Бесконечно малые последовательности и их свойства

Бесконечно малые последовательности

Определение бесконечно малой последовательности

Последовательность \left \{ \alpha_{n} \right \}  называется бесконечно малой, если \lim\limits_{n \rightarrow \infty }\alpha_{n} =0 , т.е. \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|\alpha_{n}|<\varepsilon .

Геометрическая интерпретация

E-okr01

Свойства бесконечно малых последовательностей

  1. Бесконечно малая последовательность ограничена.
  2. Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.
  4. Если элементы бесконечно малой последовательности \left\{\alpha_{n}\right\} равны одному и тому же числу C , то C=0 .

Доказательство.

  1.  Пусть \left\{ \alpha_{n}\right\} — бесконечно малая последовательность, \varepsilon — некоторое положительное число. Пусть N — номер, такой, что \forall n \geqslant N \; \left|\alpha_{n}\right|<\varepsilon . Обозначим \max \left \{\varepsilon,\left|\alpha_{1}\right|,\left|\alpha_{2}\right|,\,...\,,\left|\alpha_{n-1}\right|\right \} числом A. Получим:\forall\varepsilon>0 \;\exists A=\max\left\{\varepsilon,\left|\alpha_{1}\right|,\left|\alpha_{2}\right|,\,...\,,\left|\alpha_{n-1}\right|\right\}:\forall n\in\mathbb{N}\; \left|\alpha_{n}\right|<A , что и означает, что последовательность ограничена.
  2. Пусть \left\{ \alpha_{n} \right\} и \left\{ \beta_{n} \right\} — бесконечно малые последовательности. Пусть \varepsilon — произвольное положительное число, N_{1} — номер, начиная с которого \left|\alpha_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2} , а N_{2} — номер, начиная с которого \left|\beta_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2} . Такие номера найдутся по определению бесконечно малой последовательности. Тогда по свойству модулей \left|\alpha_{n}+\beta_{n}\right|\leq \left|\alpha_{n}\right|+\left|\beta_{n}\right| . Обозначим через N наибольший из номеров <N_{1} и N_{2} . Получим: \forall \varepsilon>0\;\exists N\; \forall n\geq N \left|\alpha_{n}+\beta_{n}\right|<\varepsilon , что означает, что последовательность \left\{\alpha_{n}+\beta_{n}\right\} — бесконечно малая.
  3. Пусть последовательность \left\{ \alpha_{n} \right\} — бесконечно малая, а \left\{ x_{n} \right\} — ограниченная. По определению,  \exists\, c>0:\forall n\in \mathbb{N} \left|x_{n}\right|<c  и \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|\alpha_{n}|<\frac{\varepsilon}{c} . По свойству модулей, \left|\alpha_{n}\cdot x_{n}\right|=\left|\alpha_{n}\right|\cdot\left|x_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{c}\cdot c=\varepsilon . Получили:\forall\,\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N}:\forall n\geq N\:\left|\alpha_{n}\cdot x_{n}\right|<\varepsilon , а это означает по определению, что последовательность \left\{\alpha_{n}\cdot x_{n}\right\}   — бесконечно малая.
    Следствие: произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  4. Пусть C\neq 0 . Тогда для \varepsilon=\frac{\left|C\right|}{2}\;\;\exists N: \forall n\geq N \left|\alpha_{n}\right|<\frac{\left|C\right|}{2} . По условию, \alpha_{n}=C , тогда C<\frac{\left|C\right|}{2} . Получили противоречие, следовательно, C=0 .

Примеры

  1. Последовательность \frac{1}{n} — бесконечно малая, т.к. \forall\varepsilon>0\;\;\exists N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1:\;\forall n\geq N\;\;\frac{1}{n}<\varepsilon .
  2. \frac{\sin n}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sin n   — бесконечно малая, т.к. \sin n — ограниченная, а \lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}=0 .
  3. \frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}=\frac{1}{n}\cdot\left(-1 \right )^{n} — бесконечно малая, т.к.\left(-1 \right )^{n}   — ограниченная, а \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 .
  4. \sin\frac{1}{n} — бесконечно малая при n\rightarrow\infty , т.к. \forall\varepsilon>0\;\sin\frac{1}{n}<\varepsilon при n>\frac{1}{\arcsin{\varepsilon}} .
  5. \frac{n}{n^2+1} — бесконечно малая, т.к. \frac{n}{n^2+1}<\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n} , которая является бесконечно малой.

Бесконечно малые последовательности и их свойства

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Литература: