Если функция [latex]y=f\left(x\right)[/latex] имеет производную в точке [latex]x_{0}[/latex], значит [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {f}’\left(x\right)[/latex], тогда существует предельное положение секущей к графику функции в точке [latex]M_{0}\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right):[/latex] [latex]y-y_{0}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\left(x-x_{0}\right) \left(x \to x_{0}\right)[/latex] это означает, что в точке [latex]M_{0} \exists l_{0}=k_{0}x + b_{0}[/latex] — касательная к графику функции, причём [latex]k_{0}={f}’\left(x_{0}\right)[/latex].
Таким образом геометрический смысл производной — угловой коэффициент касательной к графику функции [latex]y = f\left(x\right)[/latex] в точке [latex]M_{0}\left(x_{0},{f}\left(x_{0}\right)\right)[/latex], а уравнение касательной [latex]l_{0} ={f}\left(x_{0}\right)+ {f}’\left(x_{0}\right)\left(x — x_{0}\right)[/latex].
Пример:
Найдите уравнение касательной к графику функции [latex]y=e^{2x-3}[/latex] в точке [latex]x_{0} = 5[/latex], а также угол наклона касательной в этой точке.
Решение:
Известно, что уравнение касательной в точке имеет вид [latex]l={f}\left(x_{0}\right)+{f}’\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)[/latex], причём [latex]{f}’\left(x_{0}\right)=\mathrm{tg}\alpha[/latex], где [latex]\alpha[/latex] — угол наклона касательной.
Находим значение касательной в точке 5, получаем [latex]{f}’\left(x\right)=2e^{2x-3}[/latex], а в точке [latex]x_{0}=5: \, {f}’\left(5\right)=2e^{7} \Rightarrow[/latex][latex] l = e^{7}+2e^{7}\left(x-5\right) =[/latex][latex] -9e^{7}+2e^{7}x[/latex], [latex]\alpha = \mathrm{arctg}\left(2e^{7}\right).[/latex]
Список литературы:
Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 109.
Лекции Зои Михайловны Лысенко.
Тест:
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 3 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
Информация
Тест на знание геометрического смысла производной.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Математический анализ0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Количество баллов: 2
Выберите среди предложенных вариантов тот, который описывает касательную к графику функции [latex]y = \lg {x}[/latex] (десятичный логарифм) в точке 2.
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 3
2.
Количество баллов: 3
Найдите угол наклона касательной к графику функции $latex y = \frac{2x^2+3}{3x+4}$ в точке 3.
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 8
Установите соответствие между функциями и касательными к ним в точке \(x_{0}\).
Выясним, в чём заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции $y=f(x)$ и отметим на нём точки $x=a$ и $y=A$.
Предел функции $y=f(x)$ в точке $x\rightarrow a$ существует и равен $A$, если для любой $\varepsilon$-окрестности точки $A$ можно указать такую $\delta$-окрестность точки $a$, что для любого $x$ из этой $\delta$-окрестности значение $y=f(x)$ будет находится в $\varepsilon$-окрестности точки $A$.
Отметим, что по определению предела функции в точке для существования предела при $x\rightarrow a$ не важно, какое значение принимает функция в самой точке $a$. Можно привести примеры, когда функция не определена при $x=a$ или принимает значение, отличное от $A$. Тем не менее, предел может быть равен $A$.
Необходимое условие непрерывности (Связь непрерывности в точке и существования производной в точке)
Формулировка: Если функция [latex]y = f\left(x\right)[/latex] определена и дифференцируема (имеет производную) в некоторой окрестности [latex]U\left(x_{0}\right)[/latex], то она непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex].
Доказательство: Пусть функция [latex]y = f\left(x\right)[/latex] — имеет производную в точке [latex]x_{0}\Rightarrow[/latex];[latex]\Rightarrow \exists \lim\limits_{x \to x_{0}}\frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=[/latex][latex]{f}’\left(x_{0}\right)\Rightarrow \frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} = [/latex][latex]{f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)[/latex], где [latex]\alpha \left(\Delta x\right) = \underset{\Delta x \to 0}{o\left(\Delta x\right)}[/latex][latex]\Rightarrow f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) =[/latex][latex] \left(x-x_{0}\right)\left({f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)\right)\Rightarrow[/latex][latex] \lim\limits_{x\to x_{0}} f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) = 0\Rightarrow[/latex] функция [latex]f\left(x\right)[/latex] — непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex].
Замечание: Условие непрерывности функции в точке не является достаточным для дифференцируемости функции в точке.
Контр-пример:
[latex]y = |x|, y \in C_{\left(-\infty; +\infty\right)}[/latex]
[latex]\forall x_{0} \in \mathbb{R} \lim\limits_{x \to x_{0}} |x| = |x_{0}|[/latex]
При [latex]x_{0} = 0[/latex] и [latex]\Delta x > 0[/latex], то получим [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 1 \neq \lim\limits_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -1[/latex], где [latex]\Delta x < 0[/latex], а значит функция [latex]y = |x|[/latex] — не дифференцируема в точке 0, хотя и непрерывна в ней.
Список литературы:
Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 108-109.
Лекции Зои Михайловны Лысенко.
Тест:
Непрерывность в точке и существование производной
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 3 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
Информация
Тест на знание связи дифференцируемости и непрерывности.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
Математический анализ0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Количество баллов: 5
Какие из ниже-представленных функций являются дифференцируемыми в точке 0?
Правильно 5 / 5Баллы
Отлично!
Неправильно / 5 Баллы
Ай-ай, будьте внимательней.
Задание 2 из 3
2.
Количество баллов: 7
Установите соответствие между функциями и точками, в которых они дифференцируемы/не дифференцируемы.
Элементы сортировки
не дифференцируема в точке 0
не дифференцируема в точке -1
дифференцируема на всей области определения
не является дифференцируемой
$$sin\left(\frac{1}{x}\right)$$
$$\frac{1}{1+x^5}$$
$$e^{x^2}$$
Функция Дирихле, принимающая значение 1, если аргумент является рациональным числом, и значение 0, если аргумент является иррациональным числом
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 4
Что даёт нам дифференцируемость в точке, в контексте данного материала?
Если функция дифференцируема в точке, то по необходимому условию дифференцируемости в точке она обязательно (непрерывна, не прерывна, Не прерывна, Непрерывна) в этой точке.
Достаточно ли непрерывности в точке, для того что бы говорить о наличии производной в этой точке?
(Не достаточно, недостаточно, Недостаточно, не достаточно, нет, Нет).
Правильно
Неправильно
Таблица лучших: Непрерывность в точке и существование производной