Равномерная сходимость и дифференцируемость

Теорема

Пусть \left \{ f_{n} \right \} — последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке \left[a;b\right] функций. Предположим, что в некоторой точке x\in \left[a;b\right] числовая последовательность \left \{ f_{n}(x_{0}) \right \} сходится, а функциональная последовательность \left \{ f'_{n} \right \} равномерно сходится на \left[a;b\right]. Тогда исходная последовательность \left \{ f_{n} \right \} равномерно сходится на \left[a;b\right] к непрерывно дифференцируемой функции f, причем для любого x\in \left[a;b\right] справедливо равенство f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x).

Доказательство

... показать

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть на отрезке \left[a;b\right] задана последовательность непрерывно дифференцируемых функций \left \{ u_{n} \right \}, такая, что ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) сходится в некоторой точке x\in \left[a;b\right], а ряд из производных \sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x) сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда исходный ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) равномерно сходится на всем отрезке \left[a;b\right], его сумма является непрерывно дифференцируемой функцией и справедливо равенство \left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )'=\sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x)\; (x\in \left[a;b\right]).

Доказательство

... показать

Теорема

Пусть на отрезке \left[a;b\right] задана последовательность дифференцируемых функций \left \{ f_{n} \right \}, сходящаяся в некоторой точке x\in \left[a;b\right] и такова, что функциональная последовательность \left \{ f'_{n} \right \} сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда последовательность \left \{ f_{n} \right \} равномерно сходится на всем отрезке \left[a;b\right] к некоторой функции f, причем эта функция f дифференцируема на \left[a;b\right] и справедливо равенство $$f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x) \; \; \; \; \; (x\in \left[a;b\right])$$.

Доказательство

... показать

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и дифференцирование»

Теорема о разности двух первообразных

Дифференцируемые в промежутке \bigtriangleup функции F(x) и G(x) будут в этом промежутке первообразными одной и той же функции f(x) тогда и только тогда, когда разность их значений для любого x\in\bigtriangleup постоянна.

F(x)-G(x)=C=const

Доказательство показать

Литература.

  1. Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999., Стр. 15

Тест

Теорема о разнице двух первообразных

Таблица лучших: Теорема о разнице двух первообразных

максимум из 1 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Пример функции, не имеющей первообразной

Докажем, что функция

{\mathop{\rm sgn}} x = \left\{ \begin{array}{l}~~1,~~~x > 1\\~~0,~~~x = 0\\- 1,~~~x < 0\end{array} \right.

signum

имеет первообразную на любом промежутке, не содержащем точку 0, и не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку 0.
Доказательство 1 показать

 

Доказательство 2 показать

Источники

  1. Пример
  2. Sgn

Тест

Пример функции, не имеющей первообразной

Пример функции, не имеющей первообразной

Таблица лучших: Пример функции, не имеющей первообразной

максимум из 1 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Определение первообразной

Функция F называется первообразной функцией функции f на промежутке \bigtriangleup, если F дифференцируема на \bigtriangleup и в каждой точке этого промежутка производная функции F равна значению функции f:

F'(x)-f(x), x\in\bigtriangleup

При этом если некоторый конец промежутка \bigtriangleup принадлежит промежутку , то под производной в этом конце понимается соответствующая односторонняя производная. Функция, имеющая в данной точке производную , непрерывна в этой точке , поэтому первообразная F функции f непрерывна на промежутке \bigtriangleup.

Примеры

    1. Функция F(x)=\frac{x^3}{3} является первообразной функции f(x)=x^2 на всей числовой оси.
    2. f(x)=\frac{1}{7-3x}     F(x)=-\frac{1}{3}ln|7-3x|+C

Решите самостоятельно

f(x)=3x^2
Ответ показать

 

f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, при x>0

Ответ показать

 

f(x)=-\frac{1}{x^2}, при x\ne0

Ответ показать

 

f(x)=cos(x)
Ответ показать

 

Ниже приведены графики функции f(x)=cos(x)(красный цвет) и ее первообразной F(x)=sin(x)(зеленый цвет) при значении произвольной постоянной C=0.

cos

Литература

  1. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
  2. Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,1999, Стр. 14
  3. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа, 2003. — М.: Дрофа, Т.1. Стр. 453-454

Тест

Определение первообразной

Таблица лучших: Определение первообразной

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных