Метка: дифференциал

Геометрический смысл дифференциала

Проведем касательную [latex]l[/latex] к графику функции [latex]y = f(x)[/latex] в точке [latex]x[/latex], также рассмотрим точку пересечения касательной [latex]l[/latex] с прямой [latex]x + \Delta x[/latex]. Отрезок [latex]AM_{1} = \Delta x[/latex], а отрезок [latex]AM_{2} = \Delta y[/latex].

GeomSenseOfDiff

Из прямоугольного треугольника [latex]\triangle M_{1}AB[/latex] получаем, что [latex]tg \alpha = \frac{AB}{\Delta x}[/latex], поэтому [latex]AB = tg \alpha \Delta x[/latex]. Но нам известно, что [latex]{f}'(x) = tg \alpha \Rightarrow AB = {f}'(x)\Delta x[/latex]. Сравнив результат с формулой [latex]A\Delta x = dy[/latex] получаем, что [latex]dy = AB[/latex], то есть дифференциал функции [latex]y[/latex] равен приращению ординаты касательной [latex]l[/latex] к графику функции [latex]f(x)[/latex] в этой точке, когда приращение аргумента равно [latex]\Delta x[/latex].

Тест:

Тест на знание и понимание геометрического смысла дифференциала.


Таблица лучших: Геометрический смысл дифференциала.

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Список литературы:

  1. Калинина Е. А. «Математика, которая мне нравится». 
  2. Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.

Теорема Ферма о корне производной

Формулировка

Если функция имеет локальный экстремум в точке [latex]x_{0}[/latex] и дифференцируема в этой точке, то [latex]f'(x_{0})=0[/latex]

Доказательство

Пусть, например, функция имеет локальный минимум в точке [latex]x_{0}.[/latex] Тогда, по определению локального минимума для всех [latex]x\in(x_{0}-\delta , x_{0}+\delta )[/latex] выполняется неравенство [latex]f(x)-f(x_{0})\geq 0.[/latex]
Если [latex]x\in(x_{0}-\delta ,x_{0}) ,[/latex] то [latex]x-x_{0}< 0,[/latex] тогда из условия [latex]f(x)-f(x_{0})\geq 0[/latex] следует, что
[latex]\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0,[/latex]
а если [latex]x\in (x_{0},x_{0}+\delta ),[/latex] то выполняется неравенство
[latex]\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0.[/latex]
Так как функция f предел при [latex]x\rightarrow x_{0}[/latex] в левой части неравенства [latex]\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0[/latex], равный [latex]f_{-}^{‘}(x_{0})=f'(x_{0}).[/latex] По свойствам пределов из [latex]\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0[/latex] следует, что
[latex]f'(x_{0})\leq 0.[/latex]
Аналогично, переходя к пределу в неравенстве [latex]\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0[/latex] получаем
[latex]f'(x_{0})\geq 0.[/latex]
Из неравенств [latex]f'(x_{0})\leq 0[/latex] и [latex]f'(x_{0})\geq 0[/latex] следует, что [latex]f'(x_{0})=0.[/latex]

Пример

Функция [latex]f(x)=x^{2}[/latex] имеет на отрезке [-1,1] точку минимума [latex]x_{0}=0.[/latex] Производная функция существует при всех x: [latex]f'(x)=2x.[/latex] В точке минимума производная действительно оказывается равной 0. [latex]f'(x_{0})=f'(0)=0,[/latex] так что утверждение теоремы Ферма выполнено.

ferma

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.164-165
  • Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140
  • www.pm298.ru
  • www.bymath.net

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Сама теорема здесь.

Формулировка

[latex]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/latex] — угловой коэффициент секущей, которая проходит через точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)) графика функции y=f(x), а [latex]f'(\xi )[/latex] — угловой коэффициент касательной к графику в точке [latex](\xi ,f(\xi ))[/latex]. Поэтому теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует значение [latex]\xi \in (a,b)[/latex] такое, что касательная к графику функции y=f(x) в точке [latex](\xi ,f(\xi ))[/latex] параллельна секущей, соединяющей точки [latex]A(a,f(a))[/latex] и [latex]B(b,f(b)).[/latex]

  1. Следствие

    Если а дифференцируема на (a,b) и f'(x)=0 [latex]\forall x\in (a,b)[/latex] то f(x)=c=const на (a,b)

    Его доказательство:

    Возьмем [latex]\forall x\in (a,b)[/latex] и зафиксируем [latex][x,x_{0}]\subset (a,b)[/latex] ([latex][x_{0},x]\subset (a,b)[/latex]) Применим формулу конечных приращений Лагранжа на отрезке [latex][x,x_{0}][/latex]
    [latex]f(x)-f(x_{0})=f'(\xi )(x-x_{0})\Rightarrow f(x)=f(x_{0})[/latex], [latex]\forall x\in (a,b)[/latex].

  2. Следствие

    Если функция дифференцируема на (a,b) и f'(x)=k=const. [latex]\forall x\in (a,b)\Rightarrow f(x)=(kx+b)[/latex] — линейная функция

    Его доказательство:

    Применяя теорему Лагранжа к функции f а на отрезке [latex][a,x]\subset [a,b][/latex]: [latex]f(x)-f(a)=f'(\xi )(x-a)[/latex]. [latex]f(x)-f(a)=k(x-a)[/latex]. [latex]f(x)=kx+b. b=f(a)-ka[/latex]

lag

  1. Следствие

    Пусть [latex]\varphi (x)[/latex]

    1. Непрерывна на [a,b];
    2. Дифференцируема на (a,b) (кроме быть может некоторой точки [latex]x_{0}\in (a,b)[/latex])
    3. [latex]\exists \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi ‘(x)[/latex]

    Тогда [latex]\exists \varphi ‘(x_{0}),[/latex] причем эта производная равна [latex]\lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi ‘(x)[/latex]

    Его доказательство:

    Пусть [latex]\lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi ‘(x)[/latex]=A, a<x<b, [latex]x\neq x_{0}.[/latex] По Теореме Лагранжа[latex]\varphi (x)-\varphi (x_{0})=\varphi ‘(\xi )(x-x_{0}),[/latex] где [latex]\xi \in (x_{0},x)\cup \xi \in (x,x_{0})\Rightarrow [/latex] [latex]\varphi ‘(\xi )=\frac{\varphi (x)-\varphi (x_{0})}{x-x_{0}}.[/latex] (Будем считать, что функция однозначна) [latex]\xi =\xi (x): x_{0}<\xi (x)<x\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\xi (x)=x_{0}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi ‘(\xi)=A=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\varphi (x)-\varphi (x_{0})}{x-x_{0}}=\varphi ‘(x_{0})[/latex]

Пример

Найти функцию [latex]\Theta =\Theta (x_{0},\Delta x)[/latex] такую, что [latex]f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=\Delta xf(x_{0}+\Theta \Delta x),[/latex] если [latex]f(x)=ax^{2}+bx+c, a\neq 0[/latex]

Спойлер

[latex]a(x_{0}+\Delta x)^{2}+b(x_{0}+\Delta x)+c-(ax^{2}+bx+c)=\Delta x(2a(x_{0}+\Theta \Delta x)+b)[/latex]
, откуда [latex]\Theta =\frac{1}{2}[/latex]

[свернуть]

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Этот тест разработан для лучшего усвоения знаний

Литература

Дифференцируемые функции и дифференциал

Определение: Если функция [latex]f[/latex] определена в окрестности точки [latex]x_{0}[/latex] и [latex]f(x)-f(x_{0}) =[/latex][latex] A\Delta x + \Delta x\alpha(\Delta x)[/latex], где [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x) = 0[/latex], а [latex]A[/latex] — некоторая константа, то функцию [latex]f[/latex] называют дифференцируемой в точке [latex]x_{0}[/latex] и [latex]A\Delta x = df(x_{0})[/latex] называется дифференциалом функции [latex]f[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex].

Определение: Если функция [latex]y = f(x)[/latex] дифференцируема в любой точке [latex]x_{0} \in (a, b)[/latex], то функция [latex]y[/latex] называется дифференцируемой на промежутке [latex](a, b)[/latex].

Замечание: Если [latex]y = f(x)[/latex] — дифференцируема на промежутке [latex](a, b)[/latex] и [latex]\exists {f}_{+}'(a) = \lim\limits_{x \to a+0} \frac{\Delta y}{x-a}[/latex] и [latex]\exists {f}_{-}'(b) = \lim\limits_{x \to b-0} \frac{\Delta y}{x-b}[/latex], то функция [latex]y[/latex] называется дифференцируемой на отрезке [latex][a, b][/latex].

Критерий дифференцируемости функции

Формулировка:

Функция [latex]f[/latex] дифференцируема в точке [latex]x_{0}[/latex] тогда и только тогда, когда она имеет производную в точке [latex]x_{0}.[/latex]

Доказательство:

Необходимость:
[latex]f(x) — [/latex]дифференцируема в точке [latex]x_{0} \Rightarrow \exists A:[/latex][latex]\Delta f(x) = A\Delta x+\Delta x \alpha(\Delta x)[/latex], где [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x)= 0 \Rightarrow \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=[/latex] [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{A\Delta x +\Delta x\alpha(\Delta x)}{\Delta x} =[/latex] [latex] \lim\limits_{\Delta x \to 0} A + \alpha(\Delta x) =[/latex] [latex] A\Rightarrow \exists {f}'(x_{0}) = A \Rightarrow dy =[/latex] [latex] {f}'(x_{0})\Delta x.[/latex]

Достаточность:
[latex]\exists {f}'(x_{0}) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\Rightarrow [/latex] [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} — {f}'(x_{0}) =[/latex] [latex] \alpha (\Delta x)[/latex], где [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha (\Delta x) = 0[/latex] [latex]\Rightarrow \Delta f(x) = {f}'(x_{0})\Delta x + \alpha (\Delta x)\Delta x[/latex], а это и означает, что функция [latex]f(x)[/latex] — дифференцируема в точке [latex]x_{0}[/latex].

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.


Таблица лучших: Дифференциал и дифференцируемость

максимум из 13 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

  1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу в двух частях (Часть 1, стр. 107-108.).
  2. Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.

Неопределённый интеграл и его свойства

Пусть функция [latex]f[/latex] определена на некотором промежутке. Совокупность всех ее первообразных на этом промежутке называется неопределённым интегралом от функции [latex]f[/latex] и обозначается $$\int f(x)dx.$$
Символ [latex]\int[/latex] называется знаком интеграла, а [latex]f(x)[/latex] —подынтегральной функцией.

Если [latex]F(x)[/latex] — какая-либо первообразная функции [latex]f[/latex] на рассматриваемом промежутке, то пишут

[latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex],

где [latex]C[/latex] — произвольная постоянная.

Нахождение неопределённого интеграла. от заданной функции называют интегрированием.

Следует отметить, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределённые интегралы, есть равенство между множествами.

Под знаком интеграла пишут не саму функцию [latex]f[/latex], а ее произведение на дифференциал. Это делается, например, для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная.

Спойлер

[latex]\int x^2z dx=\frac{x^3z}{3}+C[/latex]

[свернуть]

Спойлер

[latex]\int x^2z dz=\frac{x^2z^2}{2}+C[/latex]

[свернуть]

Спойлер

[latex]\int \frac{3}{2} \sqrt{x} dx=x^\frac{3}{2}+C=x \sqrt{x}+C[/latex], [latex]x\in[0,\infty][/latex]

[свернуть]

см. Таблица основных интегралов

Свойства неопределённого интеграла

Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex].

Спойлер

  Если функция [latex]F[/latex] дифференцируема на некотором промежутке, то 

[latex]\int dF(x)=F(x)+C[/latex] 

 или

[latex]\int F'(x)dx=F(x)+C[/latex]. 

 

Это следует из определения первообразной.

[свернуть]

Спойлер

Если [latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex] и  [latex]\int g(x)dx=G(x)+C[/latex], то  [latex]\int [f(x)+g(x)]dx=F(x)+G(x)+C[/latex], или

[latex]\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx[/latex]


Действительно, при наших предположениях имеет место равенство

[latex](F(x)+G(x))’=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x).[/latex]

[свернуть]

Спойлер

Если [latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex], то для любого действительного числа [latex]\alpha\ne 0[/latex] [latex] \int[\alpha f(x)] dx=\alpha F(x)+C[/latex], или

[latex]\int[\alpha f(x)] dx=\alpha \int f(x) dx[/latex]

Это равенство очевидно следует из определения. Заметим, что при [latex]\alpha=0[/latex] оно не верно по той причине, что в левой части совокупность всех постоянных, а в правой — тождественный нуль.

[свернуть]

Спойлер

Если [latex] \int f(t)dt=F(t)+C[/latex], то для любого [latex] a\ne 0[/latex] и для любого [latex]b[/latex]

[latex] \int f(ax+b)d=\frac{1}{a} F(ax+b)+C.[/latex]

Действительно,

[latex] [\frac{1}{a} F(ax+b)]’=\frac{1}{a} F'(ax+b)a=f(ax+b)[/latex].

 

[свернуть]

Спойлер

Если [latex]f[/latex] и [latex]g[/latex] имеют первообразные на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex], а [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] — числа, то функция [latex]\alpha f+\beta g[/latex] также имеет первообразную на [latex]\bigtriangleup[/latex], причём при [latex]\alpha^2+\beta^2>0[/latex] выполняется равенство

[latex]\int(\alpha f(x)+\beta g(x)) dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx[/latex].

 

[свернуть]

Литература.

  1. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
  2. Зарубин В.С., интегральное исчисление функций одного переменного — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999., Стр. 16
  3. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 454-455
  4. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 456-458
  5. В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 158-159)

 Тест.

Неопределённый интеграл и его свойства

Неопределённый интеграл и его свойства

Таблица лучших: Неопределённый интеграл и его свойства

максимум из 15 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных