Бесконечно малые функции

Если \lim_{x\rightarrow a }f(x)=0, то функция f(x) называется бесконечно малой при x\rightarrow a.

Свойства

  1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых функций при x\rightarrow a есть бесконечно малая функция при x\rightarrow a
  2. Доказательство
    Пусть f_{1}(x),f_{2}(x),..,f_{n}(x) бесконечно малые функции при x\rightarrow a. Тогда существуют числа \delta _{1},\delta _{2},..,\delta _{n} и число \varepsilon >0 такие что
    |x-a|<\delta _{1},|x-a|<\delta _{2},..,|x-a|<\delta _{n} (1)
    что влечет за собой условия
    |f_{1}(x)|<\frac{\varepsilon }{n},|f_{2}(x)|<\frac{\varepsilon }{n},..,|f_{n}(x)|<\frac{\varepsilon }{n} (2).
    Если \delta =\min\begin{Bmatrix}\delta _{1};\delta _{2};..;\delta _{n}\end{Bmatrix}, то условие |x-a|<\delta усиливает группу условий (1) что влечет за собой группу условий (2). Следовательно
    \\|f_{1}(x)+f_{2}(x)+..+f_{n}(x)|\leqslant |f_{1}(x)|+|f_{2}(x)|+..+|f_{n}(x)|\\|f_{1}(x)|+|f_{2}(x)|+..+|f_{n}(x)|<\sum_{1}^{n}\frac{\varepsilon }{n}=\varepsilon\\|f_{1}(x)+f_{2}(x)+..+f_{n}(x)|<\varepsilon

  3. Произведение бесконечно малой функции f(x) на ограниченную g(x) в некоторой проколотой окрестности точки a есть бесконечно малая функция при x\rightarrow a
  4. Доказательство
    Так как функция g(x) ограничена, то для x удовлетворяющих условию
    |x-a|<\delta _{1} (1)
    существует число
    C:|g(x)|<C (2)
    Так как функция f(x) бесконечно малая, то существует некоторая окрестность \delta _{2} и число
    \varepsilon >0 для которых выполняются условия
    |x-a|<\delta _{2} (3)
    и
    |f(x)|<\frac{\varepsilon}{C} (4)
    Выберем \delta=\min\begin{Bmatrix}\delta _{1};\delta _{2}\end{Bmatrix}. Тогда условие |x-a|<\delta более сильное чем (1) и (3) и поэтому оно влечет за собой условия (2) и (4).
    Следовательно |f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|<\frac{\varepsilon }{C}C =\varepsilon

  5. Произведение конечного числа бесконечно малых функций при x\rightarrow a есть бесконечно малая функция при x\rightarrow a
  6. Доказательство
    Так как любая бесконечно малая функция f(x) при x\rightarrow a будет ограничена в некоторой \delta окрестности точки a, то доказательство сводится к доказательству свойства 2.

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 83

Следующая тема →

Бесконечно малые последовательности и их свойства

Бесконечно малые последовательности

Определение бесконечно малой последовательности

Последовательность \left \{ \alpha_{n} \right \}  называется бесконечно малой, если \lim\limits_{n \rightarrow \infty }\alpha_{n} =0 , т.е. \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|\alpha_{n}|<\varepsilon .

Геометрическая интерпретация

E-okr01

Свойства бесконечно малых последовательностей

  1. Бесконечно малая последовательность ограничена.
  2. Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.
  4. Если элементы бесконечно малой последовательности \left\{\alpha_{n}\right\} равны одному и тому же числу C , то C=0 .

Доказательство.

  1.  Пусть \left\{ \alpha_{n}\right\} — бесконечно малая последовательность, \varepsilon — некоторое положительное число. Пусть N — номер, такой, что \forall n \geqslant N \; \left|\alpha_{n}\right|<\varepsilon . Обозначим \max \left \{\varepsilon,\left|\alpha_{1}\right|,\left|\alpha_{2}\right|,\,...\,,\left|\alpha_{n-1}\right|\right \} числом A. Получим:\forall\varepsilon>0 \;\exists A=\max\left\{\varepsilon,\left|\alpha_{1}\right|,\left|\alpha_{2}\right|,\,...\,,\left|\alpha_{n-1}\right|\right\}:\forall n\in\mathbb{N}\; \left|\alpha_{n}\right|<A , что и означает, что последовательность ограничена.
  2. Пусть \left\{ \alpha_{n} \right\} и \left\{ \beta_{n} \right\} — бесконечно малые последовательности. Пусть \varepsilon — произвольное положительное число, N_{1} — номер, начиная с которого \left|\alpha_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2} , а N_{2} — номер, начиная с которого \left|\beta_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2} . Такие номера найдутся по определению бесконечно малой последовательности. Тогда по свойству модулей \left|\alpha_{n}+\beta_{n}\right|\leq \left|\alpha_{n}\right|+\left|\beta_{n}\right| . Обозначим через N наибольший из номеров <N_{1} и N_{2} . Получим: \forall \varepsilon>0\;\exists N\; \forall n\geq N \left|\alpha_{n}+\beta_{n}\right|<\varepsilon , что означает, что последовательность \left\{\alpha_{n}+\beta_{n}\right\} — бесконечно малая.
  3. Пусть последовательность \left\{ \alpha_{n} \right\} — бесконечно малая, а \left\{ x_{n} \right\} — ограниченная. По определению,  \exists\, c>0:\forall n\in \mathbb{N} \left|x_{n}\right|<c  и \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|\alpha_{n}|<\frac{\varepsilon}{c} . По свойству модулей, \left|\alpha_{n}\cdot x_{n}\right|=\left|\alpha_{n}\right|\cdot\left|x_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{c}\cdot c=\varepsilon . Получили:\forall\,\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N}:\forall n\geq N\:\left|\alpha_{n}\cdot x_{n}\right|<\varepsilon , а это означает по определению, что последовательность \left\{\alpha_{n}\cdot x_{n}\right\}   — бесконечно малая.
    Следствие: произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  4. Пусть C\neq 0 . Тогда для \varepsilon=\frac{\left|C\right|}{2}\;\;\exists N: \forall n\geq N \left|\alpha_{n}\right|<\frac{\left|C\right|}{2} . По условию, \alpha_{n}=C , тогда C<\frac{\left|C\right|}{2} . Получили противоречие, следовательно, C=0 .

Примеры

  1. Последовательность \frac{1}{n} — бесконечно малая, т.к. \forall\varepsilon>0\;\;\exists N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1:\;\forall n\geq N\;\;\frac{1}{n}<\varepsilon .
  2. \frac{\sin n}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sin n   — бесконечно малая, т.к. \sin n — ограниченная, а \lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}=0 .
  3. \frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}=\frac{1}{n}\cdot\left(-1 \right )^{n} — бесконечно малая, т.к.\left(-1 \right )^{n}   — ограниченная, а \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 .
  4. \sin\frac{1}{n} — бесконечно малая при n\rightarrow\infty , т.к. \forall\varepsilon>0\;\sin\frac{1}{n}<\varepsilon при n>\frac{1}{\arcsin{\varepsilon}} .
  5. \frac{n}{n^2+1} — бесконечно малая, т.к. \frac{n}{n^2+1}<\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n} , которая является бесконечно малой.

Бесконечно малые последовательности и их свойства

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Литература:

Символ Ландау

Символами Ландау являются «О» большое и «о» малое (O и o).

Определение:

Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x_0, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что:

  • f является «О» большим от g при x\to x_0 и пишут f=\underset{x\to x_0}{O(g)}, если существует такая константа C>0, что для всех x из некоторой окрестности точки x_0 имеет место неравенство |f(x)| \leq C |g(x)|;
  • f является «о» маленьким от g при x\to x_0 и пишут f=\underset{x\to x_0}{o(g)}, если для любого \varepsilon >0 найдется такая проколотая окрестность U'_{x_0} точки x_0, что для всех x \in U'_{x_0} имеет место неравенство |f(x)|<\varepsilon|g(x)|.

Иначе говоря, в первом случае отношение |f|/|g| в окрестности точки x_0 ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при x\to x_0, то есть функция f является бесконечно малой в сравнении с g.

Примеры:

x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}, т.к. \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x=0;
\sin^2 x=\underset{x\to x_0}{O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}, т.к. \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0;
-x^3={O(x)}, т.к. \lim\limits_{x\to 0}\frac{-x^3}{x}=\lim\limits_{x\to 0}-x^2; а функция -x^2 ограничена сверху в окрестности точки 0.
\sin^2 x={O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}, т.к. \lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin^2 x}{x}=\lim\limits_{x\to x_0}\sin x; а функция \sin x всегда ограничена сверху единицей.

Свойства «О» большого и «о» маленького

Для функций f=f(x),\:g=g(x) и x \epsilon \mathbb{R} справедливы равенства:

  1. o(f)+o(f)=o(f);
  2. o(f) тем более есть O(f);
  3. o(f)+O(f)=O(f);
  4. O(f)+O(f)=O(f);
  5. \frac{o(f(x))}{g(x)}=o(\frac{f(x)}{g(x)}) и \frac{O(f(x))}{g(x)}=O(\frac{f(x)}{g(x)}), если g\neq 0; 
  6. o(o(f))=o(f);
  7. o(Cf)=o(f);
  8. C\cdot o(f)=o(f);
  9. o(f+o(f))=o(f);
  10. o(f)\pm o(f)=o(f);
  11. o(f^n)\cdot o(f^m)=o(f^{n+m}), n,m\epsilon\mathbb{N};
  12. (o(f))^n=o(f^n), n \epsilon\mathbb{N} .

Примеры:

\underset {x\to 0}{o(x^2)+o(x^2)}=\underset{x\to 0}{o(x^2)}
\underset {x\to 0}{o(2x^5)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}
\underset {x\to 0}{o(x^2)\cdot o(x^3)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}.

Символ Ландау

Тест по теме «Символ Ландау»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
  2. Википедия, статья «О большое и о малое»
  3. Кытманов А.А., Математический анализ, параграф 1.15.

Рекомендуемая к прочтению литература:

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Определение:

Если в некоторой проколотой окрестности точки x_0 определены функции f,g и \alpha, такие, что имеют место соотношения f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0, то функцию f называют бесконечно малой функцией в сравнении с g при x\to x_0 и пишут f=\underset{x\to x_0}{o(g)}; f(x)=\underset{x\to x_0}{o(g(x))} .

Замечание:

Если \forall x \epsilon U_{\delta}(x_0): g(x)\neq 0, то \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x}=\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0 .

Примеры:

x^2=\underset{x\to \infty}{o(x^4)}, т.к. \lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{x^4}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^2}=0

\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}=0: \sin x=\underset{x\to \infty}{o(x)}
\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\arctan x}{x}=0: \arctan x=\underset{x\to \infty}{o(x)}.

Определение:

  • В случае, когда в записи f=\underset{x\to x_0}{o(g)}   g — бесконечно малая функция, говорят, что fбесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем g, gбесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем f.
  • В случае, когда в записи \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=a, a<\infty, a\neq 0, f и g — бесконечно малые функции при x\to x_0, говорят, что f и g являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
  • В случае, когда в записи \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g^m(x)}=a, a<\infty, a\neq 0  g — бесконечно малая функция, говорят, что бесконечно малая функция f имеет m-й порядок малости относительно функции g.

Примеры:

x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}, т.к. \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x \to 0}x=0. x^2 — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x;
x^3\sin\frac{1}{x}=\underset{x\to 0}{o(x)}; т.к. \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0 (т.к. sin \frac{1}{x} — ограниченная функция). x^3 sin\frac{1}{x} — функция более высокого порядка малости, чем x;
\tan^2 x=\underset{x\to 0}{o(x)}, т.к. \lim\limits_{x \to 0}\frac{\tan^2 x}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\tan x=0. \tan^2 x — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x;
\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1. Функции \tan x и x являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan^6 x}{x^6}=1. \tan^6 x имеет 6-й порядок малости относительно x.

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Тест по теме «Бесконечно большая функция в сравнении с другой»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
  2. Википедия, статья «Бесконечно малая и бесконечно большая»

Рекомендуемая к прочтению литература: