Критерии первообразности

Критерии первообразности

 U_n — циклическая группа корней  n-й степени из единицы. Образующий элемент группы  U_n называется первообразным корнем  n-й степени из единицы.

Теорема 1 (Первый критерий первообразности)

Корень  n-й степени из единицы будет первообразным корнем  n-й степени из единицы  \Leftrightarrow не является корнем из единицы никакой степени  <n.

Доказательство

Необходимость:
 E – первообразный корень степени  n из единицы .
 \forall  m \in \mathbb{N},  m < n,  E^m \ne 1;
 U_n= \{1, E, E^2, ..., E^{n-1}\}.
От противного. Пусть  E^m= 1,  m < n, тогда  E образует группу  {U}'_n (или  U_m) = \{1, E, E^2, ..., E^{m-1}, E^m\} = \{1, E, E^2, ..., E^{m-1}\}, где  E^m= 1 и  {U}'_n= m, но  m < n \Rightarrow  {U}'_n \ne U_n \Rightarrow  E— не образующий элемент  U_n. Получаем, что  \forall  m \in \mathbb{N},  m < n,  E^m \ne 1.
Достаточность:
 \forall m \in \mathbb{N},  m < n,  E^m \ne 1 \Rightarrow
 E — первообразный корень из единицы степени n.
От противного. Пусть  E-не является первообразным корнем  n-й степени из единицы  \Rightarrow  E не образует группу  U_n \Rightarrow
 U^E_n= {E^0, E^1, E^2,...< E^{n-1} } \ne U_n \Rightarrow U^E_n \in U_n \Rightarrow \exists k, 1 \leqslant k \leqslant n-1, что  E^{k-1}=1, но  0 \leqslant k+1 < n-1 ,  m= k-1  \Rightarrow  \exists  m \in \mathbb{N},  m < n,  E^m = 1 \Rightarrow  E – первообразный корень степени  n из  1.

Лемма

Если  E — первообразный корень степени  n из единицы, то
 E^m= 1 \Leftrightarrow m \vdots n.

Доказательство

Необходимость:
Найдём  m= nq+r,  0 \leq r \leq n-1;
 1= E^m= E^{nq+n}= E^{nr}E^r= (E^n)^qE^r= 1^qE^r= E^r.
Если  r \in \mathbb{N}, то получим противоречие с первым критерием  r=0 \Rightarrow m \vdots n.
Достаточность:  m \vdots n \Rightarrow m=nq;
 E^m= E^{nq}= (E^n)^q= 1^q=1.

Теорема 2 (Второй критерий первообразности)

Пусть  E — первообразный корень степени  n из единицы, тогда  E^k (k \in \mathbb{N}) является первообразным корнем степени  n из единицы  \Leftrightarrow  (n,k)=1.

Доказательство

(n,k)= d;  n= n,d;  k= k,d; (n_1, k_1)=1.
Необходимость:  E,  E^n — корни степени  n из единицы.
 (n,k)=1
От противного.  (n,k)=d > 1 \Rightarrow n_1 < n ;
(E^k)^{n_1} = (E^{k_1d})^{n_1}= E^{k_1dn_1}= E^{k_1(nd_1)}= E^{k_1n}= (E^n)^{k_1}= 1^{k_1}=1 \Rightarrow d=1 противоречие.
Достаточность:  E — первообразный корень степени  n из единицы;
 (n,k)=1 ;
 E^k — первообразный корень степени  n из единицы.
От противного. Пусть  E^k – не является первообразным корнем степени  n из единицы, тогда по первому критерию первообразности:  \exists m \in N,  m < n, (E^k)^m= 1;
 E^{km}=1 \Rightarrow по лемме  km \vdots n \Rightarrow m \vdots n , но  m < n – противоречие.

ПРИМЕРЫ

Найти все первообразные корни группы U_{12}, пользуясь вторым критерием первообразности.

РЕШЕНИЕ показать

Даны корни из единицы E_1 = i,  E_3 = -i. Построить группу  U_4.

РЕШЕНИЕ показать

Тест по вышеизложенному материалу

Источники

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций.
  2. Курош А.Г. Курс линейной алгебры. Издание тринадцатое, 2004. Стр.123-128.
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. Наука, 1984. Стр.43-49.

Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля.

Группа

Множество G с бинарной алгебраической операцией \ast называется группой, если выполняются следующие условия:

  1. Операция \ast в G ассоциативна: a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c \forall a,b,c\in G;
  2. В G существует нейтральный элемент \theta :a\ast\theta=\theta\ast a=a \forall a\in G;
  3. Для каждого элемента a\in G существует обратный ему элемент a^{-1}\in G: a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=\theta .

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Задача

Доказать, что множество рациональных чисел R является абелевой группой относительно операции сложения.

... показать

Кольцо

Множество K , на котором заданы две операции — сложение (+) и умножение \cdot, называется кольцом, если выполняются следующие условия:

  1. Относительно операции сложения множество K — коммутативная группа, т.е:
    1. Операция сложения коммутативна: a+b=b+a \forall a,b\in K;
    2. Операция сложения ассоциативна: a+(b+c)=(a+b)+c \forall a,b,c\in K;
    3. Существует нулевой элемент \theta: a+\theta =\theta +a=a \forall a\in K;
    4. для каждого элемента существует противоположный ему элемент (-a)\in K: a+(-a)=(-a)+a=\theta;
  2. Операция умножения в множестве K ассоциативна:
    a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c  \forall a,b,c\in K
  3. Операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
    (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c  c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b  \forall a,b,c\in K

Если операция умножения коммутативна:a\cdot b=b\cdot a, то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент e: a\cdot e=e\cdot a=a, то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.

Задача

Проверить яляется ли кольцом множество комплексных чисел.

... показать

Поле

Полем называется кольцо P, обладающее следующими свойствами:
1. Обратимость умножения. \forall a,b\in P, где a\neq 0, уравнение ax = b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что aq = b.

2. P содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о представлении элементов конечной циклической группы

Определение циклической группы

Пусть дана группа (G, \cdot). Если \exists g_{0}\in G такое, что \forall g\in G, \exists n\in \mathbb Z: g=g_{0}^n, то (G, \cdot) называется циклической группой  и пишут G=<g_{0}>_{n}, где g_{0} образующая и количество элементов, порядок группы, |G|=n. Циклическая группа G называется конечной, если она имеет конечное число элементов, в противном случае группа называется бесконечной.

Теорема
Пусть дана циклическая группа (G, \cdot) и G=<g_{0}>_{n}, тогда эта группа имеет следующий вид: G=\{ g_{0}^0=1, g_{0}, g_{0}^2, g_{0}^3, \dots, g_{0}^{n-1}\}.

Доказательство
Для доказательства покажем что все элементы нашей группы различные, иначе количество элементов в группе будет меньше её порядка.
Пусть \exists i<j такие, что  0\leq i<j \leq{n-1} и  g_{0}^{i} = g_{0}^{j}\Rightarrow g_{0}^{j-i} = 1, тогда \exists m\in \mathbb Z : m=j-i, следовательно 1\leq m\leq{n-1} и g_{0}^m=1. Отсюда \forall g\in G, g=g_{0}^t, t\in \mathbb Z и t=mq+r, 0\leq r<m, тогда g_{0}^t=g_{0}^{mq+r}=(g_{0}^m)^q\cdot g_{0}^r\Rightarrow g_{0}^t =1\cdot g_{0}^r=g_{0}^r, это значит что все элементы группы будут равны g_{0}^r, где \forall t\in \mathbb Z существует свой r,но 0\leq r<m, а 1\leq m\leq{n-1} мы получаем противоречие, поскольку мы не получим всю группу.

Таким образом G=\{ g_{0}^0=1, g_{0}, g_{0}^2, g_{0}^3, \dots, g_{0}^{n-1}\}.

Примеры циклических групп
A=\{1, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6\} — Конечная иклическая группа, поскольку каждый элемент является значением 2^k, 0\leq k\leq 6, отсюда образующей этой группы является 2 и A=<2>_{7}.

A=\{1,\frac{1}{2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \frac{1}{2^4}, \frac{1}{2^5}, \frac{1}{2^6} \} — Конечная циклическая группа, каждый элемент является значением (\frac{1}{2})^k, 0\leq k\leq 6, образующей является \frac12 и A=<\frac12>_{7}.

Литература

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 с. 24-28.
  2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984 с. 246-248.
  3. Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.

 

Теорема о представлении элементов конечной циклической группы

Тест на тему «Теорема о представлении элементов конечной циклической группы»:

Таблица лучших: Теорема о представлении элементов конечной циклической группы

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Порядок группы

Порядок группы

Пусть \left(G,*\right)группа, если Gконечное множество, то порядком группы называется число элементов G и обозначается \left|G \right| или \mathrm{card} G. Если Gбесконечно, то порядок бесконечен.

Порядок элемента группы

Пусть \left(G,*\right) — произвольная группа и a — некоторый ее элемент. Имеются две возможности:

  1. Все степени элемента a различны, то есть m\neq n \Rightarrow a^{m} \neq a^{n}. В этом случае говорят, что элемент a\in G имеет бесконечный порядок.
  2. Имеются совпадения a^{m}=a^{n} при m\neq n. Если, например, m>n, то a^{m-n}=e, то есть существуют положительные степени элемента a\in G, равные единичному элементу. Пусть q\ - наименьший положительный показатель, для которого a^{q}=e. Тогда говорят, что a — элемент конечного порядка q.

В конечной группе \left(G,*\right) все элементы будут конечного порядка.

Порядок группы с циклическими подгруппами

Пусть \left(G,*\right) — данная группа. Любой ее элемент порождает некоторую циклическую подгруппу. Если \left(G,*\right) — конечная группа, то и все ее циклические подгруппы конечны. Порядок группы \left(G,*\right) делится на порядок ее любой подгруппы, в частности, на порядок любой циклической подгруппы. Этот порядок равен порядку образующего элемента. Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема

Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.

Доказательство показать

Примеры:

  1. Пусть \left(G,+ \right) — группа, где G=\left\{1,2,3,4 \right\}. Найти порядок группы.
    Ответ: \left|G \right|=4
  2. Пусть \left(G,* \right) — группа, где G=\mathbb N. Найти порядок группы.
    Ответ: \left|G \right|=\infty

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 247
  3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 142-143

Порядок группы

Тест для проверки знаний по теме «Порядок группы»

Таблица лучших: Порядок группы

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных