Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Перед прочтением данной статьи желательно ознакомиться с темой Определение криволинейных интегралов второго рода и их свойства. Физический смысл

Вычисление криволинейных интегралов II рода

Если $\Gamma$ — кусочно гладкая кривая заданная уравнением $r=r(t)$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$, а функции ${\varphi }_{i}$ $(i=1,…,n)$ непрерывные вдоль кривой $\Gamma$, то существует криволинейный интеграл II рода $\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)$ и справедливо равенство:
$$\int\limits_{\Gamma}(F,\,dr)=$$ $$=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sum\limits_{i=1}^{n}{\varphi}_{i}({x}_{1}(t),\ldots,{x}_{n}(t)){x’}_{i}(t)\,dt.$$

Примеры

  1. Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx-x\,dy)$, где $\Gamma$ — дуга окружности $x^2+y^2=1$, которая начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$.
    Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=\cos t, y=\sin t$ $(0\leq t\leq\frac{\pi}{2})$. Отсюда,

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx-x\,dy)=$$ $$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\sin t(-\sin t)-\cos t\cdot \cos t\right]\,dt=$$ $$=-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,dt=-t \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=$$ $$=-\left( \frac{\pi}{2}-0 \right)=-\frac{\pi}{2}.$$

  2. Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(ydx-xdy)$, где $\Gamma$ — отрезок, который начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$.
    Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=1-t, y=t$ $(0\leq t\leq1)$. Отсюда,

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}\left(y\,dx-x\,dy\right)=$$ $$=\int\limits_{0}^{1}[t(-1)-(1-t)\cdot 1]\,dt=$$ $$=-\int\limits_{0}^{1}\,dt=-t \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-(1-0)=-1.$$

  3. Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx+x\,dy)$, где $\Gamma$ — дуга окружности $x^2+y^2=1$, которая начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$.
    Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=\cos t, y=\sin t$ $(0\leq t\leq\frac{\pi}{2})$. Отсюда,

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx+x\,dy)=$$ $$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\sin t(-\sin t)+\cos t\cdot \cos t]\,dt=$$ $$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[{cos}^{2}t-{sin}^{2}t]\,dt =\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos 2t\,dt=$$ $$=\frac{\sin 2t}{2} \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\sin \pi}{2}-\frac{\sin 0}{2}=0.$$

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Чтобы убедиться в том что вы усвоили данный материал советую пройти этот тест.


Таблица лучших: Вычисление криволинейных интегралов второго рода

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение и свойства кратного интеграла Римана

Необходимые понятия

Разбиения

Пусть множество $G$ измеримо по Жордану в $\mathbb{R}^{n}$. Совокупность измеримых по Жордану в $\mathbb{R}^{n}$ и попарно непересекающихся множеств $G_{1}, …, G_{N}$ называется разбиением $G$, если $G=\bigcup_{i=1}^{N}G_{i}.$ Разбиение будем обозначать буквой $T$.

Пусть $d\left ( G_{i} \right )$ есть диаметр множества $G_{i}$, т. е. $$d\left ( G_{i} \right )=\underset{x\in G_{i}, y\in G_{i}}{\sup}\rho \left ( x,y \right ).$$

Число $l\left ( T \right )=\underset{i=\overline{1,N}}{\max d\left(G_{i} \right )}$ будем называть мелкостью разбиения $T$.

Разбиение $T=\left \{ G_{i} \right \},$ $i=\overline{1,N}$, будем называть продолжением разбиения $ {T}’=\left \{ {G}’_{i} \right \},$ $i=\overline{1,N}$, и писать $T\prec{T}’$, если каждое из множеств $G_{i}$ является подмножеством некоторого множества ${G}’_{k}$. Очевидно, что из $T\prec{T}’$ следует, что $l\left ( T \right )\leq l\left ( {T}’ \right )$.

Интегральные суммы Римана. Суммы Дарбу

Пусть функция $f\left ( x \right )$ определена на измеримом по Жордану множестве $G$, а $T$ есть разбиение множества $G:~ T=\left \{ G_{i} \right \}, i=\overline{1,N}.$ Возьмем в каждом из множеств $G_{i}$ по точке $\xi _{i}$. Выражение $$\sigma _{T}\left ( f, \xi, G\right )=\sum_{i=1}^{N}f\left ( \xi _{i} \right )m\left ( G_{i} \right)$$ называется интегральной суммой Римана функции $f\left ( x \right )$ на множестве $G$, соответствующей разбиению $T$ и выборке $\xi =\left ( \xi _{1}, …, \xi _{N} \right )$. Иногда для краткости сумма Римана обозначается просто через $\sigma _{T}$.

Если функция $f\left ( x \right )$ ограничена на множестве $G$, то для любого разбиения $T=\left \{ G_{i} \right \}, i=\overline{1,N}$, определены числа $$m_{i}=\underset{x\in G_{i}}{\inf}f\left ( x \right ), ~~M_{i}=\underset{x\in G_{i}}{\sup }f\left ( x \right ).$$

Выражения $$S_{T}=\sum_{i=1}^{N}M_{i}m\left ( G_{i} \right ),~~s_{T}=\sum_{i=1}^{N}m_{i}m\left ( G_{i} \right )$$ называются верхней и нижней суммами Дарбу, соответствующими разбиению $T$.

Определение

Число $I$ называется пределом интегральной суммы $\sigma _{T}$ при мелкости разбиения $l\left ( T \right )\rightarrow 0$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется $\delta > 0$ такое, что для любого разбиения $T$ с мелкостью $l\left ( T \right )< \delta $ и для любой выборки выполняется неравенство $$\left | I-\sigma _{T}\left ( f, \xi , G \right ) \right |< \varepsilon.$$

Если число $I$ есть предел интегральной суммы при $l\left ( T \right )\rightarrow 0$, то будем писать $I=\underset{l\left ( T \right )\rightarrow 0}{\lim }\sigma _{T}$, само число $I$ будем называть кратным интегралом Римана от функции $f\left ( x \right )$ по множеству $G$, а функцию $f\left ( x \right )$ — интегрируемой на множестве $G$. Для кратного интеграла Римана используются следующие обозначения: $$\underset{G}{\int}f\left(x\right)dx,~~\underset{n}{\underbrace{\underset{G}{\int…\int }}}f\left ( x_{1}, …, x_{n} \right )dx_{1}…dx_{n}.$$

В случае $n=2$ интеграл называется двойным, а в случае $n=3$ — тройным. Обозначения для двойного и тройного интеграла: $$\underset{G}{\iint}f\left ( x,y \right )dxdy,~~\underset{G}{\iiint} f\left ( x,y,z \right)dxdydz.$$

Свойства кратного интеграла

Свойство 1.
Справедливо равенство $\underset{G}{\int}1\cdot dx=m\left ( G \right )$.

Доказательство показать
Свойство 2.
Если $f\left ( x \right )> 0$ и $f\left ( x \right )$ — интегрируемая на измеримом по Жордану множестве $G$ функция, то $\underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx\geq 0$.

Доказательство показать
Свойство 3.
Если $f_{1}\left ( x \right )$ и $f_{2}\left ( x \right )$ — интегрируемые на множестве $G$ функции, а $\alpha$ и $\beta$ — произвольные вещественные числа, то и функция $\alpha f_{1}\left ( x \right )+\beta f_{2}\left ( x \right )$ интегрируема на $G$, причем $$\underset{G}{\int }\left ( \alpha f_{1}\left ( x \right ) + \beta f_{2}\left ( x \right ) \right )dx=$$ $$=\alpha \underset{G}{\int }f_{1}\left ( x \right )dx+\beta \underset{G}{\int }f_{2}\left ( x \right )dx.$$

Доказательство показать
Свойство 4.
Если $f_{1}\left ( x \right )$ и $f_{2}\left ( x \right )$ — интегрируемые на множестве $G$ функции и $f_{1}\left ( x \right )\leq f_{2}\left ( x \right )$ при $x\in G$, то $$\underset{G}{\int }f_{1}\left ( x \right )dx\leq \underset{G}{\int }f_{2}\left ( x \right )dx.$$

Доказательство показать
Свойство 5.
Если функция $f\left ( x \right )$ непрерывна на измеримом связном компакте $G$, то найдется точка $\xi \in G$ такая, что $$\underset{G}{\int }f\left ( x\right )dx=f\left ( \xi \right )m\left ( G \right ).$$

Доказательство показать
Свойство 6.
Если $\left \{ G_{k} \right \}, k=\overline{1,m}$, есть разбиение множества $G,$ то функция $f\left ( x \right )$ интегрируема на множестве $G$ в том и только том случае, когда она интегрируема на каждом из множеств $G_{k},$ причем $$\underset{G}{\int}f\left ( x \right )dx= \sum_{k=1}^{m}\underset{G_{k}}{\int}f\left ( x \right )dx.$$
Свойство 7.
Произведение интегрируемых на измеримом множестве $G$ функций есть интегрируемая на множестве $G$ функция.

Доказательство показать
Свойство 8.
Если функция $f\left ( x \right )$ интегрируема на измеримом множестве $G$, то функция $\left | f\left ( x \right ) \right |$ также интегрируема и $$\left | \underset{G}{\int}f\left ( x \right )dx \right |\leq \underset{G}{\int }\left | f\left ( x \right ) \right |dx.$$

Доказательство показать

Примеры

Пример 1

Определить какой знак имеет интеграл $\underset{x^2+y^2\leq 4}{\iint}\sqrt[3]{1-x^2-y^2}dxdy.$

Исследование показать

Пример 2 (вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла)

Вычислить площадь фигуры, занимающей область $D$, ограниченную линиями $x=y^2$ и $x+y=2$.

Решение показать

Пример 3 (вычисление объема с помощью двойного интеграла)

Пусть цилиндрический брус ограничен сверху непрерывной поверхностью $z=f\left (x,y \right)$, снизу — плоскостью $z=0$, с боков — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси $Oz$. Если указанная цилиндрическая поверхность вырезает из плоскости $Oxy$ квадрируемую замкнутую область $D$, то объем $V$ бруса вычисляется по формуле: $$V=\underset{D}{\iint}f\left ( x,y \right )dxdy.~~(**)$$

Найти объем тела, ограниченного поверхностями: $$z=x^2+y^2,~y=x^2,~y=1,~z=0.$$

Решение показать

Кратный интеграл Римана

Тест: Кратный интеграл Римана.

Универсальная подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

 

Интегралы вида \int R(\sin x, \cos x)dx   , где R-рациональная функция.

... показать

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки 

... показать

Рис 1. Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности

Подстановка Вейерштрасса
Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от \sin x, \cos x и \sinh x, \cosh x»

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрирование рациональных функций

Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно «взять», т.е. представить в виде элементарных функций.

Рациональной функцией называется отношение двух многочленов.

$\large   \frac{P(x)}{Q(x)}=S+\frac{\tilde{P}(x)}{Q(x)},$

где S — «целая часть» (многочлен).

$\normalsize \deg(\tilde{P}(x))<\deg(Q(x))$

Нам понадобиться умение разлагать многочлен на простые множители.

$$Q_{n}(x)=C(x-a_{1})^{\alpha_{1}}(x-a_{2})^{\alpha_{2}}…(x-a_{k})^{\alpha_{k}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}…(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}$$

Если $\normalsize m<n$, то:

$$ \small \frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}=\frac{A_{1}^{\alpha_{1}}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}}}+\frac{A_{1}^{(\alpha_{1}-1)}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}-1}}+…+\frac{A_{1}^{(1)}}{(x-a_{1})}+…+\frac{A_{k}^{\alpha_{k}}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}}}+\frac{A_{k}^{(\alpha_{k}-1)}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}-1}}+…$$ $$+\frac{A_{k}^{(1)}}{x-a_{k}}+\frac{B_{1}^{\beta_{1}}x+D_{1}^{\beta_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}}+\frac{B_{1}^{(\beta_{1}-1)}+D_{1}^{(\beta_{1}-1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}-1}}+…$$ $$+\frac{B_{1}^{(1)}x+D_{1}+D_{1}^{(1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})}+…+\frac{B_{s}^{\beta_{s}}x+D_{s}^{(s)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}}+…+\frac{B_{s}^{(1)}x+D_{s}^{(1)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})}.$$

Таким образом правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простых дробей вида:

$$ \frac{A}{(x-\alpha)^{r}},r  \epsilon   \mathbb{N}    и    \frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}},k  \epsilon  \mathbb{N}$$

$$r=1:    \int\frac{A}{x-\alpha}dx=A\int\frac{d(x-\alpha)}{x-\alpha}=A\ln\left|x-\alpha\right|+C$$

$$r\neq1:   \int\frac{A}{(x-\alpha)^{r}}dx=A\int(x-\alpha)^{-r}d(x-\alpha)=A\frac{(x-\alpha)^{-r+1}}{-r+1}+C$$

Обозначим $\large I_{k}=\int\frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}}dx$

$\large x^{2}+px+q=(x+\frac{p}{2})^{2}+(q-\frac{p^{2}}{4})$

$\large p^{2}-4q\frac{p^{2}}{4}$

$\large dx=\sqrt{q-\frac{p^{2}}{4}}=a, x+\frac{p}{2}=t$

$\large I_{k}=\int\frac{B(t-\frac{p}{2})+D}{(t^{2}+a^{2})^{k}}dt=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}+B(-\frac{p}{2})+D\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

Пусть $\large I_{k}^{1}=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$, $\large I_{k}^{2}=\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

$\large k>1:$  $\large I_{k}^{1}=\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}=\frac{1}{2}\int(t^{2+a^{2}})^{-k}d(t^{2}+a^{2})=$

$\large =\frac{1}{2}\frac{(t^{2}+a^{2})^{-k+1}}{-k+1}+C=\frac{1}{2(-k+1)(x^{2}+px+q)^{k-1}}+C$

$\large k=1:$  $\large I_{1}^{1}=\int\frac{tdt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\int\frac{d(t^{2}+a^{2})}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\ln\left|t^{2}+a^{2}\right|+C$

В случае $\large k>1$ интеграл «берем» по рекурентной формуле, доказанной выше.

$\large k=1:$  $\large I_{1}^{2}=\int\frac{dt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan(\frac{t}{a})+C=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x+\frac{p}{2}}{a})+C$

Пример 1

Вычислить интеграл $\large \int\frac{2x+3}{x^{2}-9}dx.$

Решение

... показать

Пример 2

Вычислить интеграл $\large \int\frac{x^{2}-2}{x+1}dx$

Решение

... показать

Литература:

  • Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрально исчисления,Том 2, „Наука“, Москва 1970, стр. 36.
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012.
  • Интегрирование рациональных фунций http://www.math24.ru/

    Интегрирование рациональных функций

    Интегрирование рациональных функций

    Таблица лучших: Интегрирование рациональных функций

    максимум из 6 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных