Теорема Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами

Тригонометрическим многочленом степени $n$ называют бесконечно дифференцируемую и $2\pi$-периодическую функцию $$T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \sum \limits_{k=1}^{n} a_k \cos kx + b_k \sin kx,$$ где $a_0, a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n$ — некоторые вещественные числа, $a_n \cdot b_n \neq 0$. Множество всех тригонометрических многочленов образует линейное пространство.

Теорема 1 (Вейерштрасса)

Любую непрерывную $2\pi$-периодическую функцию можно с любой степенью точности равномерно приблизить тригонометрическим многочленом, то есть для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такой тригонометрический многочлен $T_n(x)$, что $$\max \limits_{-\infty < x < +\infty} \left| f(x) — T_n(x) \right| < \varepsilon.$$

Доказательство

Так, как сумма Фейера $\sigma_n(x)$ — это среднее арифметическое частичных сумм ряда Фурье функции $f(x)$, которые являются тригонометрическими многочленами, то она также будет тригонометрическим многочленом. В силу теоремы Фейера, для любого $\varepsilon > 0$ найдётся сумма Фейера $\sigma_n(x)$ такая, что $$\max \limits_{x \in \mathbb{R}} \left| f(x) — \sigma_n (x) \right| < \varepsilon.$$

Замечание

Непрерывную функция $f(x)$ на отрезке $[-\pi, \pi]$ можно равномерно приблизить на этом отрезке тригонометрическим многочленом в том и только том случае, когда $f(\pi) = f(-\pi)$.

Теорема 2 (Вейерштрасса)

Непрерывную на отрезке $[a, b]$ функцию $f(x)$ можно равномерно приблизить с любой степенью точности многочленом, то есть для любого $\varepsilon > 0$ найдётся многочлен $P_n(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n$ такой, что $$\max \limits_{a \le x \le b} \left| f(x) — P_n(x) \right| < \varepsilon.$$

Доказательство.

Пусть $[a, b] = [0, \pi]$ и чётным образом продолжим функцию $f(x)$ на отрезок $[-\pi, 0]$, а затем на всю вещественную ось с периодом $2 \pi$. Получим чётную, $2 \pi$-периодическую непрерывную функцию, совпадающую с $f(x)$ на отрезке $[0, \pi]$ (рис.1).

Weierstrass-theorem

В силу теоремы Фейера для любого $\varepsilon > 0$ найдётся тригонометрический многочлен $T_m(x)$ такой, что $$\max \limits_{-\infty < x < +\infty} \left| f(x) — T_m(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}. (1)$$

Каждая из функций $\sin kx$ и $\cos kx$ является аналитической и поэтому раскладывается в степенной ряд, сходящийся на всей числовой прямой. Так как $T_m(x)$ — это конечная линейная комбинация функций $\sin kx$ и $\cos kx$, то $T_m(x)$ также раскладывается в степенной ряд, сходящийся для всех вещественных $x$, $$T_m(x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n + \ldots.$$

Известно, что на любом отрезке $[\alpha, \beta]$, лежащем внутри интервала сходимости, степенной ряд сходится равномерно. Следовательно, $\forall \varepsilon > 0$ существует такое $k$, что $$\max \limits_{0 \le x \le \pi} \left| T_m(x) — (c_0 + c_1 x + \ldots + c_k x^k) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}. (2)$$

Если положить $P_k (x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_k x^k$, то в силу (1) и (2) получаем $$\left| f(x) — P_k(x) \right| \le \left| f(x) — T_m(x) \right| + \left| T_m(x) — P_k(x) \right| \le$$ $$\le \max \limits_{-\infty < x < +\infty} \left| f(x) — T_m(x) \right| + \max_{0 \le x \le \pi} \left| T_m(x) — P_k(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

Следовательно, $$\max \limits_{0 \le x \le \pi} \left| f(x) — P_k(x) \right| < \varepsilon.$$

Пусть теперь функция $f(x)$ непрерывна на произвольном отрезке $[a, b]$. Положим $F(t) = f(a + \dfrac{t}{\pi} (b — a))$, $0 \le t \le \pi$.

Тогда функция $F(t)$ непрерывна на $[0, \pi]$ и её можно равномерно приблизить на $[0, \pi]$ многочленом $Q_k(t)$, т.е. $$\max \limits_{0 \le t \le \pi} \left| f(a + \dfrac{t}{\pi} (b — a)) — Q_k(t) \right| < \varepsilon. (3)$$

Полагая $x = a + \dfrac{t}{\pi} (b-a), P_k(x) = Q_k (\pi \dfrac{x — a}{b — a})$,
получаем из неравенства (3), что $$\max \limits_{a \le x \le b} \left| f(x) — P_k(x) \right| < \varepsilon.$$

Литература

Теорема Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами

Тест по теме «Теорема Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами».

Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях на компактных множествах

Первая теорема Вейерштрасса

Пусть K — компакт в \mathbb{R}^{n} и функция f: K\rightarrow \mathbb{R}^{m} непрерывна на K. Тогда эта функция ограничена на K.

Доказательство

В силу непрерывности f, для любого x\in K найдётся окрестность U_{x}, такая что функция f ограничена на множестве U_{x}, то есть для каждого y\in K \cap U_{x} справедливо неравенство \begin{Vmatrix} f(y) \end{Vmatrix}\leq M_{x}, где M_{x} зависит от x. Совокупность открытых шаров U_{x} образует открытое покрытие компактного множества K. В силу компактности, из него можно выделить конечное подпокрытие U_{x_{1}}, ..., U_{x_{p}}. Этим шарам соответствуют числа M_{x_{1}}, ..., M_{x_{p}}. На каждом и этих шаров функция f ограничена этим числом. Пускай M=\max_{1\leq i\leq p}M_{x_{i}}. Тогда для любого x\in K получим, что \begin{Vmatrix} f(x) \end{Vmatrix}\leq M.

Пусть функция f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} непрерывна на \left[a, b \right]. По первой теореме Вейерштрасса эта функция ограничена на \left[a, b \right].

Vey1

Вторая теорема Вейерштрасса

Пусть f: K\rightarrow \mathbb{R} — действительная непрерывная функция на компакте K\subset \mathbb{R}^{n}. Тогда на этом множестве функция f достигает своей верхней и нижней границы, то есть существуют такие x^{'}, x^{''}\in K, что

f(x^{'})=\sup_{x\in E}f\left(x \right), f(x^{''})=\inf_{x\in E}f\left(x \right).

Доказательство

Пусть f: E\rightarrow \mathbb{R}, где E\subset \mathbb{R}^{n}. Функция f называется ограниченной сверху на множестве E, если существует такая постоянная M, то для всех x\in E справедливо неравенство \begin{Vmatrix} f(x) \end{Vmatrix}\leq M. Каждое такое число M называется верхней границей функции f, а наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей или верхней гранью функции f и обозначается \sup_{x\in E}f\left(x \right).

Пойдём от противного. Допустим, верхняя грань не достигается, то есть для каждого x\in K справедливо неравенство f(x)<M, где M — верхняя грань функции f на K.

Рассмотрим функцию \varphi (x)=\frac{1}{M-f(x)}. Эта функция положительна и непрерывна в каждой точке x\in K. По ранее доказанной первой теореме Вейерштрасса она ограничена, то есть существует такое число \mu >0, что \varphi (x)\leq \mu для любого x\in K. Это означает, что \frac{1}{M-f(x)}\leq \mu, или, что то же самое, f(x)\leq M-\frac{1}{\mu}(x\in K). Следовательно, число M-\frac{1}{\mu} является верхней границей для функции f. Но так как \mu >0, то это противоречит тому, что M является верхней гранью функции f, то есть наименьшей из всех верхних границ.

Аналогично теорема доказывается и для нижней грани.

Пусть функция f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} непрерывна на \left[a, b \right]. Тогда на этом множестве функция f достигает своей верхней и нижней граней M=f(x^{''})=\sup_{x\in E}f\left(x \right), m=f(x^{'})=\inf_{x\in E}f\left(x \right).

Vey2

Пример

Пусть f(x,y)=x^{5}+y^{4}+2x^{3}y^{2}+1. Будет ли f ограничена на \left[5, 7 \right]\times\left[8,9 \right]?

Ответ показать

Тест на знание теорем Вейерштрасса о непрерывных функциях на компакте

Тест поможет понять, как хорошо вы усвоили приведённый выше материал.

Вторая теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней границ

Вторая теорема Вейерштрасса

Если f\in C[a;b] , то она достигает своих точных граней, то есть

 \exists \xi \in [a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x)  и

\exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})= \inf\limits_{x \in [a;b]} f(x) .

Доказательство:

\exists \xi \in [ a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b] } f(x)
Обозначим M=\sup f(x) (следует из первой теоремы Вейерштрасса)
В силу определения точной верхней грани выполняется условие: \forall x\in [a;b]:f(x)\leq M
\forall \varepsilon >0\; \exists x_{\varepsilon }\in [a;b]:M-\varepsilon <f(x_{\varepsilon })

Полагая \varepsilon =1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},... получим последовательность \left \{ x_{n} \right \}такую, что для всех  n\in N выполняются условия \forall n\in \mathbb{N}:M-\frac{1}{n}<f(x_{n})\leq M откуда получаем  \lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n}) существует подпоследовательность \left \{ x_{n_{k}} \right \}  (по теореме Больцано-Вейерштрасса) последовательности \left \{ x_{n} \right \}  и точка \xi , такие что  \lim\limits_{x \to \infty } x_{n_{k}}=\xi ,  где  \xi\in [a;b].
В силу непрерывности функции f в точке \xi \lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=f(\xi )

С другой стороны \left \{ f(x_{n_{k}}) \right \} — подпоследовательность последовательности \left \{ f(x_{n}) \right \}, сходящейся к числу M.
Поэтому  \lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=M
В силу единственности предела последовательности заключаем, чтоf(\xi )=M=\sup\limits_{x \in [a;b]} f(x);

Утверждение \exists \xi \in [ a; b]:f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x) доказано.

Аналогично доказывается \exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})=\inf\limits_{x \in [a;b]} f(x)
Функция непрерывна на интервале может не достигать своих точных граней (требовать непрерывности на сегменте существенно).

Литература

Тест по теме «Вторая теорема Вейерштрасса»