е. аффинная функция — это сдвиг линейной формы на постоянную $c$).

Графиком функции $f:E\mapsto\mathbb R\ (E\subset\mathbb R^n)$ называется множество точек $(x^1,\ldots ,x^n,z)\in\mathbb R^{n+1}$, удовлетворяющих условию $z=f(x^1,\ldots,x^n)$, где $x\in E$, а $x^1,\ldots,x^n$ — координаты вектора $x$.

Пусть $Q$ — некоторое множество в $\mathbb R^m$. Расстоянием от точки $x_0$ до множество $Q$ называется число $$d(x_0,Q)=\inf_{y\in Q}|x_0-y|.$$

Определение. Пусть функция $f:E\mapsto\mathbb R$, где открытое множество $E \subset \mathbb R^n$, и пусть $Q$ — график функции $f$ в $\mathbb R^{n+1}$. Гиперплоскость $H$ в $\mathbb R^{n+1}$ называется касательной гиперплоскостью к графику функции $f$ в точке $w_0=(x_0^1,\ldots,x_0^n,z_0)$, где $z_0=f(x_0)$, если эта гиперплоскость проходит через точку $w_0$ и выполнено условие $$\lim_{w \to w_0, w \in H}\frac{d(w,Q)}{|w-w_0|}=0. \qquad \left( 12.9 \right)$$

Пусть функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$, $Q$ — график функции $f$. Тогда выполнено соотношение $$f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+\overline{0}(|x-x_0|).$$ Рассмотрим гиперплоскость $H$ в $\mathbb R^{n+1}$, определяемую уравнением $z=f(x_0)+A(x-x_0)$. Пусть $w=(x^1,\ldots,x^n,z)\in H$. Оценим, используя $(12.8)$, $$d(w,Q)\le|f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)|=\overline{o}(|x-x_0|).$$ Но из неравенства $|x-x_0|\le|w-w_0|$ получаем, что выполнено соотношение (12.9). Таким образом, если функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то в соответствующей точке $w_0$ её графика существует касательная гиперплоскость. Эта гиперплоскость задается уравнением $$z=f(x_0)+A(x-x_0),$$ где $A=f'(x_0)$. В этом состоит геометрический смысл производной.

Следует понимает, что $f'(x_0)\equiv \textrm{d}f(x_0)$ — это единый символ, определяющий линейную форму, т.е. производная — это не число, а линейная форма. При этом функция $f$ задана на некотором множестве $E \subset \mathbb R^n$, а $f'(x_0)$, как и всякая линейная форма, определена на всём пространстве $\mathbb R^n$. В то же время для любого $h \in \mathbb R^n$ значение линейной формы $f'(x_0)(h)$ является действительным числом.

Согласно нашему обозначению, производная и дифференциал — одно и то же понятие.

Итак, мы получаем отображение $x_0 \mapsto \textrm{d}f(x_0)$, которое каждой точке $x_0 \in E$ ставит в соответствие линейную форму $\textrm{d}f(x_0)$.

При $n = 1$ производной функции $f$ в точке $x_0$ мы называли число $$a=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$
Это равносильно тому, что $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-ah}{h}=0, \qquad \left( 12.10 \right)$$ а функция $f$ называлась дифференцируемой в точке $x_0$, если существует такое число $a$, что выполнено неравенство $(12.10)$.

В многомерном случае для определения производной мы используем линейную форму $A$. При $n = 1$ существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел $\mathbb R$ и множеством $\mathbb R^*$ всех линейных форм на $R$. Это соответствие получим, если каждому числу $a \in \mathbb R$ поставим в соответствие линейную функцию $A(h) = ah$.
Поэтому, используя вышесказанное, с точностью до изоморфизма можно
отождествлять множество всех линейных форм и множество всех действительных чисел.

В одномерном случае часто различают понятие производной и дифференциала. Именно, производной называется число $a$, его обозначают $f'(x_0)$, для которого справедливо равенство $$f(x_0+h)-f(x_0)=f'(x_0)h+\overline{o}(h),$$ где первое слагаемое справа понимается как произведение двух чисел – $f’$ и $h$. Дифференциалом же называют линейную функцию на $\mathbb R$, которая действует по правилу $A(h) = f'(x_0)h\ (h \in \mathbb R)$. Эту линейную функцию обозначают $df(x_0)$ и можно записать $$f(x_0+h)-f(x_0)=\textrm{d}f(x_0)h+\overline{o}(h).$$ Здесь первое слагаемое справа понимается как значение линейной функции $\textrm{d}f(x_0)$ в точке $h$. Его можно обозначить также $\textrm{d}f(x_0)(h)$.

Замечание. В частном случае, если $f(x)=c$, где $c$ — постоянная, то $\textrm{d}f(x)=0$, где $0$ — нулевая линейная форма.

Теорема 1 показывает, что производная аффинной функции для всех точек $x \in \mathbb R^n$ имеет одно и то же значение $A$. Это является обобщеним того факта, что в одномерном случае производная аффинной функции постоянна, т. е. $(\alpha x + \beta)’ = \alpha$. С геометрической точки зрения графиком аффинной функции является гиперплоскость и она же является касательной для самой себя.

Замечание. Из непрерывности функции не следует дифференцируемость. Например, пусть $f(x) = |x|, x \in \mathbb R^n$. Тогда из неравенства $||x’|−|x»|| \le |x’ − x»|$ следует, что функция $f$ равномерно непрерывна на всем $\mathbb R^n$. Покажем, что в точке $x=0$ она не является дифференцируемой.
Действительно, предположим, что существует такая линейная форма $A$, что $$\lim_{h \to \infty}\frac{f(h)-f()-A(h)}{|h|}=0,$$ т.е. $$\lim_{h \to \infty}\frac{|h|-A(h)}{|h|}=0.$$ Отсюда следует, что $\frac{A(h)}{|h|}\to 1$ при $h \to 1$. Если теперь вместо $h$ взять $-h$, то получим, что $\frac{-A(h)}{|h|}\to 1$, или, что то же самое, $\frac{A(h)}{|h|}\to -1$. Тем самым, мы пришли к противоречию с единственностью предела.

Пример 1. Рассмотрим функцию $f(x, y)=x^2+y^2$ в окрестности точки $(x_0, y_0)$. Имеем $$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=(x_0+h)^2\- (y_0+k)^2-x_0^2-y_0^2= \\ =\underbrace{2x_0h+2y_0k}_{линейная часть} +h^2+k^2=A(h,k)+r(h,k),$$ где  $A(h, k) = 2x_0h+2y_0k$ – линейная функция переменных $h$ и $k$, $r(h, k)=h^2+k^2=\overline{o}(\sqrt{h^2+k^2})$, поскольку $\frac{r(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\to 0$ при $(h, k)\to (0, 0)$. Тем самым мы доказали дифференцируемость функции $f$ в точке $(x_0, y_0)$ по определению.

Пример 2. Пусть $$f(x,y)=
\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, x^2+y^2>0,
\\
0, x=y=0.
\end{cases}
\end{equation*}$$
В окрестности каждой точки, кроме начала координат, эта функция
является частным двух непрерывных функций и знаменатель отличен от
нуля, так что она непрерывна. Докажем, что $f$ непрерывна и в точке $(0, 0).$ Для этого воспользуемся неравенством $2|xy|\le x^2+y^2$. Отсюда получим, что $|f(x,y)|\le\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}$, а из этого неравенства вытекает, что $$\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0=f(0,0).$$ Итак, функция $f$ непрерывна в каждой точке $(x,y)\in \mathbb R^2$.
Покажем, что она не является дифференцируемой в начале координат. Предположим противное. Тогда справедливо равенство $$\frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}-\alpha h-\beta k=\overline{o}(\sqrt{h^2+k^2}),$$ где $\alpha$ и $\beta$ — действительные числа. Если положим $k=0$, $h\neq 0$, то получим, что $−\alpha h = \overline{o}(|h|)$. Отсюда следует, что $\alpha = 0$. Аналогично находим, что $\beta = 0$. Таким образом, получаем равенство $$\frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}=\overline{o}(\sqrt{h^2+k^2}),$$ или, поделив на $\sqrt{h^2+k^2}$, $$\frac{hk}{h^2+k^2}\to 0 \quad (\ (h,k)\to (0,0)\ ).$$ Но это невозможно, ибо если взять $h = k$, то получим $\frac{hk}{h^2+k^2}=\frac{1}{2}$, так что приходим к противоречию.

Пример 3. Рассмотрим функцию $f(x, y)=xy^2$. Функция дифференцируема на всей плоскости $OXY$. Действительно, ведь полное приращение имеет вид $$f(x+h,y+k)-f(x,y)=(x+h)(y+k)^2-xy^2=\\=y^2h+2xyk+(2yk+k^2)h+xk^2,$$ и положив $y^2h+2xyk=A(h,k)$, $xk^2+2yhk+hk^2=r(x,y)$, получим представление полного приращения вида аналогичного примеру 1.

Литература

• В. И. Коляда, А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу». — Одесса: Астропринт, 2010, ч.1, раздел 12.2 «Производная».(стр. 266 — 273).
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — 607 с. — С. 381-383.

Производная

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Пройдите этот тест, чтобы проверить, как вы усвоили материал.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 23 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Объектом какого рода является производная в многомерном случае?

   • Число
   • Линейная форма
   • Квадратичная форма
   • Вектор
   Правильно
   

   Верно, это линейная форма!

   Неправильно
   

   Нет, правильный ответ — «линейная форма».
2. Задание 2 из 5

   2.

   Выберите правильные утверждения:

   • Дифференцируемость не эквивалентна существованию производной
   • Производная и дифференциал - разные обозначения одного и того же
   • Из непрерывности функции следует её дифференцируемость
   • Производная дифференцируемой функции единственна
   Правильно
   

   Верно!

   Неправильно
   

   Неправильно.
3. Задание 3 из 5

   3.

   Если $f(x)=c$, где $c$ — постоянная, то $f'(x)=$
   Правильно
   

   Верно, производная постоянной — нулевая линейная форма!

   Неправильно
   

   Неверно, производная постоянной — нулевая линейная форма.
4. Задание 4 из 5

   4.

   Исследуйте дифференцируемость функций:

   Элементы сортировки

   • Недифференцируема при $y=-x$
   • Недифференцируема при $xy=0$
   • Дифференцируема всюду
   • Недифференцируема в точке $(0,0)$

   • $\sqrt[3]{x^3+y^3}$

   • $\cos \sqrt[3]{xy}$

   • $e^{-1/(x^2+y^2)},$ если $x^2+y^2>0$ и $f(0,0)=0$

   • $\sqrt{x^2+y^2}$

   Правильно
   

   Верно!

   Неправильно
   

   Неверно.
5. Задание 5 из 5

   5.

   Сформулируйте теорему о производной аффинной функции

   • Пусть $f$ - действительная аффинная функция на $\mathbb R^n$, т. е. $f(x) = Ax + c$, где
   • $A$ – линейная форма, $c$ – действительная постоянная, $x \in \mathbb R^n$.
   • Тогда функция $f$ дифференцируема в каждой точке $x \in R^n$ и ее производная, или, что то же самое, дифференциал, равна
   • $\textrm{d}f(x) = A$
   Правильно
   

   Правильно!

   Неправильно
   

   Неправильно.

Аналогом интегрирования по частям для сумм является следующее равенство, которое называют преобразованием Абеля:
$$ \sum_{i=1}^n\alpha_i \beta_i = \sum_{i=1}^{n-1}\left(\alpha_i — \alpha_{i+1}\right)B_i + \alpha_n B_n,$$
где $ B_i = \sum_{j = 1}^i\beta_j \left(i = 1,2,\ldots,n\right).$ Для его доказательства обозначим
$ B_0 = 0.$ Тогда получим
$$ \sum_{i=1}^n\alpha_i \beta_i = \sum_{i=1}^n\alpha_i\left(B_i — B_{i-1}\right) = \sum_{i=1}^n\alpha_iB_i — \sum_{i=1}^n\alpha_iB_{i-1} = $$ $$ = \sum_{i=1}^{n — 1}\alpha_iB_i + \alpha_nB_n — \sum_{i=1}^{n — 1}\alpha_{i + 1}B_i = \sum_{i=1}^{n — 1}\left(\alpha_i — \alpha_{i+1}\right)B_i + \alpha_nB_n,$$
и тем самым завершается доказательство преобразования Абеля.

Замечание. Теорема Лейбница является частным случаем признака Дирихле, в котором $ a_n = u_n, b_n = \left(-1\right)^{n-1}.$

Тест по теме: "Признаки Абеля и Дирихле"

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Небольшой тест, чтобы закрепить теоретический материал.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Для того, чтобы ряд $ \sum_{n = 1}^{\infty}a_nb_n$ сходился по признаку Абеля необходимо, чтобы последовательность была $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ монотонной и ограниченной, а последовательность $ \{b_n\}_{n=1}^{\infty}$…

   • Такова, что частичные суммы $ B_n = \sum_{i = 1}^{n}b_i$ ограниченны
   • Cтремится к нулю
   • Такова, что ряд $ \sum_{n = 1}^{\infty}b_n$ сходится
   • Такова, что сумма ряда $ \sum_{n = 1}^{\infty}b_n$ равна нулю
   Правильно
   

   Поздравляем! Это правильный ответ!

   Неправильно
   

   Увы, вы дали неверный ответ.
2. Задание 2 из 5

   2.

   Для того, чтобы ряд $ \sum_{n = 1}^{\infty}a_nb_n$ сходился по Дирихле должны выполнятся 2 условия:

   • Последовательность $ \{a_n\}$Монотонно стремится к нулю
   • Последовательность $ \{a_n\}$ стремится к нулю
   • Ряд $ \sum_{n = 1}^{\infty}a_nb_n$ имеет общий член $ a_n$, стремящийся к нулю
   • Последовательность $ \{b_n\}$ такая, что ряд $ \sum_{n = 1}^{\infty}b_n$ сходится
   • Последовательность $ \{b_n\}$ такая, что частичные суммы $ \sum_{i = 1}^{n}b_i$ ограничены
   Правильно
   

   Поздравляем! Это правильный ответ!

   Неправильно
   

   Увы, вы дали неверный ответ.
3. Задание 3 из 5

   3.

   Доказательство признака Абеля основано на применении…
   Правильно
   

   Поздравляем! Это правильный ответ!

   Неправильно
   

   Увы, вы дали неверный ответ.
4. Задание 4 из 5

   4.

   Расставить в порядке убывания выражения:

   • $ \max\limits_{1\leq k\leq n}\left| B_k\right|\left(\left|\alpha_1\right| + 2\left|\alpha_n\right|\right)$
   • $ \max\limits_{1\leq k\leq n}\left| B_k\right|\left(\left|\alpha_1 - \alpha_n\right| + \left|\alpha_n\right|\right)$
   • $ \left|\sum\limits_{i=1}^{n - 1}\left(\alpha_i - \alpha_{i+1}\right)B_i + \alpha_nB_n\right|$
   Правильно
   

   Поздравляем! Это правильный ответ!

   Неправильно
   

   Увы, вы дали неверный ответ.
5. Задание 5 из 5

   5.

   Вставьте пропущенное слово

   • (Теорема Лейбница) является частным случаем признака Дирихле.
   Правильно
   

   Поздравляем! Это правильный ответ!

   Неправильно
   

   Увы, вы дали неверный ответ.