Определение. Пусть функция $f$ определена на интервале $(a, b)$ и точка $x_0 \in (a, b)$. Говорят, что функция $f$ непрерывна в точке $x_0$, если $$\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0).$$

Замечание. В отличие от определения предела функции $f$ в точке $x_0$, здесь мы требуем, чтобы функция $f$ была определена не только в проколотой окрестности точки $x_0$, а в целой окрестности точки $x_0$. Кроме того, $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ не просто существует, а равен определенному значению, а именно, $f(x_0)$.

Используя определение предела функции в смысле Коши, определение непрерывности функции $f$ в точке $x_0$ в кванторах можно записать следующим образом: $$\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \forall x \in (a, b): |x — x_0| < \delta \Rightarrow \Big|f(x) — f(x_0)\Big| < \varepsilon.$$

В этом определении можно не требовать выполнения условия $|x — x_0| > 0$, т. к. при $|x − x_0| = 0$ неравенство $\Big|f(x) − f(x_0)\Big| < \varepsilon$, очевидно, выполнено.

Так как величина $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ зависит лишь от тех значений, которые функция $f$ принимает в сколь угодно малой окрестности точки $x_0$, то непрерывность – это локальное свойство функции.

В терминах окрестностей определение непрерывности выглядит следующим образом.

Определение. Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если для любой окрестности $V$ точки $f(x_0)$ найдется такая окрестность $U$ точки $x_0$, что для всех $x \in U$ значение $f(x) \in V$, т. е. $f\Big(U \cap (a, b)\Big) \subset V$.

Применяя определение предела функции в смысле Гейне, определение непрерывности можно сформулировать так.

Определение. Функция $f$, определенная на интервале $(a, b)$, называется непрерывной в точке $x_0 \in (a, b)$, если любая последовательность аргументов $\{x_n\}$ $\Big(x_n \in (a, b), x_n \to x_0\Big)$ порождает последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$, стремящуюся к $f(x_0)$.

Применяя понятие, одностороннего предела (т. е. предела слева и справа) в точке $x_0$, можно дать определения непрерывности слева (справа) в точке $x_0$. Именно, функция $f$ называется непрерывной слева (справа) в точке $x_0$, если $\lim\limits_{x \to x_0-0}f(x) = f(x_0)$ $\Big(\lim\limits_{x \to x_0+0}f(x) = f(x_0)\Big).$ При этом в определении непрерывности слева достаточно считать, что функция $f$ определена лишь в левой полуокрестности точки $x_0$, т. е. на $(a, x_0]$, а для
непрерывности справа – на $[x_0, b)$.

Легко видеть, что справедливо следующее

Определение. Функция $f$, определенная на интервале $(a, b)$, называется разрывной в точке $x_0 \in (a, b)$, если $f$ не является непрерывной в этой точке.

Итак, функция $f$ является разрывной в точке $x_0$, если выполнено одно из двух следующих условий.

1. Либо не существует $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$.
2. Либо предел $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ существует, но он не равен $f(x_0)$.

Пример 1. $f(x) ≡ C = Const$. Эта функция непрерывна в каждой точке $x_0 \in \mathbb{R}$, т. к. для любого $x \in \mathbb{R}$ $\Big|f(x) − f(x_0)\Big| = 0$.

Пример 2. $f(x) = x^2$, $-\infty \lt x \lt +\infty$, $x_0 \in \mathbb{R}$. Зададим $\varepsilon > 0$. Тогда из неравенства $$|x^2 — {x_0}^2| \leqslant \Big(|x| + |x_0|\Big)|x − x_0|$$ следует, что при $|x − x_0| < \delta = \min\Big(1, \frac{\varepsilon}{2|x_0| + 1}\Big)$ справедливо неравенство $|x^2 — {x_0}^2| < \varepsilon$, т. е. $\lim\limits_{x \to x_0}x^2 = {x_0}^2$, а значит, функция $f(x) = x^2$ непрерывна в любой точке $x_0 \in \mathbb{R}$.

Пример 3. $f(x) = \sqrt{x}$, $0 \leqslant x \leqslant +\infty$ Если $x_0 \in (0, +\infty)$, то $$\Big|\sqrt{x} — \sqrt{x_0}\Big| = \frac{|x — x_0|}{\sqrt{x} + \sqrt{x-0}} \leqslant \frac{1}{\sqrt{x_0}}|x — x_0| \lt \varepsilon$$ если только $|x − x_0| \lt \delta \equiv \sqrt{x_0} \cdot \varepsilon$. Таким образом, функция $f(x) = \sqrt{x}$ непрерывна в каждой точке $x_0 \gt 0$. В точке $x_0 = 0$ можно ставить вопрос о непрерывности справа. Имеем $\Big|\sqrt{x} — \sqrt{0}\Big| = \sqrt{x} \lt \varepsilon$, если только $0 \leqslant x \lt \delta \equiv \varepsilon^2$. Итак, $\lim\limits_{x \to 0+}\sqrt{x} = 0 = \sqrt{0}$, т. е. функция $f(x) = \sqrt{x}$ непрерывна справа в точке $0$.

Пример 4. $f(x) = \sin x$, $-\infty \lt x \lt +\infty$. Пусть $x_0 \in \mathbb{R}$. Тогда $$|\sin x − \sin x_0| = \bigg|2\cos{\frac{x + x_0}{2}}\sin{\frac{x — x_0}{2}}\bigg| \leqslant 2\bigg|\sin{\frac{x — x_0}{2}}\bigg| \leqslant |x — x_0|,$$ где последнее неравенство в этой цепочке следует из доказанного выше неравенства $|\sin t| \leqslant |t|$ ($0 \lt |t| \lt \frac{\pi}{2}$). Можем считать, что $|x − x_0| \lt \pi$. Тогда при $|x − x_0| \lt \delta \equiv \min(\pi, \varepsilon)$ справедливо $|\sin{x} − \sin{x_0}| \lt \varepsilon$, т. е. функция $f(x) = \sin{x}$ непрерывна в каждой точке $x_0 \in \mathbb{R}$. Аналогично доказываем, что функция $f(x) = \cos{x}$ непрерывна в каждой точке $x_0 \in \mathbb{R}$.

Пример 5. $f(x) = x \cdot \sin{\frac{1}{x}}$ при $x \neq 0$ и $f(0) = 0$. Покажем, что функция $f$ непрерывна в точке $x_0 = 0$. Имеем $f(0) = 0$ и $$\lim\limits_{x \to 0}f(x) = \lim\limits_{x \to 0}x\sin{\frac{1}{x}} = 0$$ (т. к. $\Big|f(x) − 0\Big| = \Big|x\sin{\frac{1}{x}}\Big| \leqslant |x| \lt \varepsilon$, если только $|x − 0| = |x| \lt \delta \equiv \varepsilon$). Итак, $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(0)$, так что $f$ непрерывна в точке $0$.

Пример 6. $f(x) = \text{sign}\;x$, $x \in \mathbb{R}$. Если $x_0 \neq 0$, то функция $f$ постоянна в некоторой окрестности точки $x_0$ и, следовательно, непрерывна в этой точке. Если же $x_0 = 0$, то не существует предела функции $f$ при $x \to 0$. Значит, функция $f$ разрывна в точке $0$. Более того,$\lim\limits_{x \to 0+}\text{sign}\; x = 1$, $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)\text{sign}\;x = −1$, $\text{sign}\;0 = 0$, так что функция $\text{sign}\; x$ разрывна в точке $0$ как слева, так и справа.

Пример 7. Рассмотрим функцию Дирихле $$\mathcal{D}(x) =
\begin{cases}
1, & \text{если $x \in \mathbb{Q}$;} \\
0, & \text{если $x \in {\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}}$.}
\end{cases}$$ Пусть $x_0 \in \mathbb{R}$. Покажем, что не существует предела функции $\mathcal{D}$ при $x \to x_0$. Для этого выберем последовательность $\{x^\prime\}$ отличных от $x_0$ рациональных чисел, стремящуюся к $x_0$. Тогда $\mathcal{D}(x^\prime_n) = 1$ и, значит, $\lim\limits_{n \to +\infty}\mathcal{D}(x^\prime_n) = 1$. Если же взять последовательность ${x^{\prime\prime}_n}$ отличных от $x_0$ иррациональных чисел, стремящуюся к $x_0$, то получим, что $\mathcal{D}(x^{\prime\prime}_n) = 0$ и $\lim\limits_{n \to +\infty}\mathcal{D}(x^{\prime\prime}_n) = 0$. В силу определения предела функции по Гейне получаем, что функция $\mathcal{D}$ не имеет предела в точке $x_0$. Так как $x_0 \in \mathbb{R}$ – произвольная точка, то это означает, что функция Дирихле разрывна в каждой точке.

Пример 8. $f(x) = x \cdot \mathcal{D}(x)$, $x \in \mathbb{R}$. Функция $f$ разрывна в каждой точке $x_0 \neq 0$. В самом деле, если $\{x^\prime_n\}$ и $\{x^{\prime\prime}_n\}$ соответственно последовательности рациональных и иррациональных отличных от $x_0$ чисел, стремящиеся к $x_0$, то $\lim\limits_{n \to \infty}f(x^{\prime}_n) = x_0$ и $\lim\limits_{n \to \infty}f(x^{\prime\prime}_n) = 0$, так что, в силу определения предела функции по Гейне, функция $f$ не имеет предела в точке $x_0$. Если же $x_0 = 0$, то $\lim\limits_{n \to 0}f(x) = 0 = f(0)$. Действительно, $|f(x)| = |x \cdot \mathcal{D}(x)| \leqslant |x| \lt \varepsilon$, если только $|x − 0| = |x| \lt \delta \equiv \varepsilon$. Это означает, что данная функция непрерывна в единственной точке $x_0 = 0$.

Пример 9. Дана функция $$f(x) =
\begin{cases}
\frac{\sin x}{x}, & \text{если $x \neq 0$;} \\
1, & \text{если $x = 0$.}
\end{cases}$$ Проверить на непрерывность в точке $x_0 = 0$.

Пример 10. Покажите, что функция $f(x) = \frac{x + 3}{x — 2}$ разрывна в точке $x_0 = 2.$

Литература

• З. М. Лысенко, Конспект по математическому анализу, Курс 1, Семестр 1
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский, Курс лекций по математическому анализу, Часть 1, 2010г. стр. 71 — 74
• Л.Д. Кудрявцев, Курс математического анализа, Том 1, 1988-1989г. стр. 172-177
• Г. М. Фихтенгольц, Курс диффренециального и интегрального исчисления, Том 1, 2001г. стр.146 — 148

Непрерывные функции. Определение и примеры

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме: «Непрерывные функции. Определение и примеры.»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Выберите правильное определение непрерывности функции $latex f$ в точке $latex x_0$ в кванторах.

   • $\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \forall x \in (a, b): |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| \lt \varepsilon$
   • $\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \forall x \in (a, b): |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| \gt \varepsilon$
   • $\exists \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \forall x \in (a, b): |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| \lt \varepsilon$
   • $\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \forall x \in (a, b): |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x_0) - f(x)| \gt \varepsilon$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Выберите такие функции $latex f(x)$, что $latex \lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$.

   • $f(x) = \cos{x}$, $x_0 = \pi$
   • $f(x) = \frac{1}{x}$, $x_0 = 0$
   • $f(x) = e^x$, $x_0 = 0$
   • $f(x) = x^3 + 4x^2 + 6$, $x_0 = 0$
   • $f(x) = \frac{1}{e^{x - 2}}$, $x_0 = 2$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Дополните предложение.

   • Функция, определенная на некотором интервале, называется (разрывной, не непрерывной, разрывная, не неприрывной, не непрерывная, расрывной, разрывнной) в точке, если данная точка принадлежит заданному интервалу, а сама функция не является непрерывной в этой точке.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Выберите достаточные условия того, что функция $latex f$ является разрывной в точке $latex x_0$.

   • Не существует $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$
   • Предел $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ существует, но он не равен $f(x_0)$
   • Предел $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ существует, и он равен $f(x_0)$
   • $\lim\limits_{x \to x_0 - 0}f(x)$ и $\lim\limits_{x \to x_0 + 0}f(x)$ не совпадают
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Как называется функция $latex f$, определенная на интервале $latex (a, b)$, если любая последовательность аргументов $latex \{x_n\}$ ($latex x_n \in (a, b)$, $latex x_n \to x_0$) порождает последовательность значений функции $latex \{f(x_n)\}$, стремящуюся к $latex f(x_0)$.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Пусть $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$, $E \subset \mathbb{R}^{n}$ и точка $x_0 \in E$.

Определение. Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta > 0$, что для всех $x \in E$, удовлетворяющих условию $\lvert x−x_0 \rvert < \delta$, справедливо неравенство $\lvert f(x)−f(x_0)\rvert < \varepsilon$.

Если $x_0$ – предельная точка множества $E$, то непрерывность функции $f$ в точке $x_0$ равносильна тому, что $\lim_\limits{{x \to x_0}, {x \in E}} f(x) = f(x_0)$.

Пусть точка $x_0$ не является предельной для $E$. Это означает, что найдется такая окрестность $U$ точки $x_0$, в которой нет других точек множества $E$. Такая точка называется изолированной точкой множества $E$. Ясно, что каждая точка множества $E$ является либо предельной, либо изолированной. Очевидно, в изолированной точке множества $E$ любая функция $f$ непрерывна, это следует сразу из определения непрерывности.

Равносильное данному выше определение непрерывности в терминах окрестностей может быть сформулировано следующим образом.

Определение. Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если для любой окрестности $V$ точки $f(x_0)$ найдется такая окрестность $U$ точки $x_0$, что образ $f(U \cap E)$ множества $U \cap E$ содержится в $V$, т. е. $f(U \cap E) \subset V$ .

Используя определение предела по Гейне, можно также легко сформулировать определение непрерывности функции в точке в терминах последовательностей.

Теорема. Пусть функция $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$, $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Для того чтобы $f$ была непрерывной в точке $x_0$, необходимо и достаточно, чтобы были непрерывными в точке $x_0$ все ее компоненты.

Эта теорема мгновенно вытекает из следующего неравенства: $$\lvert f^i(x) — f^i(x_0)\rvert \leqslant \lvert f(x) — f(x_0)\rvert = \sqrt{\sum_{i=1}^m[f^i(x) — f^i(x_0)]^2}(i = 1,\ldots,m)$$

Теорема. Пусть функции $f,g \colon E\to \mathbb{R}^{m}$, $E \subset \mathbb{R}^{n}$. Если $f$ и $g$ непрерывны в точке $x_0 \in E$, то в этой точке непрерывны и функции $f + g$, $f ·g$. Если $f,g$ – действительные функции и $g(x) \neq 0$ на $E$, то $\frac{f}{g}$ непрерывна в точке $x_0$.

Действительно, если $x_0$ – изолированная точка, то в этой точке непрерывна каждая функция. Если же $x_0$ – предельная точка множества $E$, то для доказательства этой теоремы достаточно применить соответствующую теорему для пределов функции.

Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$, $E \subset \mathbb{R}^{n}$ и $g\colon N\to \mathbb{R}^{k}$, $N \subset \mathbb{R}^{m}$, причем $f(E) \subset N$. Если $f$ непрерывна в точке $x_0 \in E$, а функция $g$ непрерывна в точке $y_0 = f(x_0) \in N$, то композиция $h \equiv g \circ f$ непрерывна в точке $x_0$.

Пусть $\varepsilon > 0$. В силу непрерывности функции $g$ в точке $y_0$, найдется такое $\eta > 0$, что для всех $y \in N$, удовлетворяющих условию $\lvert y−y_0 \rvert < \eta$, выполнено неравенство $\lvert g(y)−g(y_0) \rvert < \varepsilon$. Так как $f$ непрерывна в точке $x_0$, то для числа $\eta$ существует такое $\delta$, что для всех $x \in E$, удовлетворяющих условию $\lvert x−x_0 \rvert < \delta$, справедливо неравенство $\lvert f(x)−f(x_0) \rvert < \eta$. Окончательно, если $\lvert x−x_0 \rvert < \delta$, то, так как $y_0 = f(x_0)$, получаем $\lvert h(x)−h(x_0)\rvert = \lvert g(f(x))−g(f(x_0))\rvert < \varepsilon$.

Определение. Функция $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$ называется непрерывной на множестве $E$, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пример 1. Рассмотрим $\pi^i(x) = x^i (x \in \mathbb{R}^{n}), \pi^i \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} (i \in 1,\ldots,n)$. Имеем $$\lvert \pi^i(x)−\pi^i(x_0)\rvert = \lvert x^i −x^i_0\rvert \leqslant \lvert x−x_0\rvert,$$ так что функция $\pi^i$ непрерывна на всем $\mathbb{R}^{n}$.

Пример 2. Пусть $f(x) = (x^i)^ν$, где $ν \in \mathbb{N}$. Тогда функция $f\colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ непрерывна на всем пространстве $\mathbb{R}^{n}$.

Действительно, рассмотрим функцию $g(t) = t^ν (t \in \mathbb{R})$. Тогда $f = g \circ\pi^i$ и из теоремы о непрерывности сложной функции сразу получаем утверждение.

Пример 3. Функция $$f(x) = \sum_{{i_1}=0}^{m_1}\ldots\sum_{{i_n}=0}^{m_n} C_{i_1,\ldots,i_n}(x^1)^{i_1}\ldots(x^n)^{i_n}$$ непрерывна на всем пространстве $\mathbb{R}^{n}$. Это следует из двух предыдущих примеров.

Пример 4.Пусть $f(x) = \lvert x\rvert (x \in \mathbb{R}^{n})$. Тогда из неравенства $$\lvert f(x)−f(x_0)\rvert = \lvert \lvert x\rvert −\lvert x_0\rvert\rvert \leqslant \lvert x−x_0\rvert (x, x_0 \in \mathbb{R}^{n})$$ сразу следует непрерывность функции $f$.

Определение. Множество $A \subset \mathbb{R}^{n}$ называется открытым относительно множества $B \subset \mathbb{R}^{n}$, если существует такое открытое множество $G \subset \mathbb{R}^{n}$, что $A = G \cap B$.

Теорема. Если функция $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$ непрерывна на множестве $E,$ то прообраз любого открытого множества $H \subset \mathbb{R}^{n}$ открыт относительно $E$.

Примеры решения задач

1. Будет ли функция $f(x,y) = x^6 + y^3 + 2x^4y^3 — 1$ непрерывной на $\mathbb{R}^{2}$?
   
   Решение

   Да, будет по вышеуказанной теореме, как сумма непрерывных функций $f_1(x,y) = x^6 + y^3$ и $f_2(x,y) = 2x^4y^3 — 1$. Каждая из них в свою очередь, очевидно будет непрерывна, потому что для любого $(x_0,y_0) \in \mathbb{R}^{2}$ $$\lim_{{x \to x_0}, {y \to y_0}} f_1(x, y) = \lim_{{x \to x_0}, {y \to y_0}} x^6 + y^3 = x_0^6+y_0^3 = f_1(x_0)$$ $$\lim_{{x \to x_0}, {y \to y_0}} f_2(x, y) = \lim_{{x \to x_0}, {y \to y_0}} 2x^4y^3 — 1 = 2x_{0}^4y_0^3 = f_2(x_0)$$

2. Исследовать на непрерывность функцию $f(x,y)$ в точке $O(0, 0)$.
   $$\begin{equation*}
   f(x,y) =
   \begin{cases}
   \dfrac{2xy}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0\\
   0, x^2+y^2=0.
   \end{cases}
   \end{equation*}$$
   Решение

   $$\lim_{x\to 0} f(x,y) = \lim_{x\to 0}\dfrac{2\cdot 0 \cdot y}{0+y^2} = 0$$ $$\lim_{y\to 0} f(x,y) = \lim_{y\to 0}\dfrac{2y \cdot 0}{x^2+0} = 0$$ Тем не менее, функция разрывна в $O(0, 0)$, что показывается по Гейне. Выберем последовательности точек $(\dfrac1n, \dfrac1n)$ и $(\dfrac1n, -\dfrac1n)$, сходящиеся к $O(0,0)$. $$\lim f(\dfrac1n, \dfrac1n) = \lim_{(x,y)\to(\frac1n, \frac1n)}\dfrac{2xy}{x^2+y^2} = \lim_{(x,y)\to(\frac1n, \frac1n)}\dfrac{2\cdot\dfrac1n\cdot\dfrac1n}{\dfrac1{n^2}+\dfrac1{n^2}} = 1$$ $$\lim f(\dfrac1n, -\dfrac1n) = \lim_{(x,y)\to(\frac1n, -\frac1n)}\dfrac{2xy}{x^2+y^2} = \lim_{(x,y)\to(\frac1n, -\frac1n)}\dfrac{2\cdot\dfrac1n\cdot(-\dfrac1n)}{\dfrac1{n^2}+\dfrac1{n^2}} = -1$$
   Так как $\lim f(\dfrac1{n}, \dfrac1{n}) \neq\lim_\limits{(x,y)\to(\frac1{n}, -\frac1{n})}f(x,y)$, то функция не непрерывна в данной точке.

3. Показать, что функция $$f(x,y) = \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, \textrm{ если } x^2+y^2\neq 0$$ и $$f(0,0) = 0$$ непрерывна в окрестности точки $(0, 0)$.
   
   Решение

   Вне $0$ функция, очевидно, будет непрерывна, как композиция непрерывных. Найдём предел функции в точке $(0,0)$ : $$\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = \lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{\dfrac{xy}{xy}}{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{xy}}=$$ $$=\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac1{\sqrt{\dfrac1{y^2}+\dfrac1{x^2}}} = 0.$$ Так как $f(0,0) = \lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$, то функция непрерывна в $(0,0)$. Что и требовалось доказать.

Литература

1. Коляда В.И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса : Астропринт , 2009. с. 252-255.
2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — с.288-291.
3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — 607 с. — С. 362-364.
4. Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, 13-ое издание, Московского университета, 1997, с. 318

Если для исследования сходимости последовательности применять определение предела, то мы заранее должны знать, является ли данная последовательность сходящейся и значение ее предела. Используя определение предела, мы можем лишь доказывать выдвинутую гипотезу. Однако в ряде случаев по самому виду последовательности трудно определить, является ли она сходящейся или расходящейся. Например, $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$ . В связи с этим возникает необходимость найти внутреннее свойство последовательности, равносильное сходимости и не
зависящее от числа $a$ – предела последовательности. Мы докажем, что таким свойством является фундаментальность.

Определение. Последовательность $\{x_n\}$ называется фундаментальной (сходящейся в себе), если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$, зависящий, вообще говоря, от $\varepsilon$, что для всех номеров $n \geqslant N$, $m \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n — x_m| < \varepsilon$.

Существенное отличие определения фундаментальности от определения предела состоит в том, что в определении предела мы должны знать значение предела, а в определении фундаментальности это не требуется. Смысл определения предела состоит в том, что все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличаются от значения предела, т. е. $|x_n — a| < \varepsilon$ при $n \geqslant N = N(\varepsilon)$. В определении фундаментальности требуется чтобы все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличались друг от друга $\Big(|x_n — x_m| < \varepsilon$, $n, m \geqslant N = N(\varepsilon)\Big).$

Равносильность сходимости последовательности и ее фундаментальности устанавливает следующая теорема.

Определение фундаментальности последовательности можно сформулировать в такой эквивалентной форме.

Определение. Последовательность $\{x_n\}$ называется фундаментальной, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$, зависящий, вообще говоря, от $\varepsilon$, что для любого $n \geqslant N$ и для любого $p \in N$ справедливо неравенство $|x_{n + p} — x_n| < \varepsilon$.

Пользуясь этим определением, скажем, что последовательность $\{x_n\}$ не является фундаментальной, если найдется такое $\varepsilon_0 > 0$, что для любого $N$ существуют такой номер $n \geqslant N$ и такое натуральное число $p$, что $|x_{n + p} − x_n| \geqslant \varepsilon_0$.

Упражнение. Покажите, что условие $\lim\limits_{n \to \infty}(x_{n+p} — x_n) = 0$, справедливое при любом натуральном $p$, не влечет фундаментальность последовательности $\{x_n\}$

Литература

• З. М. Лысенко, Конспект по математическому анализу, Курс 1, Семестр 1
• В. И. Коляда, А. А. Кореновский, Курс лекций по математическому анализу, Часть 1, 2010г. стр. 29 — 33
• Л. Д. Кудрявцев, Курс математического анализа, Том 1, 1988-1989г. стр. 115-118

Критерий Коши

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме: «Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Последовательность $latex \{x_n\}$ называется фундаментальной (сходящейся в себе), если для любого $latex \varepsilon > 0$ найдется такой номер $latex N$, зависящий, вообще говоря, от $latex \varepsilon$, что для всех номеров $latex n \geq N$, $latex m \geq N$ справедливо неравенство

   • $x_n - x_m > \varepsilon$
   • $|x_n - x_m| < \varepsilon$
   • $|x_n + x_m| < \varepsilon$
   • $|x_n - x_m| \geq \varepsilon$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Какие из данных последовательностей являются фундаментальными?

   • $x_n = \frac{\sin \alpha}{2} + \frac{\sin 2\alpha}{2^2} + \ldots + \frac{\sin n\alpha}{2^n}$
   • $x_n = (-1)^n$
   • $x_n = \frac{n}{3n + 2}$
   • $x_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Вставьте пропущенное слово.

   • Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была (фундаментальной, фундаментальная, фундаментальный, фундаментальна, фундаминтальна, фунтаментальной).
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Поставьте в соответствие.

   Элементы сортировки

   • для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$, зависящий, вообще говоря, от $\varepsilon$, что для любого $n \geq N$ и для любого $ p \in N$ справедливо неравенство $|x_{n + p} - x_n| < \varepsilon$.
   • найдется такое $\varepsilon_0 > 0$, что для любого $N$ существуют такой номер $n \geq N$ и такое натуральное число $p$, что $|x_{n + p} − x_n| \geq \varepsilon_0$.
   • внутреннее свойство последовательности, равносильное сходимости и не зависящее от числа $a$ – предела последовательности.

   • Последовательность $\{x_n\}$ называется фундаментальной, если

   • Последовательность $ \{x_n\}$ не является фундаментальной, если

   • Фундаментальность - это

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Выберите правильные утверждения.

   • Из фундаментальности числовой последовательности следует её сходимость.
   • Любая числовая последовательности, которая является сходящейся, также является фундаментальной.
   • Последовательность $x_n = \frac{(n + 1)^2}{2n^2}$ является сходящейся и фундаментальной.
   • Последовательность $x_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2n}$ является сходящейся и фундаментальной.
   Правильно
   

   Неправильно