Достаточные условия экстремума

Экстремумы функций одной переменной

Определение:

Функция f:\mathbb{E} \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, имеет во внутренней точке x_{0}:

  • Локальный минимум, если \exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x)\ge f(x_{ 0 })
  • Строгий локальный минимум, если \exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x) > f(x_{ 0 })
  • Локальный максимум если \exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x)\le f(x_{ 0 })
  • Строгий локальный максимум, если \exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x) < f(x_{ 0 })

Поиск локальных и абсолютных экстремумов — важная практическая задача, породившая широкий спектр методов оптимизации. Изучение свойств и условий существования локального экстремума функций в одномерном случае создает прочный фундамент, упрощающий изучение аналогичного материала в анализе функций многих переменных.


Достаточные условия экстремума в терминах первой производной

Читать далее «Достаточные условия экстремума»

Достаточные условия экстремума функции двух переменных

Дифференциальное исчисление функций многих переменных — важный раздел анализа, имеющий немало приложений в физике, инженерии и прикладной математике. Существенное количество практических задач формулируется в терминах функций от двух переменных — явном выражении поверхностей в пространстве \mathbb{R}^{3}. В классических курсах анализа их изучают с более общих позиций, рассматривая достаточные критерии экстремума функций вида f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} (также называемых скалярными полями), в терминах которых ведётся дальнейшее изложение.


Определение

Говорят, что функция f: \mathbb{E} \subset \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R} имеет во внутренней точке x_{0}

  • локальный минимум, если \exists U(x_{0}) \subset \mathbb{E}: \forall f(x) \le f(x_{0}).
  • локальный максимум, если \exists U(x_{0}) \subset \mathbb{E}: \forall f(x) \ge f(x_{0}).

Заменой неравенств на строгие получаем условия соответственно строгого локального минимума и максимума.


Определение

Якобианом векторного поля f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \forall x \in \mathbb{R}^{m} f(x) = (f_{1}(x),...,f_{m}(x)), дифференцируемого в точке x и непрерывного в некоторой её окрестности U(x) \in \mathbb{R}^{m}называют линейный оператор \mathbf{J}, описывающий наилучшее линейное приближение функции в некоторой окрестности точки x и имеющий матрицу вида:

$$ { J }_{ f }(x)=\begin{Vmatrix} \frac { \partial f_{ 1 } }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f_{ 1 } }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f_{ 1 } }{ \partial x_{ m } } (x) \\ \frac { \partial f_{ 2 } }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f_{ 2 } }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f_{2} }{ \partial x_{ m } } (x) \\ … & … & … & … \\ \frac { \partial f_{m} }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f_{m} }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f_{m} }{ \partial x_{ m }} (x) \end{Vmatrix} $$

— так называемую матрицу Якоби (матрица касательного отображения). Для скалярного поля матрица Якоби имеет вид:

$$ { J }_{ f }(x)=\begin{Vmatrix} \frac { \partial f }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f }{ \partial x_{ m } } (x) \end{Vmatrix} $$

Определение

Гессианом скалярного поля f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}, дважды дифференцируемого по всем аргументам в точке x=(x^{1},...,x^{m}) \in \mathbb{R}^{m}, называют симметрическую квадратичную форму H(x)=\sum _{ i=1 }^{ m }{ \sum _{ j=1 }^{ m }{ h_{ij}x_{i}x_{j} }  } , описывающую наилучшее квадратичное приближение функции в некоторой окрестности точки x и имеющую матрицу вида:

$$ \mathbf{H}_{f}(x) = \begin{Vmatrix} \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 1 }^{ 2 } } (x) & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 1 }\partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 1 }\partial x_{ m } } (x) \\ \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 2 }\partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 2 }^{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 2 }\partial x_{ m } } (x) \\ … & … & … & … \\ \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ m }\partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ m }\partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ m }^{ 2 } } (x) \end{Vmatrix} $$

— так называемую матрицу Гессе, определитель которой обычно подразумевается под Гессианом. Матрица Гессе также описывает локальную кривизну скалярного поля.


Утверждение

Поведение функция f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, дважды дифференцируемой в точке x=(x^{1},...,x^{m}) \in \mathbb{R}^{m} и непрерывной в некоторой окрестности U(x) \subset \mathbb{R} этой точки, характеризуется формулой:

$$ f(\mathbf{x}+\mathbf{\Delta x}) \approx f(x) + \mathbf{J(x)\Delta x} + \frac{1}{2} \mathbf{\Delta x^{T} H(x) \Delta x} $$

Достаточное условие экстремума в терминах частных производных

Для того, чтобы функция f: U(x_{0}) \rightarrow \mathbb{R}, дважды дифференцируемая по всем аргументам в точке x_{0}=(x_{0}^{1},...,x_{0}^{m}) \in \mathbb{R}^{m}, в ней имела экстремум достаточно, чтобы её Гессиан был знакоопределён, причем, положительная определённость влечёт наличие в точке строгого локального минимума, отрицательная определённость — строгого локального максимума.

Доказательство показать

Замечание 1

Условие не является необходимым, так как ничего не говорит о случае, когда квадратичная форма полуопределена, т.е. является и неположительна или неотрицательна, т.е. содержит критические точки, не являющиеся экстремальными, строго больше или меньше нуля на всех векторах окрестности.

Пример показать

Замечание 2

Функция может принимать экстремальные значения в граничных точках области определения. Вышеприведенное достаточное условие для их выявления использовать не рекомендуется, следует обратиться к аппарату теории условного экстремума.


Пример (Демидович, №3629)

Исследовать на локальный экстремум функцию

$$ z = x y \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}} \quad (a > 0, \quad b > 0) $$

Решение показать

Источники:

Закрепление материала.

Таблица лучших: Достаточные условия экстремума функции многих переменных

максимум из 23 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Достаточные условия дифференцируемости функции в точке

Теорема (Достаточные условия дифференцируемости функции в точке)

Пусть функция f принадлежит классу C^{1}(E), где открытое множество E\subset \mathbb{R}^{n} . Тогда f дифференцируема на E.

Через C^{1}(E) обозначается класс всех всех непрерывно дифференцируемых на множестве E функций.

Доказательство

Фиксируем x_{0}\in E. Поскольку множество E открыто, то существует шар U_{0} с центром в этой точке, целиком содержащийся в E. Пусть r– радиус этого шара и вектор h имеет длину \left | h \right |<r. Обозначим: x_{j}=x_{0}+h^{1}e_{1}+...+h^{j}e_{j}, (j=1,...,n). Ясно, что x_{n}=x_{0}+h.
Заметим, что все x_{j} принадлежат шару U_{0}. Действительно,$$\left | x_{0}-x_{j} \right |=\sqrt{\sum_{i=1}^{j}(h^{j})^{2}}\leq \left | h \right |< r.$$
Поскольку шар – выпуклое множество, то каждый из отрезков [ x_{j-1},x_{j} ] содержится в U_{0}. Действительно, этот отрезок – это множество точек x=(1-t)x_{j-1}+tx_{j}, где 0\leq t\leq 1, и мы получаем \left | x_{0}-x_{j} \right |\leq (1-t)\left | x_{0}-x_{j-1} \right |+\left | x_{0}-x_{j} \right |< r.
Воспользуемся равенством: $$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\left [ f(x_{j})-f(x_{j-1}) \right ].$$
Рассмотрим отдельно каждое из слагаемых в правой части. При фиксированном j положим  g(t)=f(x_{j-1}+te_{j}), (0\leq t\leq h^{j}) . По определению частной производной имеем: $$ g{}'(t)=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{j-1}+te_{j}) .$$
По формуле Лагранжа получаем:
$$ f(x_{j})-f(x_{j-1})=g(h^{j})-g(0)=g{}'(\tau _{j})h^{j}=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi _{j})h^{j},$$
где \xi _{j}=x_{j-1}+\tau_{j}e_{j} — некоторая точка отрезка, соединяющего x_{j-1} и x_{j}.
Имеем  \left | x_{0}-\xi_{j} \right |\leq \left | h \right | .
Обозначим $$ \alpha _{j}(h)=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})-\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi_{j}) .$$
По условию все частные производные непрерывны в точке x_{0} и поэтому \lim_{h\rightarrow 0}\alpha _{j}(h)=0 , (j=1,...,n).
В силу равенства $$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\left [ f(x_{j})-f(x_{j-1}) \right ]$$ имеем:
$$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi_{j})h^{j}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})h^{j}-\sum_{j=1}^{n}\alpha _{j}(h)h^{j}=$$$$=A(h)+\rho (h),$$
где $$ A(h)=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})h^{j} .$$
Итак, A является линейной формой аргумента h, а \left | \rho(h) \right |\leq \left | h \right |\sum_{j=1}^{n}\left | \alpha_{j}(h) \right |.
Поэтому, получаем, что \frac{\rho(h)}{\left | h \right |}\rightarrow 0 при h\rightarrow 0.
Согласно определению дифференцируемости, теорема доказана.\square

Замечание 1

Из доказательства видно, что если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки x_{0} и в этой точке все они непрерывны, то функция дифференцируема в точке x_{0}.

Замечание 2

Непрерывность частных производных – только достаточное условие дифференцируемости. Оно не является необходимым.

Следствие

Каждая функция класса C^{1} непрерывна.


Пример показать

Использованная литература

Рекомендованная литература

Тест

Достаточное условие дифференцируемости функции в точке

Проверка знания достаточного условия дифференцируемости функции в точке


Таблица лучших: Достаточное условие дифференцируемости функции в точке

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных