Интеграл Эйлера-Пуассона

Перед прочтением статьи, ознакомьтесь со следующим материалом:

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру — Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс Математического анализа, стр 620-621

Интеграл Эйлера-Пуассона

Интегралом Эйлера-Пуассона (Euler-Poisson integral) или интегралом вероятностей называют интеграл вида $$\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx.$$

Вычислим значение интеграла пользуясь теоремой о перестановка порядка интегрирования

$$I=\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-t^2}dt= \left[ \begin{gathered} t=xy \\ dt=ydx \end{gathered} \right] =\int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-x^{2}y^2}dx.$$

Обе части неравенства домножим на $e^{-y^2}$ и проинтегрируем по $y$ от $0$ до $+\infty$

$$I^2=\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-y^2} \left( \int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-x^2 y^2}dx \right) dy=\int\limits_{0}^{+\infty}dy \int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-y^2(x^2+1)}dx.$$

Изменение порядка интегрирования интеграла $\int\limits_{0}^{+\infty}dy \int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-y^2(x^2+1)}dx$ законно, так как выполняются все условия теоремы. Используя признак Вейерштрасса можно заключить, что интеграл $\int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-y^2(x^2+1)}dx$ сходится равномерно по параметру $y$ на любом отрезке $[\gamma, \delta] \subset [0,+\infty]$, так как $ye^{-y^2(x^2+1)} \le \delta e^{- \gamma^2(1+x^2)} (y \ge 0)$, а интеграл $\int\limits_{0}^{+\infty}\delta e^{- \gamma^2(1+x^2)}dx$ сходится. Аналогично доказывается, что интеграл $\int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-y^2(x^2+1)}dy$ также сходится равномерно по параметру $x$ на любом отрезке $[\alpha, \beta] \subset [0,+\infty]$. Повторный интеграл $I^2=\int\limits_{0}^{+\infty}dy \int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-y^2(x^2+1)}dx$ сходится в силу равенства

$$I^2=\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-y^2}(\int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-x^2 y^2}dx)dy=\int\limits_{0}^{+\infty}dy \int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-y^2(x^2+1)}dx.$$

Изменим порядок интегрирования повторного интеграла

$$I^2=\int\limits_{0}^{+\infty}dx\int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-y^2(x^2+1)}dy=\int\limits_{0}^{+\infty}y\frac{e^{-x^2}}{-2y(x^2+1)}\bigg|_0^{+\infty}dx= $$

$$-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{+\infty}(0-\frac{1}{(x^2 +1)})dx= \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}= \frac{1}{2} \arctan x\bigg|_0^{+\infty}=\frac{\pi}{4}.$$

Отсюда получаем, что $I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$

Таким образом интеграл Эйлера-Пуассона $$\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2},$$
то есть площадь фигуры, ограниченной функцией $e^{-x^2}$ и осями координат, равна $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ (рис. 1)

Интеграл Эйлера-Пуассона

Рис. 1

Список литературы

Тест

Интеграл Эйлера-Пуассона

Для закрепления усвоенного материала, рекомендуется пройти тест по пройденной теме

Равномерная сходимость и интегрирование

Теорема (об интегрировании)

Если последовательность непрерывных на сегменте \left [ a,b \right ] функций s_{1}(x), s_{2}(x),...s_{n}(x),... сходиться равномерно в этом сегменте к предельной функции S(x), то при любых a\leq \alpha \leq \beta \leq b $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$$

Доказательство. Заметим прежде всего, что в наших условиях предельная функция S(x) является непрерывной, и поэтому интеграл $$ \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$$

имеет смысл.

Ввиду обусловленной равномерной сходимости последовательности к предельной функции S(x) по любому \varepsilon < 0 найдется такое n_{0}, что при n\geq n_{0} для любого a\leq x\leq b будет выполняться неравенство $$\left | S(x) — S_{n}(x) \right |< \frac{\varepsilon }{b-a}$$

поэтому $$\left | \int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx — \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx \right | = \left | \int_{\alpha }^{\beta }(S_{n}(x)-S(x))dx \right | \leq $$ $$\leq \int_{\alpha }^{\beta }\left | S_{n}(x) — S(x)dx \right |< \int_{\alpha }^{\beta }\frac{\varepsilon }{b-a}dx = \varepsilon \frac{\beta - \alpha }{b-a} \leq \varepsilon $$

Таким образом, по произвольному \varepsilon < 0 нашлось такое n_{0}, что при n\geq n_{0} $$\left | \int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx — \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx \right | < \varepsilon $$

а это и означает сходимость.

Теорема (о почленном интегрировании рядов).

Если функциональный ряд u_{1}(x) + u_{2}(x) + ... + u_{n}(x) +... сходиться равномерно на некотором сегменте \left [ a,b \right ], и имеет суммой функцию S(x), то функциональный ряд интегралов $$\int_{\alpha }^{y }u_{1}(x)dx + \int_{\alpha }^{y }u_{2}(x)dx + … +\int_{\alpha }^{y }u_{n}(x)dx + …$$

так же сходится равномерно на этом сегменте и имеет суммой функцию $$\int_{\alpha }^{y}S(x)dx$$

Доказательство. Пусть S_{n}(x) - n-ая частичная сумма ряда. Тогда $$\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{y}(u_{1}(x)+u_{2}(x)+…+u_n{x}(x))dx$$

будет, очевидно, n-ой частной суммой ряда. По условию теоремы последовательность S_{1}(x), S_{2}(x),...S_{n}(x),... частичных сумм ряда сходиться на сегменте \left [ a,b \right ] равномерно. Следовательно, на основании теоремы о предельном переходе под знаком интеграла с переменным верхним пределом последовательность интегралов $$\int_{\alpha }^{y}S_{1}(x)dx, \int_{\alpha }^{y}S_{2}(x)dx, … ,\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx, …$$

так же сходиться и имеет пределом $$\int_{\alpha }^{y}S(x)dx$$

маленькая викторина

Равномерная сходимость и дифференцирование

Теорема о почленном дифференцировании

Если каждая функция f_n(x) имеет производную на сегменте \left[a,b\right], при чем последовательность производных сходиться равномерно на сегменте \left[a,b\right], а сама последовательность \left\{ f_n(x)\right\} сходиться хотя бы в одной точке x_{0} сегмента \left[a,b\right],то последовательность \left\{ f_n(x)\right\} сходиться к некоторой предельной функции f_n(x) равномерно на сегменте \left[a,b\right], причем эту последовательность можно дифференцировать на сегменте \left[a,b\right] почленно, т.е. всюду на сегменте \left[a,b\right] предельная функция имеет производную f'(x) являющуюся предельной функцией последовательности \left\{ f'_n(x)\right\}

Доказательство. Докажем сначала, что последовательность \left\{ f_n(x)\right\} сходится равномерно на сегменте \left[a,b\right]. Из сходимости числовой последовательности \left\{ f_n(x_{0})\right\} и из равномерной сходимости \left\{ f'_n(x)\right\} на сегменте \left[a,b\right] следует, что для любого \varepsilon>0 найдется номер N(\varepsilon) такой, что $$\mid f_{n+p}(x_{0})- f_{n}(x_{0})\mid<\frac{\varepsilon}{2}, \mid f'_{n+p}(x)- f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$$

для всех n\geq N(\varepsilon), всех натуральных p и для всех x из сегмента \left[a,b\right] Так как для функции \left[f_{n+p}(t)-f_{n}(t)\right] при любых фиксированных номерах n и p выполнены на сегменте, ограниченном точками x и x_{0} все условия теоремы Лагранжа, то между x и x_{0} найдется такая точка \varepsilon такая, что $$\left | f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right |-\left | f_{n+p}(x_{0})-f_{n}(x_{0}) \right |=\left | f’_{n+p}(\varepsilon )-f’_{n}(\varepsilon ) \right |(x-x_{0})$$

Из этого равенства и из того, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, получим $$\left | f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right |<\varepsilon $$

Это и означает в силу критерия Коши, что последовательность \left\{ f_n(x)\right\} сходиться равномерно на сегменте \left[a,b\right] к некоторой предельной функции f(x)

Остается доказать, что эта предельная функция в любой фиксированной точке x сегмента \left[a,b\right] имеет производную.

Фиксируем произвольную точку x сегмента \left[a,b\right] и по ней \delta>0 такое, что бы \delta-окрестность точки x целиком содержалась в \left[a,b\right]

Обозначим символом \left \{ \Delta x \right \} множество всех чисел \Delta x, удовлетворяющих условию 0 < \left | \Delta x \right | < \delta, при a < x < b, условию 0 < \Delta x < \delta при x=a и условию  -\delta <\Delta x < 0 при x=b и докажем, что последовательность функций аргумента \Delta x $$\varphi_{n}(\Delta x) = \frac{f_{n}(x + \Delta x) — f_{n}(x)}{\Delta x}$$

сходится равномерно на указанном множестве \left \{ \Delta x \right \}

Для произвольного \varepsilon>0 в силу критерия Коши равномерной сходимости последовательности \left\{ f'_n(x)\right\} найдется номер N(\varepsilon) такой, что $$\left | f’_{n+p}(x)-f’_{n}(x) \right | < \varepsilon$$

Фиксируем теперь произвольное \Delta x из множества \left<br /> \{ \Delta x \right \} и при любых фиксированных номерах n и p применим к функции $$\left [ f_{n+p}(t)-f_{n}(t) \right ]$$

по сегменту, ограниченному точками x и \left ( x+\Delta x \right ), теорему Лагранжа. Согласно этой теореме найдется число \Theta из интервала 0 < \Theta < 1 такое, что $$\frac{\left [ f_{n+p}(x+\Delta x) — f_{n}(x+\Delta x) \right ] — \left [ f_{n+p}(x) — f_{n}(x) \right ]}{\Delta x}=$$ $$= f’_{n+p}(x + \Theta \Delta x) — f’_{n}(x + \Theta \Delta x)$$

Последнее равенство можно переписать в виде $$\varphi _{n+p}(\Delta x) — \varphi _{n}(\Delta x) = f’_{n+p}(x + \Theta \Delta x) — f’_{n}(x + \Theta \Delta x)$$

Из этого равенства заключаем, что $$\left | \varphi _{n+p}(\Delta x) — \varphi _{n}(\Delta x) \right | < \varepsilon$$

В силу критерия Коши последовательность \left \{ \varphi _{n}(\Delta x) \right \} сходится равномерно на множестве \left \{ \Delta x \right \}. Но тогда к этой последовательности можно применить теорему о почленном предельном переходе в точке \Delta x = 0. Согласно этой теореме функция $$\frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x}$$

являющаяся предельной функцией последовательности имеет предел в точке \Delta x = 0, причем этот предел можно вычислять почленно, т.е. $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\frac{f(x+\Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\left [ \lim_{n\rightarrow \infty } \varphi_{n}(\Delta x) \right ] = $$ $$=\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\varphi_{n}(\Delta x) \right ] = \lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \lim_{\Delta x\rightarrow 0 } \frac{f_{n}(x + \Delta x) — f_{n}(x)}{\Delta x} \right ] = \lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$$

Это и доказывает, что производная предельной функции f(x) в точке x существует и равна \lim_{n \rightarrow \infty }f'_{n}(x). Теорема доказана.

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Теорема

Пусть \left \{ f_{n} \right \} — последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке \left[a;b\right] функций. Предположим, что в некоторой точке x\in \left[a;b\right] числовая последовательность \left \{ f_{n}(x_{0}) \right \} сходится, а функциональная последовательность \left \{ f'_{n} \right \} равномерно сходится на \left[a;b\right]. Тогда исходная последовательность \left \{ f_{n} \right \} равномерно сходится на \left[a;b\right] к непрерывно дифференцируемой функции f, причем для любого x\in \left[a;b\right] справедливо равенство f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x).

Доказательство

... показать

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть на отрезке \left[a;b\right] задана последовательность непрерывно дифференцируемых функций \left \{ u_{n} \right \}, такая, что ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) сходится в некоторой точке x\in \left[a;b\right], а ряд из производных \sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x) сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда исходный ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) равномерно сходится на всем отрезке \left[a;b\right], его сумма является непрерывно дифференцируемой функцией и справедливо равенство \left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )'=\sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x)\; (x\in \left[a;b\right]).

Доказательство

... показать

Теорема

Пусть на отрезке \left[a;b\right] задана последовательность дифференцируемых функций \left \{ f_{n} \right \}, сходящаяся в некоторой точке x\in \left[a;b\right] и такова, что функциональная последовательность \left \{ f'_{n} \right \} сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда последовательность \left \{ f_{n} \right \} равномерно сходится на всем отрезке \left[a;b\right] к некоторой функции f, причем эта функция f дифференцируема на \left[a;b\right] и справедливо равенство $$f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x) \; \; \; \; \; (x\in \left[a;b\right])$$.

Доказательство

... показать

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и дифференцирование»

Равномерная сходимость и интегрирование

Пусть f_{n} — последовательность интегрируемых на отрезке \left[a;b\right] функций, поточечно сходящаяся к функции f. Поставим вопрос об интегрируемости на отрезке \left[a;b\right] предельной функции f и справедливости равенства
$$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$
Следующие примеры показывают, что в общем случае и интегрируемости нет, и равенство не выполняется.

Пример 1

Пусть \left \{ r_{n} \right \}_{n=1}^{\infty } — последовательность всех рациональных точек из отрезка \left[0;1\right]. Выразим:
$$f_{n}(x)=\left\{\begin{matrix}1,&x\in \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \},\\ 0,& x\in \left[0;1\right]\setminus \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \}\end{matrix}\right.$$
Тогда каждая функция f_{n} интегрируема на отрезке \left[0;1\right], потому что она имеет лишь конечное число точек разрыва \left \{ r_{1},\cdots r_{n}\right \}. С другой стороны, видно, что $$\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=D(x)$$ где D — функция Дирихле. Но как известно, функция Дирихле не интегрируема на отрезке \left[0;1\right].
Вывод: мы построили последовательность интегрируемых функций, сходящуюся к неинтегрируемой функции.

Замечание (для рядов)

... показать

Пример 2

Положим f_{n}(0)=f_{n}(\frac{1}{n})=f_{n}(1)=0, f_{n}(\frac{1}{2n})=n, а на отрезках \left[0;\frac{1}{2n}\right], \left[\frac{1}{2n};\frac{1}{n}\right], \left[\frac{1}{n};1\right] функция f_{n} — линейна. Мы видим, что \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=0,\; \forall x\in \left[0;1\right], так что предельная функция f(x)\equiv 0\; (x\in \left[0;1\right]) интегрируема и \int_{0}^{1}f(x)dx=0. С другой стороны, очевидно, что \int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=\frac{1}{2}, поэтому предельный переход под знаком интеграла недопустим.
Вывод: даже если предельная функция интегрируема, то предел интегралов не обязан равняться интегралу от предельной функции.

Замечание (для рядов)

... показать

Вывод (для рядов)

Воспользовавшись этими примерами мы показали, что нельзя почленно интегрировать сходящийся ряд, т.е. равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$
не верно. Потому что сумма поточечно сходящегося ряда из интегрируемых функций может оказаться неинтегрируемой функцией, а если даже сумма ряда будет функцией интегрируемой, то нужное равенство все равно нельзя гарантировать.

Теорема (об интегрировании равномерно сходящейся последовательности)

Пусть последовательность  \left \{ f_{n}(x) \right \} из непрерывных на отрезке \left[a;b\right ] функций, равномерно сходится к f(x) на этом отрезке. Тогда существует $$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$

Доказательство

... показать

Следствие (об интегрировании равномерно сходящегося ряда)

Пусть \left \{ u_{n} \right \} — последовательность непрерывных на отрезке \left[a;b\right] функций такова, что ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда справедливо равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$

Доказательство

... показать
Следующая теорема является обобщением всех теорем об интегрировании равномерно сходящейся последовательности.

Теорема

Пусть \left\{f_{n}\right\} — последовательность интегрируемых на отрезке \left[a;b\right] функций, равномерно сходящаяся на этом отрезке к функции f. Тогда предельная функция f интегрируема на \left[a;b\right] и справедливо равенство $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$$

Доказательство

... показать

Тесты

равномерная сходимость и интегрирование

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и интегрирование»